यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) तथा (f(x)=x-2 +2x+1) है, तो (f) के आच्छादक होने के बारे में सही कथन कौन-सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)) and (f(x)=x-2 +2x+1), which statement about (f) being onto is correct?
#onto function
#range
#codomain
#quadratic
A (f) आच्छादक है / (f) is onto
B (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / (f) is not onto because (0) is not obtained
C (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल धनात्मक संख्याएँ मिलती हैं / (f) is not onto because only positive numbers are obtained
D (f) तभी आच्छादक है जब सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो / (f) is onto only when codomain is \(\mathbb{R}\)
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) आच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
(f(x)=x-2 +2x+1=(x+1)2 ) है। / (f(x)=x-2 +2x+1=(x+1)2 ).
Step 2
Why this answer is correct
((x+1)2 ) का परास \([0,\infty\)) है, जो दिए गए सहप्रांत के बराबर है। / The range is \([0,\infty\)), exactly the given codomain.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में आच्छादक जाँचते समय हमेशा परास और सहप्रांत की तुलना करें। / In exams, compare the range with the codomain to decide onto.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
फलन \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x+1) के लिए कौन-सा निष्कर्ष सही है?
For the function \(f:[-1,\infty\)\to[0,\infty)), (f(x)=x-2 +2x+1), which conclusion is correct?
#onto function
#restricted domain
#quadratic
#range
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (x<-1) नहीं लिया गया / It is not onto because (x<-1) is not taken
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D यह केवल एकैकी है, आच्छादक नहीं / It is one-one only, not onto
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
(f(x)=(x+1)2 ) और प्रांत में \(x\ge -1\) है। / (f(x)=(x+1)2 ) and the domain has \(x\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x+1\ge0\), इसलिए ((x+1)2 ) से हर \(y\in[0,\infty\)) मिल जाता है। / Since \(x+1\ge0\), every \(y\in[0,\infty\)) is obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में भी आच्छादकता संभव है, यदि पूरा सहप्रांत ढक जाए। / A restricted domain can still make a function onto if it covers the whole codomain.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
फलन (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about (f:\mathbb{R}\to\(0,\infty\)), (f(x)=e^x).
#onto function
#exponential
#range
#codomain
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / It is not onto because (0) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते / It is not onto because negative values are not obtained
D यह तभी आच्छादक है जब सहप्रांत \([0,\infty\)) हो / It is onto only when the codomain is \([0,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है। / \(e^x\) is always positive.
Step 2
Why this answer is correct
हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर \(e^x=y\) मिलता है। / For every (y>0), take \(x=\ln y\), then \(e^x=y\).
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में सहप्रांत सही चुनने से आच्छादकता स्पष्ट हो जाती है। / For exponential functions, the correct codomain is the key to onto checking.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=e^x), तो (f) आच्छादक है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to[0,\infty\)), (f(x)=e^x), is (f) onto?
#onto function
#exponential
#codomain
#endpoint
A नहीं, क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता / No, because (0) is in the codomain but is not obtained
B हाँ, क्योंकि \(e^x\) धनात्मक है / Yes, because \(e^x\) is positive
C हाँ, क्योंकि हर (x) के लिए मान परिभाषित है / Yes, because the value is defined for every (x)
D नहीं, क्योंकि (1) प्राप्त नहीं होता / No, because (1) is not obtained
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. नहीं, क्योंकि (0) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता / No, because (0) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
\(e^x>0\) सभी वास्तविक (x) के लिए सत्य है। / \(e^x>0\) for all real (x).
Step 2
Why this answer is correct
(0) सहप्रांत \([0,\infty\)) में है, लेकिन कोई (x) ऐसा नहीं कि \(e^x=0\)। / (0) is in \([0,\infty\)), but there is no (x) such that \(e^x=0\).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत का बंद सिरा कई बार आच्छादकता बदल देता है। / A closed endpoint in the codomain can change onto status.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), तो सही कथन कौन-सा है?
If (f:\mathbb{R}\to(-1,1)), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), which statement is correct?
#onto function
#absolute value
#range
#open interval
A (f) आच्छादक है / (f) is onto
B (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) नहीं मिलता / (f) is not onto because (0) is not obtained
C (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि केवल धनात्मक मान मिलते हैं / (f) is not onto because only positive values are obtained
D (f) का परास ([-1,1]) है / The range of (f) is ([-1,1])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) आच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of the function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{1-|y|}\) लेने पर (f(x)=y) मिलता है। / For \(y\in(-1,1)\), taking \(x=\frac{y}{1-|y|}\) gives (f(x)=y).
Step 3
Exam Tip
खुले अंतराल में सिरों का न मिलना आच्छादकता को नहीं रोकता। / Missing endpoints does not matter when the codomain is open.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
फलन \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}) के लिए सही विकल्प चुनिए।
Choose the correct option for \(f:\mathbb{R}\to[-1,1]\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}).
#onto function
#absolute value
#closed interval
#not onto
A यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते / It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
B यह आच्छादक है / It is onto
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) प्राप्त नहीं होता / It is not onto because (0) is not obtained
D यह केवल ([0,1]) पर मान देता है / It gives values only in ([0,1])
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (-1) और (1) प्राप्त नहीं होते / It is not onto because (-1) and (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x}{1+|x|}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। / \(\frac{x}{1+|x|}\) stays greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(-1) और (1) सहप्रांत में हैं, पर किसी वास्तविक (x) से नहीं मिलते। / (-1) and (1) are in the codomain but are not obtained for any real (x).
Step 3
Exam Tip
बंद सहप्रांत में छूटे हुए सिरों को अवश्य जाँचें। / Always check endpoints when the codomain is closed.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
मान लीजिए \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x)। (f) की आच्छादकता के बारे में कौन-सा कथन सही है?
Let \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x). Which statement about onto nature of (f) is correct?
#onto function
#cubic
#real numbers
#polynomial
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि बीच के कुछ मान छूटते हैं / It is not onto because some middle values are missed
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि अधिकतम और न्यूनतम हैं / It is not onto because it has local maximum and minimum
D यह केवल धनात्मक मान देता है / It gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) एक बहुपद है और सभी वास्तविक (x) पर सतत है। / \(x^3-3x\) is a polynomial continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty) और \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty), इसलिए हर वास्तविक मान मिल जाता है। / As \(x\to\infty\), (f(x)\to\infty), and as \(x\to-\infty\), (f(x)\to-\infty), so every real value is obtained.
Step 3
Exam Tip
विषम घात का अग्र पद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में आच्छादकता देता है। / An odd-degree leading term often helps prove onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +x+1), तो (f) आच्छादक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +x+1), why is (f) not onto?
#onto function
#not onto
#quadratic
#range
A क्योंकि (f(x)\ge\frac{3}{4}), इसलिए कई वास्तविक मान छूटते हैं / Because (f(x)\ge\frac{3}{4}), so many real values are missed
B क्योंकि (f(x)\le\frac{3}{4}) / Because (f(x)\le\frac{3}{4})
C क्योंकि (f(x)) केवल पूर्णांक मान देता है / Because (f(x)) gives only integer values
D क्योंकि (f(x)=0) के दो वास्तविक हल हैं / Because (f(x)=0) has two real solutions
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (f(x)\ge\frac{3}{4}), इसलिए कई वास्तविक मान छूटते हैं / Because (f(x)\ge\frac{3}{4}), so many real values are missed
Step 1
Concept
(x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4})। / (x-2 +x+1=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान \(\frac{3}{4}\) है, अतः उससे छोटे वास्तविक मान नहीं मिलते। / Its minimum value is \(\frac{3}{4}\), so real values below it are missed.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूरा करके परास निकालना बहुत उपयोगी तरीका है। / Completing the square is a useful way to find the range.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
फलन \(f:\mathbb{R}\to\left[\frac{3}{4},\infty\right\)), (f(x)=x-2 +x+1) के बारे में सही कथन चुनिए।
Choose the correct statement about \(f:\mathbb{R}\to\left[\frac{3}{4},\infty\right\)), (f(x)=x-2 +x+1).
#onto function
#quadratic
#range
#codomain
A यह आच्छादक है / It is onto
B यह आच्छादक नहीं है क्योंकि \(\frac{3}{4}\) नहीं मिलता / It is not onto because \(\frac{3}{4}\) is not obtained
C यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) नहीं मिलता / It is not onto because (1) is not obtained
D यह तभी आच्छादक है जब प्रांत \([0,\infty\)) हो / It is onto only when the domain is \([0,\infty\))
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. यह आच्छादक है / It is onto
Step 1
Concept
वर्ग पूरा करने पर (f(x)=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4})। / Completing the square gives (f(x)=\left\(x+\frac{1}{2}\right\)2 +\frac{3}{4}).
Step 2
Why this answer is correct
परास \(\left[\frac{3}{4},\infty\right\)) है, जो सहप्रांत के समान है। / The range is \(\left[\frac{3}{4},\infty\right\)), the same as the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को परास के बराबर रखने पर फलन आच्छादक हो जाता है। / A function is onto when its range equals its codomain.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
यदि \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), तो कौन-सा कथन सही है?
If \(f:\mathbb{R}\setminus{1}\to\mathbb{R}\setminus{1}\), (f(x)=\frac{x+1}{x-1}), which statement is correct?
#onto function
#rational function
#codomain
#preimage
A (f) आच्छादक है / (f) is onto
B (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि (1) प्राप्त नहीं होता / (f) is not onto because (1) is not obtained
C (f) आच्छादक नहीं है क्योंकि (0) प्राप्त नहीं होता / (f) is not onto because (0) is not obtained
D (f) केवल धनात्मक मान देता है / (f) gives only positive values
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. (f) आच्छादक है / (f) is onto
Step 1
Concept
किसी \(y\ne1\) के लिए \(y=\frac{x+1}{x-1}\) लिखें। / For any \(y\ne1\), write \(y=\frac{x+1}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
हल करने पर \(x=\frac{y+1}{y-1}\), जो \(y\ne1\) पर परिभाषित है और \(x\ne1\) भी है। / Solving gives \(x=\frac{y+1}{y-1}\), which is defined for \(y\ne1\) and also \(x\ne1\).
Step 3
Exam Tip
लक्ष्य मान से (x) मिल जाए तो आच्छादकता सिद्ध होती है। / If every target value gives a valid (x), the function is onto.
Login to save your score, XP, coins and progress. Login
