Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि (1) सहप्रांत में है पर प्राप्त नहीं होता/Because (1) is in the codomain but is not obtained
Step 1
Concept
\(\frac{x+1}{x-1}=1\) रखने पर (x+1=x-1) मिलता है। / Putting \(\frac{x+1}{x-1}=1\) gives (x+1=x-1).
Step 2
Why this answer is correct
यह असंभव है, इसलिए (1) कभी प्राप्त नहीं होता। / This is impossible, so (1) is never obtained.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) हो और कोई वास्तविक मान छूटे तो फलन आच्छादक नहीं है। / If the codomain is \(\mathbb{R}\) and one real value is missed, the function is not onto.
A. यह फलन इस सहप्रांत में सु-परिभाषित नहीं है/This function is not well-defined for this codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर (f(0)=3) मिलता है। / At (x=0), (f(0)=3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन (3) दिए गए सहप्रांत (\(-\infty,3\)) में नहीं है, इसलिए फलन इस सहप्रांत के लिए सु-परिभाषित नहीं माना जाएगा। / But (3) is not in the given codomain (\(-\infty,3\)), so the function is not well-defined for this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता से पहले यह जाँचें कि हर प्रतिचित्र सहप्रांत में आ रहा है या नहीं। / Before onto checking, verify that every output lies in the codomain.
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि (1,2,3,4,5) नहीं मिलते/It is not onto because (1,2,3,4,5) are not obtained
Step 1
Concept
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (f(n)=n+5\ge6)। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (f(n)=n+5\ge6).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत के (1,2,3,4,5) जैसे मान प्राप्त नहीं होते। / Codomain values such as (1,2,3,4,5) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या वाले प्रश्नों में प्रारंभिक मान अवश्य देखें। / For integer and natural number functions, always check the starting values.
A. क्योंकि कोई सम पूर्णांक प्राप्त नहीं होता/Because no even integer is obtained
Step 1
Concept
(2n+1) हमेशा विषम पूर्णांक होता है। / (2n+1) is always an odd integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{Z}\) में सम पूर्णांक भी हैं, जैसे (0) और (2), जो प्राप्त नहीं होते। / The codomain \(\mathbb{Z}\) also contains even integers like (0) and (2), which are missed.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांक फलनों में parity देखकर जल्दी निर्णय लिया जा सकता है। / For integer functions, parity often gives a quick test.
सहप्रांत केवल विषम पूर्णांकों का है। / The codomain contains only odd integers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम पूर्णांक (y) के लिए \(n=\frac{y-1}{2}\) पूर्णांक होता है और (f(n)=y)। / For every odd integer (y), \(n=\frac{y-1}{2}\) is an integer and (f(n)=y).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को उचित रूप से सीमित करने से वही फलन आच्छादक हो सकता है। / Restricting the codomain suitably can make the same function onto.
A. नहीं, क्योंकि प्रांत में सहप्रांत से कम अवयव हैं/No, because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव किसी न किसी (A) के अवयव का चित्र होना चाहिए। / In an onto function, every element of (B) must be an image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ (A) में (3) और (B) में (4) अवयव हैं, इसलिए चारों अवयव ढकना असंभव है। / Here (A) has (3) elements and (B) has (4), so covering all four elements is impossible.
Step 3
Exam Tip
परिमित समुच्चयों में (|A|<|B|) हो तो आच्छादक फलन नहीं बनता। / For finite sets, if (|A|<|B|), an onto function cannot exist.
कुल फलन \(2^4=16\) हैं। / Total functions are \(2^4=16\).
Step 2
Why this answer is correct
आच्छादक नहीं होने वाले फलन वे हैं जो केवल एक ही अवयव पर जाते हैं, ऐसे (2) फलन हैं। / Non-onto functions use only one codomain element, so there are (2) such functions.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आच्छादक फलन (16-2=14) हैं। / Hence onto functions (=16-2=14).
