Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
B. (f) सर्वाच्छादक है क्योंकि यह सतत है और दोनों दिशाओं में असीमित फैलता है/(f) is onto because it is continuous and unbounded in both directions
Step 1
Concept
यह विषम घात का सतत बहुपद है। / This is a continuous odd-degree polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है, इसलिए बीच के सभी वास्तविक मान मिलते हैं। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\), so every real value is attained.
Step 3
Exam Tip
स्थानीय मोड़ देखकर घबराएँ नहीं, अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता में बहुत उपयोगी होता है। / Do not be confused by turning points; end behavior is very useful for onto property.
B. क्योंकि (-1) छवि नहीं बनता/Because (-1) is not an image
Step 1
Concept
\(x^4\ge0\) और \(x^2\ge0\), इसलिए \(x^4+x^2\ge0\)। / Since \(x^4\ge0\) and \(x^2\ge0\), we have \(x^4+x^2\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) है, पर कोई वास्तविक (x) इसे छवि नहीं बना सकता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (-1), but no real (x) can map to it.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले योग में ऋणात्मक सहप्रांत मान तुरंत जाँचें। / For sums of even powers, check negative codomain values first.
इसका परास \([2,\infty\)) है, इसलिए सर्वाच्छादक होने के लिए सहप्रांत भी \([2,\infty\)) होना चाहिए। / Its range is \([2,\infty\)), so the codomain must be \([2,\infty\)) for onto property.
Step 3
Exam Tip
द्विघात में पूर्ण वर्ग बनाकर न्यूनतम मान निकालें। / Complete the square to find the minimum value of a quadratic.
(f(x)=(x-1)2+4) है और \(1\in[-2,3]\)। / (f(x)=(x-1)2+4), and \(1\in[-2,3]\).
Step 2
Why this answer is correct
न्यूनतम मान (4) है, और सिरों पर (f(-2)=13), (f(3)=8), इसलिए अधिकतम (13) है। / The minimum is (4), and at the endpoints (f(-2)=13), (f(3)=8), so the maximum is (13).
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर शीर्ष और दोनों सिरों की जाँच करें। / On a closed interval, check the vertex and both endpoints.
\(y=\frac{3x+1}{x-2}\) मानकर हल करने पर \(x=\frac{2y+1}{y-3}\) मिलता है। / Put \(y=\frac{3x+1}{x-2}\), then solving gives \(x=\frac{2y+1}{y-3}\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में \(y\ne3\), इसलिए यह (x) परिभाषित है और जाँचने पर \(x\ne2\) रहता है। / Since \(y\ne3\) in the codomain, this (x) is defined and it also satisfies \(x\ne2\).
Step 3
Exam Tip
भिन्नात्मक फलन में छूटे हुए मान को हर के शून्य से जोड़कर देखें। / In rational functions, relate the missed value to the denominator restriction.
(x=0) पर (0) मिलता है और (x=1) पर \(\frac{1}{2}\) मिलता है। / At (x=0), (0) is obtained, and at (x=1), \(\frac{1}{2}\) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है, इसलिए (1) कभी नहीं मिलता।
Step 3
Exam Tip
जहाँ हर अंश से बड़ा हो, वहाँ अंतिम सीमा मान को सावधानी से देखें। / When the denominator is larger than the numerator, check endpoint limit values carefully.
हर (x) के लिए \(e^x>0\), इसलिए मान (0) और (1) के बीच रहता है। / For every (x), \(e^x>0\), so the value lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (0<y<1) के लिए \(e^x=\frac{1-y}{y}\), अतः \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) वास्तविक है। / For any (0<y<1), \(e^x=\frac{1-y}{y}\), so \(x=\ln\frac{1-y}{y}\) is real.
Step 3
Exam Tip
खुले अंतराल में अंतिम बिंदु चाहिए ही नहीं, इसलिए भ्रम न करें। / In an open interval codomain, endpoints are not required.
\(e^x+e^{-x}\ge2\), इसलिए (f(x)\ge0)। / \(e^x+e^{-x}\ge2\), so (f(x)\ge0).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है और (|x|) बढ़ने पर मान लगातार \(\infty\) तक जाता है, इसलिए सभी गैरऋणात्मक मान मिलते हैं। / At (x=0), (0) is obtained, and as (|x|) increases, the value continuously goes to \(\infty\), so every non-negative value is obtained.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में असमता और सततता दोनों का उपयोग करें। / Use both inequality and continuity in such questions.
C. यह सतत है और (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)/It is continuous and (\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty), (\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty)
Step 1
Concept
\(x+\sin x\) सतत फलन है। / \(x+\sin x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sin x\) सीमित है, पर (x) असीमित है, इसलिए फलन दोनों दिशाओं में असीमित जाता है। / \(\sin x\) is bounded, but (x) is unbounded, so the function goes unbounded in both directions.
Step 3
Exam Tip
सीमित जोड़ किसी रैखिक असीमित व्यवहार को नहीं रोकता। / A bounded added term does not stop the unbounded linear behavior.
B. (f) सर्वाच्छादक नहीं है क्योंकि बहुत बड़ी ऋणात्मक संख्याएँ छवि नहीं बनतीं/(f) is not onto because very large negative numbers are not images
Step 1
Concept
\(x^2\ge0\) और \(\sin x\ge-1\), इसलिए (f(x)\ge-1)। / Since \(x^2\ge0\) and \(\sin x\ge-1\), (f(x)\ge-1).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-2) जैसे मान हैं, पर वे छवि नहीं बन सकते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-2), but they cannot be images.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण परास न मिले तब भी निचली सीमा दिखाकर सर्वाच्छादकता तोड़ी जा सकती है। / Even without the exact range, a lower bound can disprove onto property.
