यदि \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1), तो (f) कैसा है?
If \(f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}\), (f(n)=n+1), what type is (f)?
#functions
#natural numbers
#one one
#onto
A द्वैक / Bijective
B एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
C आच्छादक है पर एकैकी नहीं / Onto but not one-one
D न एकैकी न आच्छादक / Neither one-one nor onto
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Correct Answer
B. एकैकी है पर आच्छादक नहीं / One-one but not onto
Step 1
Concept
(n+1) अलग (n) के लिए अलग मान देता है, इसलिए एकैकी है। / (n+1) gives different values for different (n), so it is one-one.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), तो (1) किसी (n+1) के रूप में नहीं मिलेगा। / If \(\mathbb{N}={1,2,3,\ldots}\), then (1) is not of the form (n+1).
Step 3
Exam Tip
प्राकृतिक संख्याओं पर आरंभिक अवयव की जाँच जरूर करें। / On natural numbers, always check the first element of the codomain.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), तो क्या यह एकैकी है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 +2x), is it one-one?
#functions
#one one
#counterexample
#quadratic
A हाँ क्योंकि यह बहुपद है / Yes because it is a polynomial
B हाँ क्योंकि इसका परास अनंत है / Yes because its range is infinite
C नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं / No because different inputs can give the same image
D नहीं क्योंकि यह परिभाषित नहीं है / No because it is not defined
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Correct Answer
C. नहीं क्योंकि अलग आगत समान प्रतिबिंब दे सकते हैं / No because different inputs can give the same image
Step 1
Concept
(f(0)=0) और (f(-2)=0) मिलते हैं। / (f(0)=0) and (f(-2)=0).
Step 2
Why this answer is correct
दो अलग आगतों (0) और (-2) का प्रतिबिंब समान है। / Two different inputs (0) and (-2) have the same image.
Step 3
Exam Tip
एकैकी न होने को सिद्ध करने के लिए एक ही मान देने वाले दो अलग आगत दिखाना पर्याप्त है। / To disprove one-one property, one counterexample is enough.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+3), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=|x-2|+3), what is the range of (f)?
#functions
#range
#absolute value
#minimum
A \([3,\infty\))
B (\(3,\infty\))
C (\(-\infty,3]\)
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. \([3,\infty\))
Step 1
Concept
\(|x-2|\ge 0\) होता है। / \(|x-2|\ge 0\).
Step 2
Why this answer is correct
सबसे छोटा मान तब मिलेगा जब (|x-2|=0), अर्थात (x=2), इसलिए न्यूनतम मान (3) है। / The smallest value occurs when (|x-2|=0), that is (x=2), giving minimum (3).
Step 3
Exam Tip
परिमाप वाले फलन का परास उसके न्यूनतम मान से आगे जाता है। / The range of this absolute value function starts from its minimum value.
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यदि (f(x)=|x|) और (g(x)=x-1), तो (\(f\circ g\)(x)) क्या है?
If (f(x)=|x|) and (g(x)=x-1), what is (\(f\circ g\)(x))?
#functions
#composition
#absolute value
#algebra
A (|x|-1)
B (|x-1|)
C (x+1)
D (|x+1|)
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Correct Answer
B. (|x-1|)
Step 1
Concept
(\(f\circ g\)(x)=f(g(x))) होता है। / (\(f\circ g\)(x)=f(g(x))).
Step 2
Why this answer is correct
(g(x)=x-1) को (f) में रखने पर (f(x-1)=|x-1|) मिलेगा। / Substitute (g(x)=x-1) into (f), giving (f(x-1)=|x-1|).
Step 3
Exam Tip
परिमाप में पूरा भीतरी व्यंजक रखना चाहिए। / Keep the entire inner expression inside the absolute value.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), तो एकैकी न होने का सही प्रमाण कौन सा है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-3 -3x), which is a correct proof that it is not one-one?
#functions
#one one
#cubic
#counterexample
A (f(0)=f\(\sqrt{3}\)=0)
B (f(1)=f(2))
C (f(-1)=f(1))
D (f(2)=f(3))
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Correct Answer
A. (f(0)=f\(\sqrt{3}\)=0)
Step 1
Concept
(f(0)=03 -3\cdot0=0)। / (f(0)=03 -3\cdot0=0).
Step 2
Why this answer is correct
(f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0)। / (f\(\sqrt{3}\)=\(\sqrt{3}\)3 -3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}=0).
Step 3
Exam Tip
दो अलग आगतों का समान प्रतिबिंब मिल गया, इसलिए फलन एकैकी नहीं है। / Two distinct inputs have the same image, so the function is not one-one.
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यदि \(f:A\to B\) आच्छादक है और (B) में (5) अवयव हैं, तो (f(A)) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is onto and (B) has (5) elements, how many elements will (f(A)) have?
#functions
#onto
#image set
#finite sets
A (4)
B (5)
C (6)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
आच्छादक फलन में (B) का हर अवयव (A) के किसी अवयव का प्रतिबिंब होता है। / In an onto function, every element of (B) is the image of some element of (A).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (f(A)=B) होता है। / Therefore (f(A)=B).
Step 3
Exam Tip
अतः (f(A)) में भी (5) अवयव होंगे। / Hence (f(A)) has (5) elements.
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यदि \(f:A\to B\) एकैकी है और (A) में (6) अवयव हैं, तो (f(A)) में कितने अवयव होंगे?
If \(f:A\to B\) is one-one and (A) has (6) elements, how many elements will (f(A)) have?
#functions
#one one
#image set
#cardinality
A (3)
B (5)
C (6)
D निर्धारित नहीं किया जा सकता / Cannot be determined
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Step 1
Concept
एकैकी फलन में अलग-अलग (A) अवयवों के प्रतिबिंब अलग-अलग होते हैं। / In a one-one function, distinct elements of (A) have distinct images.
Step 2
Why this answer is correct
(A) में (6) अवयव हैं, इसलिए (6) अलग प्रतिबिंब मिलेंगे। / Since (A) has (6) elements, there will be (6) distinct images.
Step 3
Exam Tip
अतः (f(A)) में (6) अवयव होंगे। / Therefore (f(A)) has (6) elements.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -1), तो (f) आच्छादक क्यों नहीं है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=x-2 -1), why is (f) not onto?
#functions
#onto
#range
#quadratic
A क्योंकि (f(0)=-1) / Because (f(0)=-1)
B क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (-2) is not an image
C क्योंकि (1) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (1) is not an image
D क्योंकि (0) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (0) is not an image
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Correct Answer
B. क्योंकि (-2) कोई प्रतिबिंब नहीं है / Because (-2) is not an image
Step 1
Concept
\(x^2\ge 0\), इसलिए \(x^2-1\ge -1\)। / Since \(x^2\ge 0\), we have \(x^2-1\ge -1\).
Step 2
Why this answer is correct
(-2) जैसा मान (-1) से छोटा है, इसलिए वह कभी नहीं मिल सकता। / A value like (-2) is less than (-1), so it can never be attained.
Step 3
Exam Tip
आच्छादक न होने के लिए सहप्रांत का एक छूटा हुआ अवयव दिखाना काफी है। / To disprove onto property, one missing codomain element is enough.
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यदि \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), तो (f) का परास क्या है?
If \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\), (f(x)=\frac{x}{1+|x|}), what is the range of (f)?
#functions
#range
#absolute value
#rational
A ((-1,1))
B ([-1,1])
C ((0,1))
D \(\mathbb{R}\)
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Correct Answer
A. ((-1,1))
Step 1
Concept
(x>0) पर मान \(\frac{x}{1+x}\) होता है, जो (0) से (1) के बीच रहता है। / For (x>0), the value is \(\frac{x}{1+x}\), which lies between (0) and (1).
Step 2
Why this answer is correct
(x<0) पर मान \(\frac{x}{1-x}\) होता है, जो (-1) से (0) के बीच रहता है। / For (x<0), the value is \(\frac{x}{1-x}\), which lies between (-1) and (0).
Step 3
Exam Tip
मान (1) और (-1) तक पहुँचते नहीं, इसलिए परास ((-1,1)) है। / The values (1) and (-1) are approached but not attained, so the range is ((-1,1)).
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यदि (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), तो \(x\ne1\) के लिए (f^{-1}(x)) क्या है?
If (f(x)=\frac{2x+3}{x-1}), then for \(x\ne1\), what is (f^{-1}(x))?
#functions
#inverse
#rational function
#expert
A \(\frac{x+3}{x-2}\)
B \(\frac{x-3}{x+2}\)
C \(\frac{x+2}{x-3}\)
D \(\frac{3-x}{2-x}\)
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Correct Answer
A. \(\frac{x+3}{x-2}\)
Step 1
Concept
\(y=\frac{2x+3}{x-1}\) मानें। / Let \(y=\frac{2x+3}{x-1}\).
Step 2
Why this answer is correct
(y(x-1)=2x+3) से (x(y-2)=y+3) मिलता है। / From (y(x-1)=2x+3), we get (x(y-2)=y+3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(x=\frac{y+3}{y-2}\), अतः (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2})। / Therefore \(x=\frac{y+3}{y-2}\), so (f^{-1}(x)=\frac{x+3}{x-2}).
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