Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
([0,2]) पर \(x^2\) का परास ([0,4]) है। / On ([0,2]), the range of \(x^2\) is ([0,4]).
Step 2
Why this answer is correct
यह सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। ([0,2]) पर \(x^2\) बढ़ता है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / This equals the codomain, so the function is onto. On ([0,2]), \(x^2\) is increasing, so different (x) values give different images.
Step 3
Exam Tip
बंद अंतराल पर अंतिम बिंदुओं से परास जल्दी मिलता है। / On a closed interval, endpoints often help find the range quickly.
A. क्योंकि (5) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (5) is not an image
Step 1
Concept
([0,2]) पर \(x^2\) का अधिकतम मान (4) है। / On ([0,2]), the maximum value of \(x^2\) is (4).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत ([0,5]) है, लेकिन (5) जैसे सदस्य प्राप्त नहीं होते। इसलिए परास ([0,4]) सहप्रांत से छोटा है। / The codomain is ([0,5]), but elements like (5) are not obtained. Thus the range ([0,4]) is smaller than the codomain.
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत के अतिरिक्त हिस्से को पहचानना आच्छादी प्रश्नों में मदद करता है। / Identify the extra part of the codomain in onto questions.
((x-2)2\ge 0), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / ((x-2)2\ge 0), so the minimum value is (3).
Step 2
Why this answer is correct
परास \([3,\infty\)) है, जो सहप्रांत के बराबर है। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (x=1) और (x=3) पर मान समान है, इसलिए एकैकी नहीं है। / The range is \([3,\infty\)), equal to the codomain. Hence the function is onto. But (x=1) and (x=3) give the same value, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
द्विघात फलन का शीर्ष परास बताता है। / The vertex of a quadratic tells the range.
A. हाँ, इसका परास (\(-\infty,4]\) है/Yes, its range is (\(-\infty,4]\)
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(4-x^2\le 4\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(4-x^2\le 4\).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान बहुत छोटे ऋणात्मक हो सकते हैं, इसलिए परास (\(-\infty,4]\) है। यह सहप्रांत के बराबर है। / For large (x), values become very negative, so the range is (\(-\infty,4]\). This equals the codomain.
Step 3
Exam Tip
नीचे खुलने वाले द्विघात में अधिकतम मान देखें। / For a downward-opening quadratic, check the maximum value.
\(|x-4|\ge 0\), इसलिए (f(x)\ge 1)। / \(|x-4|\ge 0\), so (f(x)\ge 1).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge 1\) के लिए (|x-4|=y-1) का हल मिल जाता है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (x=3) और (x=5) पर मान समान है। / For every \(y\ge 1\), the equation (|x-4|=y-1) has a solution, so the function is onto. But (x=3) and (x=5) give the same value.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन अक्सर आच्छादी हो सकता है, पर एकैकी नहीं। / A modulus function can be onto but often not one-one.
दिए गए प्रांत में \(x\ge 4\), इसलिए (|x-4|=x-4)। / In the given domain, \(x\ge 4\), so (|x-4|=x-4).
Step 2
Why this answer is correct
फलन (f(x)=x-3) बन जाता है, जिसका परास \([1,\infty\)) है। यह सहप्रांत के बराबर है और बढ़ता हुआ भी है। / The function becomes (f(x)=x-3), whose range is \([1,\infty\)). This equals the codomain and is increasing.
Step 3
Exam Tip
मापांक हटाने से पहले प्रांत की शर्त देखें। / Before removing modulus, check the domain condition.
A. इसका परास \([1,\infty\)) है/Its range is \([1,\infty\))
Step 1
Concept
(x-2-4x+5=(x-2)2+1)। / (x-2-4x+5=(x-2)2+1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए न्यूनतम मान (1) है और परास \([1,\infty\)) है। सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (0) और ऋणात्मक मान भी हैं, जो नहीं मिलते। / So the minimum value is (1) and the range is \([1,\infty\)). The codomain \(\mathbb{R}\) contains (0) and negative values, which are not obtained.
Step 3
Exam Tip
वर्ग पूर्ण करने की विधि परास निकालने में बहुत उपयोगी है। / Completing the square is very useful for finding range.
\(x^3+3x\) हर जगह बढ़ता हुआ है, क्योंकि (x) बढ़ने पर मान भी बढ़ता है। / \(x^3+3x\) is increasing everywhere, because as (x) increases, the value increases.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए हर वास्तविक (y) मिलता है और फलन आच्छादी है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence every real (y) is obtained and the function is onto.
Step 3
Exam Tip
बढ़ता हुआ घन फलन अक्सर आच्छादी और एकैकी दोनों होता है। / An increasing cubic is often both onto and one-one.
सहप्रांत केवल सम पूर्णांक हैं। / The codomain contains only even integers.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी सम पूर्णांक (y) को (y=2k) लिखा जा सकता है, जहाँ \(k\in\mathbb{Z}\)। तब (f(k)=y), इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (n) अलग (2n) देते हैं। / Any even integer (y) can be written as (y=2k), where \(k\in\mathbb{Z}\). Then (f(k)=y), so the function is onto. Different (n) values give different (2n).
Step 3
Exam Tip
सहप्रांत बदलने से वही नियम आच्छादी बना सकता है। / Changing the codomain can make the same rule onto.
A. सम प्राकृतिक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Even natural numbers are not images
Step 1
Concept
(2n-1) हमेशा विषम प्राकृतिक संख्या देता है। / (2n-1) always gives an odd natural number.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{N}\) में (2,4,6) जैसी सम प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जो प्रतिबिंब नहीं बनतीं। इसलिए फलन आच्छादी नहीं है। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains even natural numbers such as (2,4,6), which are not images. Therefore the function is not onto.
Step 3
Exam Tip
सूत्र से मिलने वाले मानों के प्रकार को पहचानें। / Identify the type of values produced by the formula.
