Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
आच्छादी फलन में सहप्रांत का हर सदस्य किसी न किसी प्रांत सदस्य का प्रतिबिंब होना चाहिए। / For onto, every element of the codomain must have a preimage.
Step 2
Why this answer is correct
\(y=x^3+1\) से \(x=\sqrt[3]{y-1}\), जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। साथ ही \(x^3+1\) बढ़ता हुआ है, इसलिए अलग (x) अलग मान देते हैं। / From \(y=x^3+1\), \(x=\sqrt[3]{y-1}\), which is real for every real (y). The function is also increasing, so it is one-one.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहले (y=f(x)) लिखकर (x) को (y) के रूप में निकालें। / In exams, solve (y=f(x)) for (x).
सहप्रांत (B) के दोनों सदस्य (a) और (b) प्रतिबिंब के रूप में मिल रहे हैं। / Both elements (a) and (b) of the codomain appear as images.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए फलन आच्छादी है। पर (2) और (3) दोनों का प्रतिबिंब (b) है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। / Hence the function is onto. But (2) and (3) have the same image (b), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
सीमित समुच्चय में सहप्रांत के हर सदस्य को सूची में खोजें। / For finite sets, check whether every codomain element appears in the image list.
किसी भी पूर्णांक (y) के लिए (y=n+5) रखें। / For any integer (y), put (y=n+5).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (n=y-5), जो फिर से पूर्णांक है। इसलिए हर (y) का पूर्वप्रतिबिंब है और फलन आच्छादी है। साथ ही अलग (n) अलग (n+5) देते हैं। / Then (n=y-5), which is also an integer. So every (y) has a preimage and the function is onto. Different (n) values also give different images.
Step 3
Exam Tip
पूर्णांकों में जोड़ या घटाव वाले फलन अक्सर आच्छादी होते हैं। / Addition or subtraction functions on integers are often onto.
A. क्योंकि (1) किसी भी (n) का प्रतिबिंब नहीं है/Because (1) is not the image of any (n)
Step 1
Concept
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\) है, तो (n+1) का सबसे छोटा मान (2) है। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), the smallest value of (n+1) is (2).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत का सदस्य (1) किसी भी (n) से नहीं मिलता। इसलिए परास सहप्रांत के बराबर नहीं है। / The codomain element (1) is not obtained from any (n). Hence the range is not equal to the codomain.
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं में सबसे छोटे मान पर विशेष ध्यान दें। / For natural numbers, check the smallest possible value carefully.
A. हाँ, क्योंकि हर वास्तविक (y) के लिए \(x=\frac{y+7}{2}\) वास्तविक है/Yes, because for every real (y), \(x=\frac{y+7}{2}\) is real
Step 1
Concept
आच्छादी जाँचने के लिए (y=2x-7) लिखें। / To check onto, write (y=2x-7).
Step 2
Why this answer is correct
\(x=\frac{y+7}{2}\) मिलता है, जो हर वास्तविक (y) के लिए वास्तविक है। इसलिए सहप्रांत का हर सदस्य प्राप्त हो जाता है। / We get \(x=\frac{y+7}{2}\), which is real for every real (y). Thus every codomain element is obtained.
Step 3
Exam Tip
रैखिक फलन में ढाल शून्य न हो तो \(\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) पर आच्छादी होता है। / A linear function with non-zero slope is onto from \(\mathbb{R}\) to \(\mathbb{R}\).
स्थिर फलन में हर (x) का प्रतिबिंब केवल (5) होता है। / In a constant function, every (x) has the image (5).
Step 2
Why this answer is correct
परास ({5}) है, जबकि सहप्रांत \(\mathbb{R}\) है। सहप्रांत के बाकी सदस्य जैसे (0) और (2) नहीं मिलते। / The range is ({5}), while the codomain is \(\mathbb{R}\). Other codomain elements such as (0) and (2) are not obtained.
Step 3
Exam Tip
स्थिर फलन बड़े सहप्रांत पर सामान्यतः आच्छादी नहीं होता। / A constant function is usually not onto over a large codomain.
(|x|) का परास \([0,\infty\)) है। / The range of (|x|) is \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यह दिए गए सहप्रांत के बराबर है, इसलिए फलन आच्छादी है। पर (|2|=|-2|), इसलिए यह एकैकी नहीं है। / This equals the given codomain, so the function is onto. But (|2|=|-2|), so it is not one-one.
Step 3
Exam Tip
मापांक फलन में धनात्मक और ऋणात्मक मानों की जोड़ी देखना उपयोगी है। / For modulus functions, compare positive and negative input pairs.
A. क्योंकि ऋणात्मक वास्तविक संख्याएँ प्रतिबिंब नहीं बनतीं/Because negative real numbers are not images
Step 1
Concept
(|x|) कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता। / (|x|) can never be negative.
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में ऋणात्मक संख्याएँ भी हैं, जैसे (-3)। (|x|=-3) का कोई वास्तविक हल नहीं है। / The codomain \(\mathbb{R}\) includes negative numbers such as (-3). The equation (|x|=-3) has no real solution.
Step 3
Exam Tip
वही नियम याद रखें: परास यदि सहप्रांत से छोटा है तो फलन आच्छादी नहीं है। / Remember: if the range is smaller than the codomain, the function is not onto.
\([0,\infty\)) पर \(x^2\) बढ़ता है। / On \([0,\infty\)), \(x^2\) is increasing.
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\in[0,\infty\)) के लिए \(x=\sqrt{y}\) उसी प्रांत में है, इसलिए फलन आच्छादी है। अलग (x) अलग \(x^2\) देते हैं, इसलिए एकैकी भी है। / For any \(y\in[0,\infty\)), \(x=\sqrt{y}\) is in the domain, so the function is onto. Different (x) values give different squares, so it is one-one too.
Step 3
Exam Tip
प्रांत बदलने से फलन की प्रकृति बदल सकती है। / Changing the domain can change the nature of a function.
A. हाँ, क्योंकि परास \([-1,\infty\)) है/Yes, because the range is \([-1,\infty\))
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। / Since \(x^2\ge 0\), \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
किसी भी \(y\ge -1\) के लिए \(x=\sqrt{y+1}\) लिया जा सकता है। अतः हर सहप्रांत सदस्य का पूर्वप्रतिबिंब है। / For any \(y\ge -1\), we can take \(x=\sqrt{y+1}\). Hence every codomain element has a preimage.
Step 3
Exam Tip
न्यूनतम मान देखकर द्विघात फलन का परास जल्दी मिल जाता है। / For quadratics, find the minimum value to get the range quickly.
