Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
आच्छादक होने के लिए हर \(y\in\mathbb{R}\) के लिए कोई \(x\in\mathbb{R}\) मिलना चाहिए। / For onto, every \(y\in\mathbb{R}\) must have some preimage \(x\in\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3-1\) से \(x=\sqrt[3]{y+1}\) मिलता है जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। / From \(y=x^3-1\), we get \(x=\sqrt[3]{y+1}\), which is real for every real (y).
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में घन फलनों का परास ध्यान से देखें क्योंकि वे अक्सर पूरे \(\mathbb{R}\) को ढकते हैं। / In exams, cubic functions often cover all real values.
(f(n)=n+1) से मान \(2,3,4,\ldots\) मिलते हैं। / (f(n)=n+1) gives values \(2,3,4,\ldots\).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{N}\) में (1) है पर (1) किसी (n) से प्राप्त नहीं होता। / The codomain \(\mathbb{N}\) contains (1), but (1) has no preimage.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं वाले प्रश्नों में पहला मान अलग से जाँचना उपयोगी होता है। / In natural-number questions, checking the first few codomain values is very helpful.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(e^x\) हमेशा (0) से बड़ा होता है। / \(e^x\) is always greater than (0).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ और (0) हैं जो परास में नहीं आतीं। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative numbers and (0), which are not in the range.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में परास को याद रखना आच्छादकता के लिए बहुत जरूरी है। / Remembering the range of exponential functions helps in onto questions.
\(e^x\) का परास (\(0,\infty\)) है। / The range of \(e^x\) is (\(0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र भी (\(0,\infty\)) दिया है इसलिए हर लक्ष्य मान (y>0) के लिए \(x=\ln y\) मिल जाता है। / The codomain is also (\(0,\infty\)), so for every (y>0), \(x=\ln y\) exists.
Step 3
Exam Tip
आच्छादकता में दिए गए सहक्षेत्र को अनदेखा न करें। / Never ignore the given codomain in onto problems.
B. आच्छादक नहीं है क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Not onto because negative values are not obtained
Step 1
Concept
(|x|) का मान हमेशा (0) या धनात्मक होता है। / (|x|) is always (0) or positive.
Step 2
Why this answer is correct
सहक्षेत्र \(\mathbb{R}\) में (-3) जैसे मान हैं जो (|x|) से नहीं मिलते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains values like (-3), which cannot be obtained from (|x|).
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में ऋणात्मक लक्ष्य मान तुरंत आच्छादकता तोड़ देते हैं। / Negative target values quickly show that the modulus function is not onto over \(\mathbb{R}\).
