यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) है, तो (R) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3,4\}\), choose the correct statement about (R).
#relations
#reflexive
#symmetric
#class 12
A स्वपरक और सममित / Reflexive and symmetric
B स्वपरक पर सममित नहीं / Reflexive but not symmetric
C सममित पर स्वपरक नहीं / Symmetric but not reflexive
D न स्वपरक न सममित / Neither reflexive nor symmetric
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Correct Answer
A. स्वपरक और सममित / Reflexive and symmetric
Step 1
Concept
स्वपरकता के लिए सभी स्वयं युग्म चाहिए और चारों स्वयं युग्म मौजूद हैं। / Reflexivity needs all self-pairs, and all four self-pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
अलग युग्म ((1,2)) के साथ उसका उल्टा ((2,1)) भी मौजूद है। / The non-self pair ((1,2)) has its reverse ((2,1)).
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्न में पहले स्वयं युग्म और फिर उल्टे युग्म जांचें। / In such questions, check self-pairs first and reverse pairs next.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) है, तो (R) किस गुण के कारण सममित नहीं है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not symmetric?
#relations
#not symmetric
#ordered pairs
A क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है / Because ((2,1)) is missing
B क्योंकि ((1,1)) मौजूद है / Because ((1,1)) is present
C क्योंकि ((1,3)) मौजूद है / Because ((1,3)) is present
D क्योंकि यह संक्रामक है / Because it is transitive
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि ((2,1)) अनुपस्थित है / Because ((2,1)) is missing
Step 1
Concept
सममितता में हर युग्म का उल्टा युग्म होना चाहिए। / Symmetry requires the reverse of every pair.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) दिया है पर ((2,1)) नहीं है इसलिए सममितता टूटती है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is absent, so symmetry fails.
Step 3
Exam Tip
एक भी उल्टा युग्म छूटे तो संबंध सममित नहीं रहता। / Missing even one reverse pair makes the relation non-symmetric.
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यदि किसी समुच्चय में (5) तत्व हैं, तो उस पर कुल संबंधों की संख्या क्या होगी?
If a set has (5) elements, what is the total number of relations on it?
#relations
#total relations
#counting formula
A \(2^{10}\)
B \(2^{20}\)
C \(2^{25}\)
D \(5^5\)
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Correct Answer
C. \(2^{25}\)
Step 1
Concept
(n) तत्वों वाले समुच्चय पर संबंध \(A\times A\) का उपसमुच्चय होता है। / A relation on a set with (n) elements is a subset of \(A\times A\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां \(A\times A\) में \(5^2=25\) युग्म होंगे। / Here \(A\times A\) has \(5^2=25\) pairs.
Step 3
Exam Tip
कुल संबंधों की संख्या \(2^{25}\) होगी। / Therefore, the total number of relations is \(2^{25}\).
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यदि (A) में (4) तत्व हैं, तो (A) पर स्वपरक संबंधों की संख्या कितनी होगी?
If (A) has (4) elements, how many reflexive relations are possible on (A)?
#relations
#reflexive relations
#counting
A \(2^{4}\)
B \(2^{12}\)
C \(2^{16}\)
D \(4^{12}\)
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Correct Answer
B. \(2^{12}\)
Step 1
Concept
\(A\times A\) में \(4^2=16\) युग्म होंगे। / \(A\times A\) has \(4^2=16\) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
स्वपरक संबंध के लिए (4) स्वयं युग्म अनिवार्य हैं इसलिए (12) युग्म स्वतंत्र हैं। / A reflexive relation must contain (4) self-pairs, leaving (12) pairs free.
Step 3
Exam Tip
संख्या \(2^{12}\) होगी। / The number is \(2^{12}\).
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) और \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\), तो कौन सा गुण निश्चित रूप से नहीं है?
If \(A=\{1,2,3\}\) and \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1),(1,3)\}\), which property is definitely absent?
#relations
#symmetry check
#reflexive relation
A स्वपरकता / Reflexivity
B सममितता / Symmetry
C संबंध होना / Being a relation
D स्वयं युग्म होना / Having self-pairs
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
B. सममितता / Symmetry
Step 1
Concept
तीनों स्वयं युग्म मौजूद हैं इसलिए संबंध स्वपरक है। / All three self-pairs are present, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) मौजूद है लेकिन ((3,1)) नहीं है। / ((1,3)) is present but ((3,1)) is not.
Step 3
Exam Tip
इसलिए सममितता निश्चित रूप से नहीं है। / Therefore, symmetry is definitely absent.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\) है, तो संक्रामकता की पहली कमी किस युग्म से पूरी होगी?
If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,4)\}\), which pair first fills the gap for transitivity?
#relations
#transitive closure
#missing pair
A ((1,3))
B ((2,1))
C ((4,3))
D ((1,4))
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Correct Answer
A. ((1,3))
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) से संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
यह युग्म दिए गए संबंध में नहीं है। / This pair is missing from the relation.
Step 3
Exam Tip
लंबी कड़ी में पहले पास-पास के युग्मों से शुरू करें। / In a long chain, start with adjacent connected pairs.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,4)\}\), तो पूर्ण संक्रामकता के लिए कौन सा युग्म अभी भी आवश्यक है?
If \(R=\{(1,2),(2,3),(1,3),(3,4)\}\), which pair is still required for full transitivity?
#relations
#transitive relation
#chain check
A ((2,4))
B ((4,2))
C ((3,1))
D ((1,2))
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Correct Answer
A. ((2,4))
Step 1
Concept
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। / From ((2,3)) and ((3,4)), transitivity requires ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((2,4)) नहीं है इसलिए संक्रामकता पूरी नहीं है। / ((2,4)) is missing, so transitivity is not complete.
Step 3
Exam Tip
सभी संभव कड़ियां जांचें, केवल पहली कड़ी नहीं। / Check all possible chains, not only the first one.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\), तो यह किस विभाजन से जुड़ा समतुल्यता संबंध है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which partition is associated with this equivalence relation?
#relations
#equivalence classes
#partition
A ({{1,2},{3}})
B ({{1},{2},{3}})
C ({{1,3},{2}})
D ({{1,2,3}})
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Correct Answer
A. ({{1,2},{3}})
Step 1
Concept
(1) और (2) आपस में संबंधित हैं क्योंकि ((1,2)) और ((2,1)) हैं। / (1) and (2) are related because ((1,2)) and ((2,1)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
(3) केवल अपने आप से संबंधित है। / (3) is related only to itself.
Step 3
Exam Tip
इसलिए वर्ग ({1,2}) और ({3}) बनते हैं। / Hence the classes are ({1,2}) and ({3}).
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पूर्णांकों पर (aRb) यदि (a-b) (5) से विभाज्य है, तो (7) किस वर्ग में आएगा?
On integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (5). In which class will (7) lie?
#relations
#modulo relation
#equivalence class
A (5) से भाग देने पर शेष (2) वाला वर्ग / Class of numbers leaving remainder (2) when divided by (5)
B (5) से भाग देने पर शेष (1) वाला वर्ग / Class of numbers leaving remainder (1) when divided by (5)
C केवल (7) वाला वर्ग / Class containing only (7)
D सभी पूर्णांकों का वर्ग / Class of all integers
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Correct Answer
A. (5) से भाग देने पर शेष (2) वाला वर्ग / Class of numbers leaving remainder (2) when divided by (5)
Step 1
Concept
(7) को (5) से भाग देने पर शेष (2) आता है। / Dividing (7) by (5) gives remainder (2).
Step 2
Why this answer is correct
इस संबंध में समान शेष वाली संख्याएं एक ही वर्ग में होती हैं। / In this relation, numbers with the same remainder lie in the same class.
Step 3
Exam Tip
शेषफल आधारित संबंधों में वर्ग शेष से पहचानें। / In remainder-based relations, identify classes by the remainder.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a) और (b) दोनों सम या दोनों विषम हैं, तो (R) किस प्रकार का संबंध है?
If on \(A=\{1,2,3,4\}\), (aRb) if (a) and (b) are both even or both odd, what type of relation is (R)?
#relations
#equivalence relation
#parity
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल सममित संबंध / Only symmetric relation
C स्वपरक नहीं / Not reflexive
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
हर संख्या अपनी समता खुद जैसी रखती है इसलिए स्वपरकता है। / Every number has the same parity as itself, so reflexivity holds.
Step 2
Why this answer is correct
समान समता की बात उलटने पर भी सही रहती है इसलिए सममितता है। / Same parity remains true when the order is reversed, so symmetry holds.
Step 3
Exam Tip
समान समता की कड़ी आगे भी बनी रहती है इसलिए संक्रामकता है। / Same parity continues through a chain, so transitivity holds.
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