समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि \(a\le b\), तो यह संबंध कैसा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when \(a\le b\), what type of relation is it?
#relations
#less than equal
#relation properties
A स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
B सममित और स्वपरक पर संक्रामक नहीं / Symmetric and reflexive but not transitive
C रिक्त संबंध / Empty relation
D सर्वसम संबंध / Identity relation
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Correct Answer
A. स्वपरक और संक्रामक पर सममित नहीं / Reflexive and transitive but not symmetric
Step 1
Concept
हर (a) के लिए \(a\le a\), इसलिए स्वपरकता है। / For every (a), \(a\le a\), so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
\(a\le b\) और \(b\le c\) से \(a\le c\), इसलिए संक्रामकता है। / From \(a\le b\) and \(b\le c\), we get \(a\le c\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
((1,2)) है पर ((2,1)) नहीं, इसलिए सममितता नहीं है। / ((1,2)) is present but ((2,1)) is not, so it is not symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3\}\) पर (aRb) यदि (a<b), तो सही कथन कौन सा है?
On \(A=\{1,2,3\}\), if (aRb) when (a<b), which statement is correct?
#relations
#less than relation
#transitive
A यह स्वपरक और सममित है / It is reflexive and symmetric
B यह संक्रामक है पर स्वपरक नहीं / It is transitive but not reflexive
C यह सार्वत्रिक है / It is universal
D यह सर्वसम संबंध है / It is identity relation
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Correct Answer
B. यह संक्रामक है पर स्वपरक नहीं / It is transitive but not reflexive
Step 1
Concept
(a<a) कभी सही नहीं होता, इसलिए स्वपरकता नहीं है।
Step 2
Why this answer is correct
(1<2) और (2<3) से (1<3) मिलता है, इसलिए संक्रामकता है।
Step 3
Exam Tip
छोटे से बड़े की दिशा वाला संबंध आमतौर पर सममित नहीं होता। / A relation going from smaller to larger is usually not symmetric.
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समुच्चय \(A=\{1,2,3,4\}\) पर (aRb) यदि (a-b) सम संख्या है, तो (R) कैसा संबंध है?
On \(A=\{1,2,3,4\}\), if (aRb) when (a-b) is even, what type of relation is (R)?
#relations
#equivalence relation
#parity
A समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
B केवल रिक्त संबंध / Only empty relation
C स्वपरक नहीं / Not reflexive
D सममित नहीं / Not symmetric
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Correct Answer
A. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) सम है, इसलिए स्वपरकता है। / (a-a=0) is even, so the relation is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a-b) सम है, तो (b-a) भी सम है, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is even, then (b-a) is also even, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान समता आगे भी बनी रहती है, इसलिए संक्रामकता भी है। / Same parity continues through a chain, so it is transitive.
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पूर्णांकों के समुच्चय पर (aRb) यदि (a-b) (3) से विभाज्य है। यह संबंध कौन सा है?
On the set of integers, (aRb) if (a-b) is divisible by (3). What type of relation is this?
#relations
#modulo relation
#equivalence
A केवल स्वपरक संबंध / Only reflexive relation
B समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
C सममित नहीं / Not symmetric
D संक्रामक नहीं / Not transitive
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Correct Answer
B. समतुल्यता संबंध / Equivalence relation
Step 1
Concept
(a-a=0) (3) से विभाज्य है, इसलिए स्वपरकता है। / (a-a=0) is divisible by (3), so it is reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
(a-b) विभाज्य होने पर (b-a) भी विभाज्य होगा, इसलिए सममितता है। / If (a-b) is divisible, then (b-a) is also divisible, so it is symmetric.
Step 3
Exam Tip
समान शेष वाली विभाज्यता संक्रामकता भी देती है। / Same-remainder divisibility also gives transitivity.
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यदि \(R=\{(1,2),(2,3),(3,3)\}\), तो \(R^{-1}\) क्या होगा?
If \(R=\{(1,2),(2,3),(3,3)\}\), what is \(R^{-1}\)?
#relations
#inverse relation
#ordered pairs
A ({(2,1),(3,2),(3,3)})
B ({(1,2),(2,3),(3,3)})
C ({(1,1),(2,2),(3,3)})
D ({(2,1),(2,3),(3,1)})
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Correct Answer
A. ({(2,1),(3,2),(3,3)})
Step 1
Concept
विलोम संबंध में हर युग्म के दोनों स्थान बदलते हैं। / In the inverse relation, the two entries of each pair are interchanged.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) से ((2,1)), ((2,3)) से ((3,2)), और ((3,3)) वही रहता है। / ((1,2)) becomes ((2,1)), ((2,3)) becomes ((3,2)), and ((3,3)) remains the same.
Step 3
Exam Tip
स्वयं युग्म विलोम लेने पर नहीं बदलता। / A self-pair does not change in the inverse.
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किस शर्त पर \(R^{-1}=R\) होता है?
Under which condition is \(R^{-1}=R\)?
#relations
#inverse relation
#symmetric
A जब (R) सममित हो / When (R) is symmetric
B जब (R) में एक ही युग्म हो / When (R) has only one pair
C जब (R) केवल स्वपरक हो / When (R) is only reflexive
D जब (R) रिक्त न हो / When (R) is not empty
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Correct Answer
A. जब (R) सममित हो / When (R) is symmetric
Step 1
Concept
विलोम संबंध में हर युग्म उल्टा हो जाता है। / In the inverse relation, every pair is reversed.
Step 2
Why this answer is correct
यदि हर उल्टा युग्म पहले से संबंध में है, तो विलोम संबंध वही रहेगा। / If every reverse pair is already in the relation, the inverse remains the same.
Step 3
Exam Tip
यही सममितता का मूल विचार है। / This is the basic idea of symmetry.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\), तो (R) में कौन सा गुण अवश्य है?
If \(R=\{(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(1,3)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property is definitely present?
#relations
#reflexive relation
#property identification
A सममितता / Symmetry
B स्वपरकता / Reflexivity
C रिक्तता / Emptiness
D सार्वत्रिकता / Universality
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Correct Answer
B. स्वपरकता / Reflexivity
Step 1
Concept
संबंध में ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) सभी मौजूद हैं। / The relation contains ((1,1)), ((2,2)), and ((3,3)).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर तत्व स्वयं से संबंधित है। / Therefore, every element is related to itself.
Step 3
Exam Tip
अतिरिक्त युग्म स्वपरकता को खराब नहीं करते। / Extra pairs do not destroy reflexivity.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\), तो (R) में कौन सा गुण है?
If \(R=\{(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(1,3),(3,1)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), which property does (R) have?
#relations
#symmetric relation
#reverse pairs
A सममितता / Symmetry
B स्वपरकता / Reflexivity
C सार्वत्रिकता / Universality
D सर्वसमता / Identity property
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Correct Answer
A. सममितता / Symmetry
Step 1
Concept
प्रत्येक अलग युग्म का उल्टा युग्म संबंध में है। / Every distinct pair has its reverse in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) के साथ ((2,1)), ((2,3)) के साथ ((3,2)), और ((1,3)) के साथ ((3,1)) हैं। / ((1,2)) has ((2,1)), ((2,3)) has ((3,2)), and ((1,3)) has ((3,1)).
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्मों की पूरी उपस्थिति सममितता दिखाती है। / Complete presence of reverse pairs shows symmetry.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\), तो (R) स्वपरक क्यों नहीं है?
If \(R=\{(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)\}\) on \(A=\{1,2,3\}\), why is (R) not reflexive?
#relations
#not reflexive
#missing self pair
A क्योंकि ((1,2)) मौजूद है / Because ((1,2)) is present
B क्योंकि ((2,1)) मौजूद है / Because ((2,1)) is present
C क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है / Because ((3,3)) is missing
D क्योंकि ((1,1)) मौजूद है / Because ((1,1)) is present
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Correct Answer
C. क्योंकि ((3,3)) अनुपस्थित है / Because ((3,3)) is missing
Step 1
Concept
स्वपरकता पूरे समुच्चय के हर तत्व पर लागू होती है। / Reflexivity applies to every element of the whole set.
Step 2
Why this answer is correct
(3) समुच्चय में है, इसलिए ((3,3)) होना चाहिए। / Since (3) is in the set, ((3,3)) must be present.
Step 3
Exam Tip
कुछ स्वयं युग्म होने से स्वपरकता पूरी नहीं होती। / Having only some self-pairs does not complete reflexivity.
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यदि \(A=\{1,2,3\}\) पर \(R=A\times A\), तो (R) के बारे में सही कथन कौन सा है?
If \(R=A\times A\) on \(A=\{1,2,3\}\), which statement about (R) is correct?
#relations
#universal relation
#equivalence
A यह रिक्त है / It is empty
B यह सममित नहीं है / It is not symmetric
C यह स्वपरक, सममित और संक्रामक है / It is reflexive, symmetric, and transitive
D यह स्वपरक नहीं है / It is not reflexive
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Correct Answer
C. यह स्वपरक, सममित और संक्रामक है / It is reflexive, symmetric, and transitive
Step 1
Concept
\(A\times A\) में सभी संभव युग्म होते हैं, इसलिए सभी स्वयं युग्म भी हैं। / \(A\times A\) contains all possible pairs, so all self-pairs are present.
Step 2
Why this answer is correct
हर युग्म का उल्टा और हर संक्रामक कड़ी का जरूरी युग्म भी मौजूद है। / Every reverse pair and every pair needed for transitivity is also present.
Step 3
Exam Tip
सार्वत्रिक संबंध कई बार समतुल्यता संबंध भी होता है। / The universal relation is often also an equivalence relation.
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