यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a+b) सम है, तो सही कथन कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a+b) is even, which statement is correct?
#relations
#sum even
#equivalence relation
A यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
B यह स्वपरक नहीं है / It is not reflexive
C यह सममित नहीं है / It is not symmetric
D यह संक्रामक नहीं है / It is not transitive
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Correct Answer
A. यह समतुल्यता संबंध है / It is an equivalence relation
Step 1
Concept
(a+a=2a) हमेशा सम है इसलिए स्वपरकता है। / (a+a=2a) is always even, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a+b) और (b+a) समान हैं इसलिए सममितता है। / (a+b) and (b+a) are the same, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान समता वाले तत्वों के बीच यह संबंध संक्रामक भी होता है। / This relation is also transitive because it connects elements of the same parity.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a+b) विषम है, तो (R) स्वपरक क्यों नहीं है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a+b) is odd, why is (R) not reflexive?
#relations
#not reflexive
#sum odd
A क्योंकि (a+a) हमेशा सम होता है / Because (a+a) is always even
B क्योंकि (a+b=b+a) होता है / Because (a+b=b+a)
C क्योंकि सभी युग्म मौजूद हैं / Because all pairs are present
D क्योंकि कोई युग्म नहीं है / Because there is no pair
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Correct Answer
A. क्योंकि (a+a) हमेशा सम होता है / Because (a+a) is always even
Step 1
Concept
स्वपरकता के लिए ((a,a)) संबंध में होना चाहिए। / Reflexivity requires ((a,a)) to be in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (a+a=2a) हमेशा सम है, विषम नहीं। / But (a+a=2a) is always even, not odd.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कोई भी स्वयं युग्म इस नियम से नहीं बनता। / Therefore, no self-pair is formed by this rule.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a) (b) को विभाजित करता है, तो कौन सा कथन सही है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a) divides (b), which statement is correct?
#relations
#divisibility relation
#transitive
A स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B सममित और स्वपरक पर संक्रामक नहीं / Symmetric and reflexive but not transitive
C न स्वपरक न संक्रामक / Neither reflexive nor transitive
D केवल सार्वत्रिक / Only universal
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Correct Answer
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर संख्या स्वयं को विभाजित करती है इसलिए स्वपरकता है। / Every number divides itself, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a) (b) को और (b) (c) को विभाजित करता है, तो (a) (c) को विभाजित करता है। / If (a) divides (b) and (b) divides (c), then (a) divides (c).
Step 3
Exam Tip
(1) (2) को विभाजित करता है पर (2) (1) को नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / (1) divides (2), but (2) does not divide (1), so it is not symmetric.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(a\ge b\), तो (R) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(a\ge b\), what type of relation is (R)?
#relations
#greater than equal
#relation properties
A स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B सममित पर स्वपरक नहीं / Symmetric but not reflexive
C स्वपरक पर संक्रामक नहीं / Reflexive but not transitive
D समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
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Correct Answer
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\ge a\) सही है इसलिए स्वपरकता है। / For every (a), \(a\ge a\) is true, so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\ge b\) और \(b\ge c\) से \(a\ge c\) मिलता है इसलिए संक्रामकता है। / \(a\ge b\) and \(b\ge c\) imply \(a\ge c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
\(2\ge1\) सही है पर \(1\ge2\) गलत है, इसलिए सममितता नहीं है। / \(2\ge1\) is true but \(1\ge2\) is false, so it is not symmetric.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\), तो (R) किस विभाजन से जुड़ा है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,3),(3,1),(2,4),(4,2)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), which partition is associated with (R)?
#relations
#equivalence classes
#partition
A ({{1,3},{2,4}})
B ({{1,2},{3,4}})
C ({{1},{2},{3},{4}})
D ({{1,2,3,4}})
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Correct Answer
A. ({{1,3},{2,4}})
Step 1
Concept
(1) और (3) आपस में संबंधित हैं। / (1) and (3) are related to each other.
Step 2
Why this answer is correct
(2) और (4) आपस में संबंधित हैं। / (2) and (4) are related to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए समतुल्यता वर्ग ({1,3}) और ({2,4}) बनते हैं। / Hence the equivalence classes are ({1,3}) and ({2,4}).
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यदि \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), तो \(R^{-1}\) क्या होगा?
If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2)\}\), what is \(R^{-1}\)?
#relations
#inverse relation
#symmetric relation
A (R) ही / (R) itself
B ({(1,1),(2,2),(3,3)})
C ({(1,3),(3,1)})
D \(\varnothing\)
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Correct Answer
A. (R) ही / (R) itself
Step 1
Concept
विलोम संबंध में हर युग्म का क्रम बदलता है। / In the inverse relation, the order of each pair is changed.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,1)) एक-दूसरे के विलोम हैं, इसी तरह ((2,3)) और ((3,2)) भी हैं। / ((1,2)) and ((2,1)) are reverses, and so are ((2,3)) and ((3,2)).
Step 3
Exam Tip
इसलिए विलोम संबंध (R) ही रहेगा। / Therefore, the inverse relation is (R) itself.
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यदि \(R=\{(1,3),(2,3),(3,1)\}\), तो \(R^{-1}\) कौन सा है?
If \(R=\{(1,3),(2,3),(3,1)\}\), which is \(R^{-1}\)?
#relations
#inverse relation
#ordered pairs
A ({(3,1),(3,2),(1,3)})
B ({(1,3),(2,3),(3,1)})
C ({(1,1),(2,2),(3,3)})
D ({(3,1),(2,3),(1,1)})
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Correct Answer
A. ({(3,1),(3,2),(1,3)})
Step 1
Concept
हर क्रमित युग्म के दोनों स्थान बदलें। / Interchange the entries of every ordered pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) से ((3,1)), ((2,3)) से ((3,2)), और ((3,1)) से ((1,3)) मिलता है। / ((1,3)) gives ((3,1)), ((2,3)) gives ((3,2)), and ((3,1)) gives ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
विलोम निकालते समय कोई युग्म छोड़ें नहीं। / Do not skip any pair while finding the inverse.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\), तो समतुल्यता के लिए कौन से युग्म और चाहिए?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which pairs are still needed for equivalence?
#relations
#equivalence relation
#missing pairs
A ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
B ((1,1)) और ((2,2)) / ((1,1)) and ((2,2))
C ((1,2)) और ((2,1)) / ((1,2)) and ((2,1))
D ((3,3)) ही / Only ((3,3))
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Correct Answer
A. ((2,3)) और ((3,2)) / ((2,3)) and ((3,2))
Step 1
Concept
(1) (2) से और (1) (3) से संबंधित है। / (1) is related to (2), and (1) is related to (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता और सममितता के कारण (2) और (3) भी आपस में संबंधित होने चाहिए। / By transitivity and symmetry, (2) and (3) must also be related to each other.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((2,3)) और ((3,2)) जोड़ने होंगे। / Hence ((2,3)) and ((3,2)) must be added.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (R) सर्वसम संबंध है, तो (R) में कितने युग्म होंगे?
If (R) is the identity relation on \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs are in (R)?
#relations
#identity relation
#counting
A 4
B 8
C 12
D 16
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Step 1
Concept
सर्वसम संबंध में हर तत्व का केवल स्वयं युग्म होता है। / In the identity relation, each element has only its self-pair.
Step 2
Why this answer is correct
(4) तत्वों के लिए (4) स्वयं युग्म होंगे। / For (4) elements, there are (4) self-pairs.
Step 3
Exam Tip
सर्वसम संबंध में युग्मों की संख्या तत्वों की संख्या के बराबर होती है। / The number of pairs in the identity relation equals the number of elements.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर सार्वत्रिक संबंध है, तो उसमें कितने युग्म होंगे?
If the universal relation is on \(A=\{1,2,3,4\}\), how many pairs will it contain?
#relations
#universal relation
#cartesian product
A 8
B 12
C 16
D 32
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Step 1
Concept
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के बराबर होता है। / The universal relation is equal to \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (4) तत्व हैं, इसलिए \(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म हैं। / Since (A) has (4) elements, \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध में कोई संभव युग्म छूटता नहीं है। / No possible pair is left out in the universal relation.
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