Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(x+\frac{1}{x}\ge2\) और (x=1) पर (2) मिलता है। / \(x+\frac{1}{x}\ge2\), and (2) is obtained at (x=1).
Step 2
Why this answer is correct
(2) से बड़े हर (y) के लिए समीकरण \(x+\frac{1}{x}=y\) का धनात्मक हल मिल जाता है। / For every (y>2), the equation \(x+\frac{1}{x}=y\) has a positive solution.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान मिलता है या केवल सीमा है, यह अलग से जाँचें। / Check separately whether the minimum value is actually attained or only approached.
A. क्योंकि हर \(k\in\mathbb{Z}\) के लिए (x=k) लेने पर (f(x)=k) है/Because for every \(k\in\mathbb{Z}\), choosing (x=k) gives (f(x)=k)
Step 1
Concept
सहप्रांत का कोई भी पूर्णांक (k) लें। / Take any integer (k) from the codomain.
Step 2
Why this answer is correct
(x=k) रखने पर \(\lceil x\rceil=k\), इसलिए हर पूर्णांक छवि बनता है। / Putting (x=k) gives \(\lceil x\rceil=k\), so every integer is an image.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक-मूल्य फलन में सहप्रांत यदि \(\mathbb{Z}\) हो तो सीधे पूर्वप्रतिबिंब खोजें। / For integer-valued functions with codomain \(\mathbb{Z}\), directly find a preimage.
फलन (f:\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)\to\mathbb{R}), (f(x)=\tan x), सर्वाच्छादकता सिद्ध करने के लिए \(y\in\mathbb{R}\) का पूर्वप्रतिबिंब क्या होगा?
\(\tan^{-1}x\) का परास (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)).
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{2}{\pi}\) से गुणा करने पर परास ((-1,1)) बनता है, जो सहप्रांत के बराबर है। / Multiplying by \(\frac{2}{\pi}\) gives the range ((-1,1)), equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
परास पर गुणक का प्रभाव ध्यान से लगाएँ। / Carefully apply the effect of a multiplier on the range.
B. क्योंकि (-1) और (1) नहीं मिलते/Because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) कभी \(\frac{\pi}{2}\) या \(-\frac{\pi}{2}\) नहीं होता। / \(\tan^{-1}x\) never equals \(\frac{\pi}{2}\) or \(-\frac{\pi}{2}\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए गुणा करने के बाद (1) और (-1) केवल सीमा मान हैं, वास्तविक छवि नहीं। / After multiplying, (1) and (-1) are only limiting values, not actual images.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद अंतराल का अंतर सर्वाच्छादकता में निर्णायक हो सकता है। / The difference between open and closed intervals can decide onto property.
A. \(x^3-x\) का परास \(\mathbb{R}\) है और \(e^t\) का परास (\(0,\infty\)) है/The range of \(x^3-x\) is \(\mathbb{R}\) and the range of \(e^t\) is (\(0,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^3-x\) विषम घात का सतत बहुपद है और उसका परास \(\mathbb{R}\) है। / \(x^3-x\) is a continuous odd-degree polynomial and its range is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
जब घातांक सभी वास्तविक मान लेता है, तब \(e^{x^3-x}\) सभी धनात्मक मान लेता है। / When the exponent takes all real values, \(e^{x^3-x}\) takes all positive values.
Step 3
Exam Tip
संयुक्त फलन में अंदर वाले फलन का परास पहले देखें। / In composite functions, check the range of the inner function first.
