Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
(f(x)=(x-1)2+3) लिखा जा सकता है। / We can write (f(x)=(x-1)2+3).
Step 2
Why this answer is correct
क्षेत्र \([1,\infty\)) पर ((x-1)2) बढ़ता है, इसलिए समान छवि समान आगत से ही मिलेगी। / On \([1,\infty\)), ((x-1)2) increases, so equal images occur only for equal inputs.
Step 3
Exam Tip
वर्ग फलन में क्षेत्र का एक तरफ सीमित होना ध्यान से देखें। / For a quadratic function, carefully check whether the domain is restricted to one side.
क्षेत्र \(x\leq 1\) पर केंद्र (1) के बाएँ भाग में वर्ग फलन एक दिशा में चलता है। / On the domain \(x\leq 1\), the left side of the parabola moves in one direction.
Step 3
Exam Tip
परवलय के केवल एक भाग को लेने पर एकैकीता मिल सकती है। / Taking only one side of a parabola can make the function one-one.
\(e^x\) बढ़ता है और (x) भी बढ़ता है। / \(e^x\) is increasing and (x) is also increasing.
Step 2
Why this answer is correct
दो बढ़ते हुए भागों का योग भी बढ़ता है, इसलिए दो अलग आगत समान छवि नहीं देंगे। / The sum of two increasing parts is increasing, so two different inputs cannot have the same image.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में फलन की बढ़ने की प्रकृति जल्दी पहचानें। / In such questions, quickly identify the increasing nature of the function.
(f'(x)=e^x-1) है जो (x<0) पर ऋणात्मक और (x>0) पर धनात्मक होता है। / (f'(x)=e^x-1), which is negative for (x<0) and positive for (x>0).
Step 2
Why this answer is correct
फलन पहले घटता और फिर बढ़ता है, इसलिए पूरे \(\mathbb{R}\) पर एकैकी नहीं है। / The function decreases first and then increases, so it is not one-one on all of \(\mathbb{R}\).
Step 3
Exam Tip
यदि फलन दिशा बदलता है तो समान छवि की संभावना रहती है। / If a function changes direction, equal images may occur.
समान छवि के लिए दो अलग धनात्मक मान देखें। / Look for two different positive values with the same image.
Step 2
Why this answer is correct
(f(2)=\frac{5}{2}) और (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), जबकि \(2\neq \frac{1}{2}\)। / (f(2)=\frac{5}{2}) and (f\left\(\frac{1}{2}\right\)=\frac{5}{2}), while \(2\neq \frac{1}{2}\).
Step 3
Exam Tip
\(x+\frac{1}{x}\) जैसे फलन में (x) और \(\frac{1}{x}\) की भूमिका ध्यान दें। / In functions like \(x+\frac{1}{x}\), notice the roles of (x) and \(\frac{1}{x}\).
\(x\geq 1\) पर जैसे-जैसे (x) बढ़ता है, \(x+\frac{1}{x}\) भी बढ़ता है। / For \(x\geq 1\), as (x) increases, \(x+\frac{1}{x}\) also increases.
Step 2
Why this answer is correct
इस क्षेत्र में (x) और \(\frac{1}{x}\) वाले दो अलग मान समान छवि नहीं बनाते। / In this domain, two different values do not form the same image through (x) and \(\frac{1}{x}\).
Step 3
Exam Tip
वही सूत्र अलग क्षेत्र पर एकैकी बन सकता है। / The same formula can become one-one on a restricted domain.
