Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. क्योंकि कोई ऋणात्मक वास्तविक मान प्राप्त नहीं होता/Because no negative real value is obtained
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\ge0\) सभी \(x\ge0\) के लिए। / \(\sqrt{x}\ge0\) for all \(x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-2), जो नहीं मिलतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers such as (-2), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
परास छोटा और सहप्रांत बड़ा हो तो फलन आच्छादक नहीं होता। / If the range is smaller than the codomain, the function is not onto.
A. यह आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान प्राप्त नहीं होते/It is not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
निरपेक्ष मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / An absolute value is always non-negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक मान हैं, जो (f(x)) से नहीं मिल सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values, which cannot be obtained from (f(x)).
Step 3
Exam Tip
निरपेक्ष मान वाले फलनों में परास अक्सर \([0,\infty\)) से शुरू होता है। / For absolute value functions, the range usually starts from \([0,\infty\)).
A. यह सतत है और \(x\to\pm\infty\) पर मान भी \(\pm\infty\) की ओर जाते हैं/It is continuous and as \(x\to\pm\infty\), values go to \(\pm\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सभी वास्तविक संख्याओं पर सतत है। / \(x^3+x\) is continuous on all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। / For very large positive (x), values become very large positive, and for very large negative (x), values become very large negative.
Step 3
Exam Tip
सततता और दोनों ओर असीम विस्तार से हर वास्तविक मान मिल जाता है। / Continuity with unbounded behavior on both sides ensures every real value is obtained.
यह विषम घात वाला बहुपद है जिसका अग्र पद \(x^3\) है। / This is an odd-degree polynomial with leading term \(x^3\).
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर मान \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
सतत विषम घात बहुपद \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) में सामान्यतः आच्छादक होता है। / A continuous odd-degree polynomial from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\) is generally onto.
(x-4-x-2=\(x^2\)2-x-2) रखकर \(t=x^2\ge0\) लें। / Put \(t=x^2\ge0\), so \(x^4-x^2=t^2-t\).
Step 2
Why this answer is correct
\(t^2-t\) का न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) है, इसलिए (-1) नहीं मिल सकता। / The minimum value of \(t^2-t\) is \(-\frac{1}{4}\), so (-1) cannot be obtained.
Step 3
Exam Tip
चौथी घात वाले फलनों में \(t=x^2\) रखकर परास समझना आसान होता है। / For fourth-degree expressions in \(x^2\), substituting \(t=x^2\) helps find the range.
\(t=x^2\ge0\) रखने पर (f(x)=t-2-t)। / Put \(t=x^2\ge0\), then (f(x)=t-2-t).
Step 2
Why this answer is correct
इसका न्यूनतम मान \(-\frac{1}{4}\) \(t=\frac{1}{2}\) पर मिलता है और ऊपर के सभी मान मिलते हैं। / Its minimum value \(-\frac{1}{4}\) occurs at \(t=\frac{1}{2}\), and all larger values are obtained.
Step 3
Exam Tip
सही सहप्रांत चुनने पर जटिल दिखने वाला फलन भी आच्छादक हो सकता है। / With the correct codomain, even a complex-looking function can be onto.
A. क्योंकि (1) से बड़े मान प्राप्त नहीं होते/Because values greater than (1) are not obtained
Step 1
Concept
\(x\in[0,1]\) होने पर \(0\le x^2\le1\)। / For \(x\in[0,1]\), \(0\le x^2\le1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,2]) में (1.5) जैसे मान हैं, जो नहीं मिलते। / The codomain ([0,2]) contains values like (1.5), which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित हो तो अधिकतम और न्यूनतम मान से परास तुरंत मिल जाता है। / When the domain is restricted, maximum and minimum values quickly give the range.
