यदि \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) और (f(x)=(x-2)2 ) है, तो (f) के बारे में सही कथन है।
If \(f:[2,\infty\)\to\mathbb{R}) and (f(x)=(x-2)2 ), choose the correct statement about (f).
#restricted-domain
#quadratic-function
#one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव ऋणात्मक है / Always negative
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
इस डोमेन में \(x-2\geq 0\) रहता है। / In this domain, \(x-2\geq 0\).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a-2)2 =(b-2)2 ) और \(a,b\geq 2\), तो (a-2=b-2), इसलिए (a=b)। / If ((a-2)2 =(b-2)2 ) and \(a,b\geq 2\), then (a-2=b-2), so (a=b).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय फलन को शिखर से एक ओर सीमित कर दें तो वह एकैकी हो सकता है। / A quadratic can be one-one when restricted to one side of its vertex.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=(x+5)2 ) है, तो (f) एकैकी नहीं है। कौन-सी जोड़ी इसे सिद्ध करती है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=(x+5)2 ), (f) is not one-one. Which pair proves it?
#perfect-square
#not-one-one
#counterexample
A (x=-4) और (x=-6) / (x=-4) and (x=-6)
B (x=0) और (x=1) / (x=0) and (x=1)
C (x=2) और (x=5) / (x=2) and (x=5)
D (x=-5) और (x=5) / (x=-5) and (x=5)
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Correct Answer
A. (x=-4) और (x=-6) / (x=-4) and (x=-6)
Step 1
Concept
((x+5)2 ) का केंद्र (x=-5) है। / The center of ((x+5)2 ) is (x=-5).
Step 2
Why this answer is correct
(f(-4)=1) और (f(-6)=1), लेकिन \(-4\neq -6\)। / (f(-4)=1) and (f(-6)=1), but \(-4\neq -6\).
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्ग में केंद्र के दोनों ओर बराबर दूरी वाले मान जल्दी उत्तर देते हैं। / In a perfect square, values equally distant from the center quickly give the answer.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-5 ) है, तो (f) के बारे में सही विकल्प चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-5 ), choose the correct option about (f).
#odd-power
#one-one-function
#real-domain
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D केवल सम फलन है / Only even function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(x^5\) विषम घात वाला फलन है और पूरे \(\mathbb{R}\) पर बढ़ता है। / \(x^5\) is an odd-power function and increases on \(\mathbb{R}\).
Step 2
Why this answer is correct
\(a^5=b^5\) होने पर (a=b) मिलता है। / If \(a^5=b^5\), then (a=b).
Step 3
Exam Tip
वास्तविक संख्याओं पर विषम घात वाले मूल रूप सामान्यतः एकैकी होते हैं। / Basic odd-power functions are generally one-one on real numbers.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=x-2 +x) है, तो (f) के लिए सही निष्कर्ष चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=x-2 +x), choose the correct conclusion for (f).
#quadratic-function
#not-one-one
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल धनात्मक मान देता है / Gives only positive values
D सर्वसम फलन है / Identity function
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
दो अलग आगतों पर मान जांचें। / Check values at two different inputs.
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=0) और (f(-1)=0), जबकि \(0\neq -1\)। / (f(0)=0) and (f(-1)=0), while \(0\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
वर्गीय फलन पूरे \(\mathbb{R}\) पर अक्सर एकैकी नहीं होता। / A quadratic function on all real numbers is often not one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=4x+4) है, तो (f(a)=f(b)) से क्या निष्कर्ष निकलेगा?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=4x+4), what conclusion follows from (f(a)=f(b))?
#one-one-proof
#linear-function
#equality-method
A (a=b)
B (a=-b)
C (a+b=4)
D \(a\neq b\) हमेशा / Always \(a\neq b\)
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Step 1
Concept
(f(a)=f(b)) लिखने पर (4a+4=4b+4) मिलता है। / Writing (f(a)=f(b)) gives (4a+4=4b+4).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों ओर से (4) घटाने और (4) से भाग देने पर (a=b)। / Subtracting (4) and dividing by (4) gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
यही प्रक्रिया एकैकीपन सिद्ध करने की मानक विधि है। / This is the standard method to prove one-one nature.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|2x|) है, तो (f) का एकैकीपन क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|2x|), what is the one-one nature of (f)?
#modulus-function
#not-one-one
#absolute-value
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C डोमेन खाली है / Domain is empty
D केवल (x=0) पर मान देता है / Gives value only at (x=0)
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
(|2x|) में भी (x) और (-x) समान मान देते हैं। / In (|2x|), (x) and (-x) still give the same value.
Step 2
Why this answer is correct
(f(1)=2) और (f(-1)=2), जबकि \(1\neq -1\)। / (f(1)=2) and (f(-1)=2), while \(1\neq -1\).
Step 3
Exam Tip
परम मान के अंदर गुणक बदलने से पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकीपन नहीं बनता। / A multiplier inside modulus does not make it one-one on all real numbers.
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यदि \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) और (f(x)=\sqrt{x}) है, तो (f) कैसा है?
If \(f:[0,\infty\)\to[0,\infty)) and (f(x)=\sqrt{x}), what is (f)?
#square-root
#one-one-function
#increasing
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सिर्फ ऋणात्मक संख्याओं पर है / Only on negative numbers
D नियत फलन है / Constant function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x}\) अपने डोमेन \([0,\infty\)) पर बढ़ता है। / \(\sqrt{x}\) is increasing on its domain \([0,\infty\)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), तो वर्ग करने पर (a=b)। / If \(\sqrt{a}=\sqrt{b}\), squaring gives (a=b).
Step 3
Exam Tip
बढ़ते हुए फलन में अलग आगतों के मान अलग होते हैं। / An increasing function gives different values for different inputs.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=\sqrt{x-2 }) है, तो (f) के बारे में सही कथन चुनिए।
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=\sqrt{x-2 }), choose the correct statement about (f).
#square-root
#modulus
#not-one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C सदैव ऋणात्मक है / Always negative
D सिर्फ (x=0) पर परिभाषित है / Defined only at (x=0)
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
\(\sqrt{x^2}=|x|\) होता है। / \(\sqrt{x^2}=|x|\).
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=2) और (f(-2)=2), जबकि \(2\neq -2\)। / (f(2)=2) and (f(-2)=2), while \(2\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{x^2}\) को परम मान समझकर प्रश्न हल करें। / Treat \(\sqrt{x^2}\) as modulus while solving.
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यदि \(A=\{1,2,3,4\}\) और \(f:A\to A\) में (f(x)=x) है, तो (f) क्या है?
If \(A=\{1,2,3,4\}\) and \(f:A\to A\) has (f(x)=x), what is (f)?
#identity-function
#finite-set
#one-one
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C नियत फलन है / Constant function
D फलन नहीं है / Not a function
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Correct Answer
A. एकैकी है / One-one
Step 1
Concept
(f(x)=x) हर तत्व को उसी पर भेजता है। / (f(x)=x) sends every element to itself.
Step 2
Why this answer is correct
अलग-अलग तत्वों के प्रतिबिंब भी अलग-अलग रहेंगे। / Different elements keep different images.
Step 3
Exam Tip
सर्वसम फलन हमेशा एकैकी होता है। / The identity function is always one-one.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) और (f(x)=|x+1|+3) है, तो (f) एकैकी है या नहीं?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) and (f(x)=|x+1|+3), is (f) one-one or not?
#modulus-shift
#not-one-one
#counterexample
A एकैकी है / One-one
B एकैकी नहीं है / Not one-one
C केवल (x=-1) पर परिभाषित है / Defined only at (x=-1)
D सदैव शून्य है / Always zero
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Correct Answer
B. एकैकी नहीं है / Not one-one
Step 1
Concept
परम मान का केंद्र (x=-1) है। / The center of the modulus is (x=-1).
Step 2
Why this answer is correct
(f(0)=4) और (f(-2)=4), जबकि \(0\neq -2\)। / (f(0)=4) and (f(-2)=4), while \(0\neq -2\).
Step 3
Exam Tip
बाहर स्थिर संख्या जोड़ने से समान प्रतिबिंब वाली जोड़ी नहीं बदलती। / Adding a constant outside does not remove equal-image pairs.
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