Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(C) का कोई भी अवयव (c) लें। / Take any \(c\in C\).
Step 2
Why this answer is correct
(h) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (h(b)=c); और (g) सर्वाच्छादक है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(a)=b)। / Since (h) is onto, there is \(b\in B\) with (h(b)=c); since (g) is onto, there is \(a\in A\) with (g(a)=b).
Step 3
Exam Tip
तब (\(h\circ g\)(a)=c), इसलिए संयुक्त फलन सर्वाच्छादक है। / Then (\(h\circ g\)(a)=c), so the composite function is onto.
यदि \(a\ne0\), तो किसी भी \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\frac{y-b}{a}\) वास्तविक मिलता है। / If \(a\ne0\), then for any \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\frac{y-b}{a}\) is real.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a=0), तो फलन स्थिर हो जाता है और सभी वास्तविक मान नहीं दे सकता। / If (a=0), the function becomes constant and cannot give all real values.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में (x) का गुणांक शून्य न होना मुख्य शर्त है। / For a linear function, the coefficient of (x) must be non-zero.
C. यह किसी भी वास्तविक (a) के लिए सर्वाच्छादक नहीं है/It is not onto for any real (a)
Step 1
Concept
यदि (a>0), तो परास \([1,\infty\)) होगा। / If (a>0), the range is \([1,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a<0), तो परास (\(-\infty,1]\) होगा और यदि (a=0), तो केवल (1) मिलेगा। / If (a<0), the range is (\(-\infty,1]\), and if (a=0), only (1) is obtained.
Step 3
Exam Tip
किसी भी स्थिति में पूरा \(\mathbb{R}\) परास नहीं बनता, इसलिए सर्वाच्छादक नहीं है। / In no case is the range all of \(\mathbb{R}\), so it is not onto.
A. यह सर्वाच्छादक है क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए सततता और अंत व्यवहार से कोई (x) मिलता है/It is onto because continuity and end behavior ensure some (x) for every real (y)
Step 1
Concept
\(x^5+x\) सतत और विषम घात वाला बहुपद है। / \(x^5+x\) is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / It tends to \(\infty\) as \(x\to\infty\) and to \(-\infty\) as \(x\to-\infty\).
Step 3
Exam Tip
विशेषज्ञ स्तर पर सततता और अंत व्यवहार को साथ में जोड़कर निष्कर्ष निकालें। / At expert level, combine continuity with end behavior to conclude.
B. सर्वाच्छादक नहीं क्योंकि (2) नहीं मिलता/It is not onto because (2) is not obtained
Step 1
Concept
(x=0) पर (1) मिलता है और बड़े मान भी मिलते हैं। / At (x=0), the value (1) is obtained, and large values are also obtained.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(x^6+x^2+1=2\) के लिए \(t=x^2\ge0\) रखने पर \(t^3+t=1\) चाहिए, जिसका हल (t) सामान्यतः (0) और (1) के बीच है; फिर भी सभी \([1,\infty\)) मान मिलते हैं या नहीं, यह सरल दावा नहीं है। / For \(x^6+x^2+1=2\), putting \(t=x^2\ge0\) gives \(t^3+t=1\), which has a non-negative solution.
Step 3
Exam Tip
यहाँ (2) वास्तव में मिलता है, इसलिए विकल्पों में सावधानी से सही निष्कर्ष चुनना चाहिए। / Therefore the option saying (2) is not obtained is wrong, so this row needs a valid conclusion.
हर (x) के लिए हर \(1+x^2\) धनात्मक है, इसलिए फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर सतत है। / For every (x), the denominator \(1+x^2\) is positive, so the function is continuous on all of \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value tends to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it tends to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सततता और दोनों ओर असीमित व्यवहार मिलकर सर्वाच्छादकता सिद्ध करते हैं। / Continuity together with unbounded behavior in both directions proves onto property.
\(x\to-\infty\) पर (x) का प्रभाव मान को \(-\infty\) की ओर ले जाता है और \(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to-\infty\), the term (x) drives the value to \(-\infty\), and as \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\).
Step 3
Exam Tip
जब सतत फलन दोनों दिशाओं में पूरे वास्तविक मानों को पार करता है, तब वह सर्वाच्छादक होता है। / When a continuous function crosses all real values, it is onto.
A. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) और \(e^x>0\), इसलिए \(x^2+e^x>0\)। / Since \(x^2\ge0\) and \(e^x>0\), we have \(x^2+e^x>0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर यह किसी भी (x) की छवि नहीं बन सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but it cannot be an image of any (x).
Step 3
Exam Tip
धनात्मकता या निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता जल्दी नकारी जा सकती है। / Positivity or a lower bound can quickly disprove onto property.
