Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
\(|x|\ge0\), इसलिए \(e^{|x|}\ge1\)। / \(|x|\ge0\), so \(e^{|x|}\ge1\).
Step 2
Why this answer is correct
हर \(y\ge1\) के लिए \(x=\ln y\) लेने पर (|x|) को आवश्यक मान मिल जाता है और \(e^{|x|}=y\)। / For every \(y\ge1\), taking \(x=\ln y\) gives the needed absolute value and \(e^{|x|}=y\).
Step 3
Exam Tip
मापांक और घातीय फलन मिलकर \([1,\infty\)) परास देते हैं। / A modulus with an exponential gives range \([1,\infty\)).
A. क्योंकि यह सहप्रांत से बाहर (1) मान भी देता है/Because it also gives value (1), which is outside the codomain
Step 1
Concept
(x=0) पर \(e^{|x|}=1\) मिलता है। / At (x=0), \(e^{|x|}=1\).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन सहप्रांत (\(1,\infty\)) में (1) शामिल नहीं है, इसलिए यह दिए गए सहप्रांत में ठीक से फलन ही नहीं बनता। / But (1) is not included in the codomain (\(1,\infty\)), so the mapping is not properly a function into this codomain.
Step 3
Exam Tip
आच्छादीपन से पहले यह जांचें कि सभी फलन मान सहप्रांत में हैं या नहीं। / Before checking onto nature, verify that all function values lie in the codomain.
(x=0) पर मान (-1) मिलता है। / At (x=0), the value (-1) is obtained.
Step 2
Why this answer is correct
(x) बड़ा होने पर मान (1) के पास जाता है, लेकिन (1) तक नहीं पहुंचता, इसलिए परास ([-1,1)) है। / As (x) grows large, the value approaches (1) but never reaches it, so the range is ([-1,1)).
Step 3
Exam Tip
सीमा तक पहुंचना और सीमा पर मान लेना अलग बातें हैं। / Approaching a boundary and attaining it are different ideas.
(C) का कोई भी अवयव (c) लें। / Take any element (c) of (C).
Step 2
Why this answer is correct
(g) आच्छादी है, इसलिए कोई \(b\in B\) है जिससे (g(b)=c); और (f) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (f(a)=b)। / Since (g) is onto, some \(b\in B\) has (g(b)=c); since (f) is onto, some \(a\in A\) has (f(a)=b).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (\(g\circ f\)(a)=c), अतः संयोजन आच्छादी है। / Therefore (\(g\circ f\)(a)=c), so the composition is onto.
\(g\circ f\) आच्छादी है, इसलिए कोई \(a\in A\) है जिससे (g(f(a))=c)। यहां \(f(a)\in B\), इसलिए (c) का पूर्वप्रतिबिंब (g) के अंतर्गत मौजूद है। / Since \(g\circ f\) is onto, there is some \(a\in A\) such that (g(f(a))=c). Here \(f(a)\in B\), so (c) has a preimage under (g).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (g) आच्छादी होना जरूरी है। / Hence (g) must be onto.
A. क्योंकि \(-\frac{\pi}{2}\) और \(\frac{\pi}{2}\) नहीं मिलते/Because \(-\frac{\pi}{2}\) and \(\frac{\pi}{2}\) are not obtained
Step 1
Concept
\(\tan^{-1}x\) का परास खुला अंतराल (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)) है। / The range of \(\tan^{-1}x\) is the open interval (\(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\)).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत में दोनों अंतिम मान शामिल हैं, लेकिन फलन उन्हें कभी प्राप्त नहीं करता। / The codomain includes both endpoint values, but the function never attains them.
Step 3
Exam Tip
खुले और बंद सिरों का अंतर आच्छादीपन में बहुत महत्वपूर्ण है। / The difference between open and closed endpoints is very important in onto questions.
A. क्योंकि ऋणात्मक मान नहीं मिलते/Because negative values are not obtained
Step 1
Concept
\(x\ge0\) होने पर \(x^2+2x\ge0\) होता है। / When \(x\ge0\), \(x^2+2x\ge0\).
Step 2
Why this answer is correct
सहप्रांत \(\mathbb{R}\) में (-1) जैसे ऋणात्मक मान हैं, लेकिन वे परास में नहीं आते। / The codomain \(\mathbb{R}\) contains negative values such as (-1), but they are not in the range.
Step 3
Exam Tip
प्रांत सीमित होने पर परास भी सीमित हो सकता है। / When the domain is restricted, the range can also be restricted.
