Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
A. यह सतत है और \(x\to\infty\) पर (f(x)\to\infty), \(x\to-\infty\) पर (f(x)\to-\infty)/It is continuous and (f(x)\to\infty) as \(x\to\infty\), (f(x)\to-\infty) as \(x\to-\infty\)
Step 1
Concept
\(x^3+x\) सतत बहुपद है। / \(x^3+x\) is a continuous polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
बहुत बड़े धनात्मक (x) पर मान बहुत बड़ा धनात्मक और बहुत बड़े ऋणात्मक (x) पर बहुत बड़ा ऋणात्मक होता है। / For very large positive (x), its value is very large positive, and for very large negative (x), its value is very large negative.
Step 3
Exam Tip
सतत बहुपद के अंत व्यवहार से पूरे वास्तविक परास का संकेत मिलता है। / The end behavior of a continuous odd-degree polynomial supports onto over \(\mathbb{R}\).
A. हाँ क्योंकि हर (y\in(0,1]) के लिए \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) लिया जा सकता है/Yes because for every (y\in(0,1]), \(x=\sqrt{\frac{1}{y}-1}\) can be taken
Step 1
Concept
\(\frac{1}{1+x^2}\) का मान (0) से बड़ा और (1) तक होता है। / \(\frac{1}{1+x^2}\) takes values greater than (0) and up to (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(0<y\le1\) के लिए \(\frac{1}{y}-1\ge0\), इसलिए उपयुक्त (x) मिल जाता है। / For any \(0<y\le1\), \(\frac{1}{y}-1\ge0\), so a suitable (x) exists.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में पहले परास की सीमा पहचानें। / In such questions, identify the range interval first.
A. क्योंकि (1) कभी छवि नहीं बनता/Because (1) is never an image
Step 1
Concept
\(\frac{x^2}{1+x^2}<1\) हर वास्तविक (x) के लिए है।
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) नहीं मिलता जबकि (1) सहप्रांत में है। / (0) is obtained at (x=0), but (1) is not obtained though it is in the codomain.
Step 3
Exam Tip
जहाँ चर हर और अंश दोनों में हो, सीमा मानों को ध्यान से जाँचें। / When a variable occurs in both numerator and denominator, check endpoint values carefully.
A. \(\frac{1}{2}\) जैसे वास्तविक मान छवि नहीं बनते/Real values like \(\frac{1}{2}\) are not images
Step 1
Concept
\(\lfloor x\rfloor\) हमेशा पूर्णांक देता है। / \(\lfloor x\rfloor\) always gives an integer.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में \(\frac{1}{2}\) है, पर वह कभी छवि नहीं बनता। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains \(\frac{1}{2}\), but it is never an image.
Step 3
Exam Tip
महत्तम पूर्णांक फलन में परास पूर्णांकों तक सीमित रहता है। / The greatest integer function has range limited to integers.
A. क्योंकि (5) छवि नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
\(x\in[0,2]\) होने पर \(x^2\in[0,4]\) होता है। / If \(x\in[0,2]\), then \(x^2\in[0,4]\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में (5) है पर \(x^2=5\) के लिए \(x=\sqrt{5}\), जो प्रांत में नहीं है। / The codomain contains (5), but \(x^2=5\) gives \(x=\sqrt{5}\), which is not in the domain.
Step 3
Exam Tip
सीमित प्रांत में सबसे बड़े और सबसे छोटे संभव मान जाँचना जरूरी है। / With restricted domains, check the maximum and minimum possible output values.
A. हाँ क्योंकि यह विषम घात का सतत बहुपद है और दोनों दिशाओं में असीमित जाता है/Yes because it is a continuous odd-degree polynomial and is unbounded in both directions
Step 1
Concept
\(x^3-3x\) सतत है। / \(x^3-3x\) is continuous.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। / As \(x\to\infty\), it goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\).
Step 3
Exam Tip
स्थानीय मोड़ होने पर भी अंत व्यवहार सर्वाच्छादकता दिखा सकता है। / Even with turning points, end behavior can show onto property.
