किसी संबंध (R) के लिए \(R\cap R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सदैव सही है?
For any relation (R), which statement about \(R\cap R^{-1}\) is always true?
#inverse-relation
#intersection
#symmetric
A यह सममित होता है / It is symmetric
B यह परावर्ती होता है / It is reflexive
C यह संक्रामक होता है / It is transitive
D यह सार्वत्रिक होता है / It is universal
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Correct Answer
A. यह सममित होता है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) \(R\cap R^{-1}\) में है, तो वह (R) और \(R^{-1}\) दोनों में है। / If ((a,b)) is in \(R\cap R^{-1}\), it is in both (R) and \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे ((b,a)) भी (R) और \(R^{-1}\) दोनों में होगा। / This ensures ((b,a)) is also in both (R) and \(R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए प्रतिच्छेद में हर युग्म का उल्टा भी रहेगा और यह सममित होगा। / Hence every pair in the intersection has its reverse, so it is symmetric.
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किसी संबंध (R) के लिए \(R\cup R^{-1}\) के बारे में कौन सा कथन सदैव सत्य है?
For any relation (R), which statement about \(R\cup R^{-1}\) is always true?
#inverse-relation
#union
#symmetric
A यह सममित होता है / It is symmetric
B यह परावर्ती होता है / It is reflexive
C यह संक्रामक होता है / It is transitive
D यह पहचान संबंध होता है / It is the identity relation
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Correct Answer
A. यह सममित होता है / It is symmetric
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) \(R\cup R^{-1}\) में है, तो वह (R) या \(R^{-1}\) में है। / If ((a,b)) is in \(R\cup R^{-1}\), it is in (R) or \(R^{-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ही स्थिति में उल्टा युग्म ((b,a)) भी \(R\cup R^{-1}\) में आ जाएगा। / In either case, the reverse pair ((b,a)) also lies in \(R\cup R^{-1}\).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R\cup R^{-1}\) सदैव सममित होता है। / Therefore \(R\cup R^{-1}\) is always symmetric.
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यदि (R) तुल्यता संबंध है, तो \(R^{-1}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) is an equivalence relation, choose the correct statement about \(R^{-1}\).
#equivalence-relation
#inverse-relation
#properties
A \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध है और \(R^{-1}=R\) / \(R^{-1}\) is also an equivalence relation and \(R^{-1}=R\)
B \(R^{-1}\) परावर्ती नहीं होगा / \(R^{-1}\) will not be reflexive
C \(R^{-1}\) सममित नहीं होगा / \(R^{-1}\) will not be symmetric
D \(R^{-1}\) संक्रामक नहीं होगा / \(R^{-1}\) will not be transitive
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Correct Answer
A. \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध है और \(R^{-1}=R\) / \(R^{-1}\) is also an equivalence relation and \(R^{-1}=R\)
Step 1
Concept
तुल्यता संबंध सममित होता है, इसलिए \(R^{-1}=R\) है। / An equivalence relation is symmetric, so \(R^{-1}=R\).
Step 2
Why this answer is correct
वही संबंध परावर्ती, सममित और संक्रामक रहता है। / The same relation remains reflexive, symmetric and transitive.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(R^{-1}\) भी तुल्यता संबंध होगा। / Hence \(R^{-1}\) is also an equivalence relation.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या (a+b) (5) के बराबर हो। (2) का तुल्यता वर्ग क्या है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if and only if (a=b) or (a+b=5). What is the equivalence class of (2)?
#equivalence-class
#sum-relation
#partition
A ({2,3})
B ({1,4})
C ({2})
D ({1,2,3,4})
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Correct Answer
A. ({2,3})
Step 1
Concept
(2+3=5), इसलिए (2) और (3) संबंधित हैं। / Since (2+3=5), (2) and (3) are related.
Step 2
Why this answer is correct
(a=b) के कारण (2) स्वयं से भी संबंधित है। / Because of (a=b), (2) is related to itself as well.
Step 3
Exam Tip
(2) का वर्ग ({2,3}) होगा। / The class of (2) is ({2,3}).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब \(a\equiv b \pmod{3}\)। संबंध में कुल कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if \(a\equiv b \pmod{3}\). How many ordered pairs are in the relation?
#modular-relation
#equivalence-relation
#counting
A (6)
B (9)
C (12)
D (18)
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Step 1
Concept
तुल्यता वर्ग ({1,4},{2,5},{3,6}) हैं। / The equivalence classes are ({1,4},{2,5},{3,6}).
Step 2
Why this answer is correct
हर वर्ग का आकार (2) है, इसलिए प्रत्येक से \(2^2=4\) युग्म मिलते हैं। / Each class has size (2), so each contributes \(2^2=4\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+4+4=12) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+4+4=12).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\) पर (aRb) तभी है जब (a) और (b) दोनों (3) के गुणज हों या दोनों (3) के गुणज न हों। संबंध में कितने क्रमित युग्म होंगे?
On \(A=\{1,2,3,4,5,6\}\), (aRb) if and only if both (a,b) are multiples of (3), or both are not multiples of (3). How many ordered pairs are in the relation?
#equivalence-relation
#divisibility
#counting
A (12)
B (16)
C (20)
D (36)
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Step 1
Concept
वर्ग ({3,6}) और ({1,2,4,5}) बनते हैं। / The classes are ({3,6}) and ({1,2,4,5}).
Step 2
Why this answer is correct
पहले वर्ग से \(2^2=4\) और दूसरे से \(4^2=16\) युग्म मिलते हैं। / The first class gives \(2^2=4\) pairs and the second gives \(4^2=16\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल (4+16=20) युग्म होंगे। / Total pairs are (4+16=20).
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4,5\}\) पर (aRb) तभी है जब (a=b) या दोनों संख्याएं अभाज्य हों। यह संबंध किस प्रकार का है?
On \(A=\{1,2,3,4,5\}\), (aRb) if and only if (a=b) or both numbers are prime. What type of relation is it?
#prime-numbers
#equivalence-relation
#partition
A परावर्ती और सममित है पर संक्रामक नहीं / Reflexive and symmetric but not transitive
B तुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित है पर परावर्ती नहीं / Symmetric but not reflexive
D परावर्ती है पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
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Correct Answer
B. तुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a=b) से सभी स्वयुग्म शामिल हैं, इसलिए परावर्तन है। / The condition (a=b) includes all self-pairs, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संख्याओं के अभाज्य होने की शर्त क्रम बदलने पर नहीं बदलती, इसलिए सममितता है। / The condition that both numbers are prime is unchanged by reversing order, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
अभाज्य तत्व ({2,3,5}) एक बंद वर्ग बनाते हैं और बाकी अकेले रहते हैं, इसलिए संक्रामकता भी है। / Prime elements ({2,3,5}) form one closed class and the others stay single, so transitivity holds.
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यदि (R) किसी समुच्चय पर परावर्ती संबंध है, तो \(R\cap I\) के बारे में सही कथन क्या है, जहां (I) पहचान संबंध है?
If (R) is a reflexive relation on a set, what is true about \(R\cap I\), where (I) is the identity relation?
#identity-relation
#intersection
#reflexive
A \(R\cap I=I\)
B \(R\cap I=R\)
C \(R\cap I=\varnothing\)
D \(R\cap I=A\times A\)
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Correct Answer
A. \(R\cap I=I\)
Step 1
Concept
परावर्ती संबंध (R) में सभी स्वयुग्म होते हैं। / A reflexive relation (R) contains all self-pairs.
Step 2
Why this answer is correct
पहचान संबंध (I) में केवल स्वयुग्म होते हैं। / The identity relation (I) contains only self-pairs.
Step 3
Exam Tip
इसलिए साझा भाग ठीक वही स्वयुग्म होंगे, यानी \(R\cap I=I\)। / Therefore the common part is exactly the identity relation, so \(R\cap I=I\).
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यदि (R) सममित संबंध नहीं है, तो \(R\cup R^{-1}\) के बारे में सही कथन चुनिए।
If (R) is not symmetric, choose the correct statement about \(R\cup R^{-1}\).
#symmetric-closure
#inverse-relation
#union
A यह सममित होगा / It will be symmetric
B यह सममित नहीं होगा / It will not be symmetric
C यह रिक्त होगा / It will be empty
D यह पहचान संबंध होगा / It will be the identity relation
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Correct Answer
A. यह सममित होगा / It will be symmetric
Step 1
Concept
\(R\cup R^{-1}\) में (R) के हर युग्म के साथ उसका उल्टा भी शामिल हो जाता है। / In \(R\cup R^{-1}\), every pair of (R) is accompanied by its reverse.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए किसी भी युग्म का उल्टा संघ में मौजूद रहेगा। / Therefore the reverse of any pair in the union is also present.
Step 3
Exam Tip
भले (R) स्वयं सममित न हो, \(R\cup R^{-1}\) सममित होता है। / Even if (R) itself is not symmetric, \(R\cup R^{-1}\) is symmetric.
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फलन \(f:\mathbb{R}\to(0,1)\) जहाँ \(f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\), आच्छादी है या नहीं?
Is \(f:\mathbb{R}\to(0,1)\), where \(f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}\), onto or not?
#logistic function
#onto interval
#expert mcq
A हाँ आच्छादी है / Yes it is onto
B नहीं क्योंकि (0) मिलता है / No because (0) is attained
C नहीं क्योंकि (1) मिलता है / No because (1) is attained
D नहीं क्योंकि केवल पूर्णांक मिलते हैं / No because only integers are attained
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Correct Answer
A. हाँ आच्छादी है / Yes it is onto
Step 1
Concept
इस फलन का मान हमेशा (0) और (1) के बीच होता है। / The function value is always between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (0<y<1) के लिए समीकरण हल करने पर \(x=\ln\frac{y}{1-y}\) मिलता है। / For any (0<y<1), solving gives \(x=\ln\frac{y}{1-y}\).
Step 3
Exam Tip
खुला अंतराल सहप्रांत हो तो सिरों को न जोड़ें। / When the codomain is an open interval, endpoints need not be attained.
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