Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
सहप्रांत सभी विषम प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। / The codomain is the set of all odd natural numbers.
Step 2
Why this answer is correct
हर विषम संख्या (y=2k-1) के रूप में लिखी जा सकती है, इसलिए (k) उसका पूर्वप्रतिबिंब है। अलग (n) अलग विषम संख्याएँ देते हैं। / Every odd number can be written as (y=2k-1), so (k) is its preimage. Different (n) values give different odd numbers.
Step 3
Exam Tip
जब सहप्रांत ठीक परास के बराबर हो, फलन आच्छादी होता है। / When the codomain exactly equals the range, the function is onto.
\(e^x>0\), इसलिए \(e^x+1>1\)। / Since \(e^x>0\), \(e^x+1>1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी (y>1) के लिए (x=\ln(y-1)) मिलता है, जो वास्तविक है। इसलिए फलन आच्छादी है। यह बढ़ता हुआ है, इसलिए एकैकी भी है। / For any (y>1), (x=\ln(y-1)), which is real. Hence the function is onto. It is increasing, so it is also one-one.
Step 3
Exam Tip
घातीय फलन में ऊपर या नीचे खिसकाव से परास बदलता है। / Vertical shifts change the range of exponential functions.
\(\frac{x^2}{1+x^2}\) हमेशा (0) या उससे अधिक और (1) से कम होता है। / \(\frac{x^2}{1+x^2}\) is always at least (0) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x=0) पर (0) मिलता है, पर (1) किसी भी वास्तविक (x) से नहीं मिलता। इसलिए परास ([0,1)) है, सहप्रांत ([0,1]) नहीं। / At (x=0), we get (0), but (1) is not obtained for any real (x). So the range is ([0,1)), not the codomain ([0,1]).
Step 3
Exam Tip
सीमा मान और प्राप्त मान में अंतर रखें। / Distinguish between a limiting value and an attained value.
इस फलन का परास ([0,1)) है। / The range of this function is ([0,1)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत भी ([0,1)) है, इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन (f(2)=f(-2)), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / The codomain is also ([0,1)), so the function is onto. But (f(2)=f(-2)), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
परास सही चुनने पर वही फलन आच्छादी बन सकता है। / With the correct codomain, the same function can become onto.
A. हाँ, क्योंकि इसका परास \(\mathbb{R}\) है/Yes, because its range is \(\mathbb{R}\)
Step 1
Concept
यह विषम घात के प्रमुख पद वाला सतत बहुपद है। / This is a continuous polynomial with an odd leading degree.
Step 2
Why this answer is correct
\(x\to\infty\) पर मान \(\infty\) और \(x\to-\infty\) पर \(-\infty\) की ओर जाता है। इसलिए बीच के हर वास्तविक मान को लेता है और आच्छादी है। / As \(x\to\infty\), the value goes to \(\infty\), and as \(x\to-\infty\), it goes to \(-\infty\). Hence it takes every real value in between and is onto.
Step 3
Exam Tip
सतत घन बहुपद के दूर के व्यवहार से आच्छादीपन समझें। / Use the end behavior of continuous cubic polynomials to judge onto nature.
([-1,1]) पर \(x^2\) का परास ([0,1]) है। / On ([-1,1]), the range of \(x^2\) is ([0,1]).
Step 2
Why this answer is correct
यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (f(-1)=f(1)=1), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / This equals the given codomain, so the function is onto. But (f(-1)=f(1)=1), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सम फलन में (x) और (-x) के मान जरूर मिलाएँ। / For even functions, compare values at (x) and (-x).
A. क्योंकि (2) प्रतिबिंब नहीं बनता/Because (2) is not an image
Step 1
Concept
([-1,1]) पर \(x^2\) का सबसे बड़ा मान (1) है। / On ([-1,1]), the greatest value of \(x^2\) is (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए परास ([0,1]) है, जबकि सहप्रांत ([0,2]) दिया गया है। सहप्रांत का सदस्य (2) किसी भी (x) से प्राप्त नहीं होता। / So the range is ([0,1]), while the codomain is ([0,2]). The codomain element (2) is not obtained from any (x).
Step 3
Exam Tip
आच्छादी जाँचते समय अधिकतम और न्यूनतम मान ध्यान से देखें। / While checking onto, observe maximum and minimum values carefully.
इस फलन का मान हमेशा (-1) और (1) के बीच रहता है। / The value of this function always lies between (-1) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in(-1,1)\) के लिए \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) वास्तविक है, इसलिए हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। यह फलन बढ़ता भी है, इसलिए एकैकी है। / For any \(y\in(-1,1)\), \(x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\) is real, so every codomain element has a preimage. The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
भिन्न और वर्गमूल वाले फलन में पहले परास की सीमा पहचानें। / For fractional square-root functions, first identify the limiting range.
A. क्योंकि (-1) और (1) प्रतिबिंब नहीं बनते/Because (-1) and (1) are not images
Step 1
Concept
\(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) का मान (-1) से बड़ा और (1) से छोटा रहता है। / The value of \(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\) remains greater than (-1) and less than (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x) बहुत बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, पर (1) बनता नहीं। इसी तरह (-1) भी नहीं मिलता। / For very large (x), the value approaches (1), but never becomes (1). Similarly, (-1) is not obtained.
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुँचना और सीमा मान प्राप्त करना अलग बातें हैं। / Approaching a limiting value and attaining it are different ideas.
किसी पूर्णांक को (3) से भाग देने पर शेष (0,1,2) में से ही एक होता है। / When an integer is divided by (3), the remainder is one of (0,1,2).
Step 2
Why this answer is correct
ये तीनों शेष मिलते हैं, जैसे (f(3)=0), (f(4)=1), (f(5)=2)। इसलिए फलन आच्छादी है। लेकिन कई पूर्णांक समान शेष देते हैं, इसलिए एकैकी नहीं है। / All three remainders are obtained, for example (f(3)=0), (f(4)=1), and (f(5)=2). Hence the function is onto. But many integers give the same remainder, so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
शेषफल वाले प्रश्नों में सभी संभव शेषों की सूची बनाइए। / In remainder-based questions, list all possible remainders.
