Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(|x-2|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x-2|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge0\) के लिए (x=y+2) लेने पर (|x-2|=y) मिलता है। / For any \(y\ge0\), choosing (x=y+2) gives (|x-2|=y).
Step 3
Exam Tip
मापांक में स्थानांतरण परास को नहीं बदलता, केवल शिखर की जगह बदलता है। / A horizontal shift of a modulus function changes the vertex location but not the range type.
A. (1) किसी भी (x) की छवि नहीं हो सकता/(1) cannot be the image of any (x)
Step 1
Concept
\(-x^2\) कभी धनात्मक नहीं होता। / \(-x^2\) is never positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (1) है पर कोई वास्तविक (x) ऐसा नहीं कि \(-x^2=1\)। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (1), but no real (x) satisfies \(-x^2=1\).
Step 3
Exam Tip
सर्वाच्छादकता न होने के लिए एक छूटा मान दिखाना पर्याप्त है। / Showing one missed codomain value is enough to prove not onto.
A. क्योंकि हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी प्रांत में होता है/Because for every \(y\in\mathbb{R}\), \(x=\tan^{-1}y\) lies in this domain
Step 1
Concept
\(\tan x\) का मुख्य अंतराल (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)) पूरे \(\mathbb{R}\) पर फैलता है। / On the principal interval (\left\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right\)), \(\tan x\) covers all real numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\tan^{-1}y\) इसी अंतराल में मिलता है। / For every real (y), \(x=\tan^{-1}y\) lies in that interval.
Step 3
Exam Tip
प्रतिलोम त्रिकोणमितीय मान सर्वाच्छादकता दिखाने में मदद करते हैं। / Inverse trigonometric values help prove onto property.
इस फलन का परास ((-1,1)) है। / The range of this function is ((-1,1)).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\in(-1,1)\) के लिए \(y\ge0\) होने पर \(x=\frac{y}{1-y}\) और (y<0) होने पर \(x=\frac{y}{1+y}\) लिया जा सकता है। / For \(y\ge0\), take \(x=\frac{y}{1-y}\), and for (y<0), take \(x=\frac{y}{1+y}\).
Step 3
Exam Tip
खंडों में परिभाषित व्यवहार को अलग-अलग जाँचना लाभदायक है। / For modulus-based expressions, checking cases separately is helpful.
A. ऋणात्मक संख्याएँ और (0) छवि नहीं बनते/Negative numbers and (0) are not images
Step 1
Concept
\(2^x\) हर वास्तविक (x) के लिए धनात्मक है। / \(2^x\) is positive for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (0) और ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ सहप्रांत में होकर भी परास में नहीं हैं। / Therefore (0) and negative real numbers are in the codomain but not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलनों का प्राकृतिक परास (\(0,\infty\)) ध्यान रखें। / Remember that the natural range of exponential functions is (\(0,\infty\)).
