Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(e^x\) का मान हमेशा धनात्मक होता है और इसका परास (\(0,\infty\)) है। / \(e^x\) is always positive and its range is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए सहप्रांत के हर (y>0) के लिए \(x=\ln y\) वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है और बढ़ता हुआ होने से एकैकी भी है। / For every (y>0) in the codomain, \(x=\ln y\) is real. So the function is onto and also one-one because it is increasing.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन का परास याद रखें। / Remember the range of exponential functions.
A. क्योंकि \(e^x\) कभी (0) या ऋणात्मक नहीं होता/Because \(e^x\) is never (0) or negative
Step 1
Concept
\(e^x>0\) हर वास्तविक (x) के लिए होता है। / \(e^x>0\) for every real (x).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक संख्याएँ हैं, जो \(e^x\) से प्राप्त नहीं होतीं। इसलिए परास सहप्रांत से छोटा है। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative numbers, which are not obtained from \(e^x\). Hence the range is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत को ध्यान से पढ़ना आच्छादी प्रश्नों में सबसे जरूरी है। / Reading the codomain carefully is most important in onto questions.
\(\ln x\) का परास \(\mathbb{R}\) है। / The range of \(\ln x\) is \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी वास्तविक (y) के लिए \(x=e^y>0\) मिलता है, जो प्रांत में है। इसलिए फलन आच्छादी है। \(\ln x\) बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any real (y), \(x=e^y>0\), which lies in the domain. So the function is onto. Since \(\ln x\) is increasing, it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
\(\ln x\) और \(e^x\) के परास-प्रांत संबंध को याद रखें। / Remember the domain-range link between \(\ln x\) and \(e^x\).
A. (f) आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं/(f) is onto but not one-one
Step 1
Concept
\(\sin x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\sin x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([-1,1]) है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर \(\sin 0=\sin \pi=0\), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ([-1,1]), so the function is onto. But \(\sin 0=\sin \pi=0\), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
त्रिकोणमितीय फलनों में आवर्तता के कारण एकैकीपन अक्सर टूटता है। / Periodicity often breaks one-one nature in trigonometric functions.
A. हाँ, क्योंकि \(\cos x\) का परास ([-1,1]) है/Yes, because the range of \(\cos x\) is ([-1,1])
Step 1
Concept
\(\cos x\) का परास ([-1,1]) होता है। / The range of \(\cos x\) is ([-1,1]).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी यही दिया गया है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य किसी न किसी (x) का प्रतिबिंब है। अतः फलन आच्छादी है। / The codomain is the same, so every codomain element is the image of some (x). Hence the function is onto.
Step 3
Exam Tip
आच्छादी होने के लिए परास और सहप्रांत बराबर होने चाहिए। / For onto, the range must equal the codomain.
इस अंतराल पर \(\tan x\) लगातार बढ़ता है। / On this interval, \(\tan x\) is strictly increasing.
Step 2
Why this answer is correct
(x) जब \(-\frac{\pi}{2}\) के पास जाता है तो मान बहुत छोटा होता है और \(\frac{\pi}{2}\) के पास बहुत बड़ा होता है। इसलिए परास \(\mathbb{R}\) है। / As (x) approaches \(-\frac{\pi}{2}\), the value becomes very small, and near \(\frac{\pi}{2}\), it becomes very large. Hence the range is \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
उचित अंतराल चुनने से त्रिकोणमितीय फलन आच्छादी और एकैकी बन सकता है। / Choosing a suitable interval can make a trigonometric function onto and one-one.
A. हाँ, क्योंकि घन बहुपद का परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because this cubic polynomial has range \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
\(x^3-x\) सतत घन बहुपद है। / \(x^3-x\) is a continuous cubic polynomial.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) की ओर और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) के लिए कोई न कोई (x) मिलता है। / As \(x\to\infty\), its value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Therefore every real (y) is obtained.
Step 3
Exam Tip
विषम घात के प्रमुख पद वाले बहुपद अक्सर \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होते हैं। / Polynomials with odd leading degree are often onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^4\ge 0\), इसलिए \(x^4+1\ge 1\)। / \(x^4\ge 0\), so \(x^4+1\ge 1\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है, लेकिन (0) और ऋणात्मक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए यह आच्छादी नहीं है। / The codomain is \(\mathbb{R}\), but (0) and negative numbers are not images. Therefore it is not onto.
Step 3
Exam Tip
सम घात वाले बहुपद में न्यूनतम मान पर ध्यान दें। / For even-degree polynomials, check the minimum value.
(B) के तीनों सदस्य (p,q,r) कम से कम एक बार प्रतिबिंब के रूप में आते हैं। / All three elements (p,q,r) of (B) appear at least once as images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (2) और (3) दोनों (q) पर जाते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / Hence the function is onto. But (2) and (3) both map to (q), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित फलन में आच्छादी जाँचने के लिए सहप्रांत के सभी सदस्यों को चिह्नित करें। / For finite functions, mark all elements of the codomain while checking onto.
A. क्योंकि प्रांत में सदस्यों की संख्या सहप्रांत से कम है/Because the domain has fewer elements than the codomain
Step 1
Concept
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य से जुड़ना चाहिए। / In an onto function, every codomain element must be covered by some domain element.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ प्रांत में (3) सदस्य और सहप्रांत में (4) सदस्य हैं। तीन सदस्य चार अलग-अलग सहप्रांत सदस्यों को ढक नहीं सकते। / Here the domain has (3) elements and the codomain has (4) elements. Three elements cannot cover four distinct codomain elements.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चयों में आच्छादी के लिए \(|A|\ge |B|\) जरूरी है। / For finite sets, onto requires \(|A|\ge |B|\).
