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कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) में \(A\) के प्रत्येक अवयव को \(B\) के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है। इसलिए \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\)। विकल्प 3 केवल \(B\) के अवयवों की संख्या है और विकल्प 2 केवल \(A\) के अवयवों की संख्या, इसलिए वे क्रमित युग्मों की कुल संख्या नहीं बताते। परीक्षा-युक्ति: कार्तीय गुणनफल में क्रमित युग्मों की संख्या के लिए दोनों समुच्चयों की संख्याएँ गुणा करें। / In the Cartesian product \(A\times B\), each element of \(A\) is paired with every element of \(B\). Hence, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\). Option 3 is only the number of elements in \(B\), and option 2 is only the number of elements in \(A\); neither gives the total number of ordered pairs. Exam tip: multiply the cardinalities of the two sets to find the size of their Cartesian product.
\(A\times B\) में पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से आता है। क्रमित युग्म में क्रम बहुत महत्वपूर्ण है। / In \(A\times B\), the first element comes from (A) and the second from (B). Order is very important in ordered pairs.
योग सम तब होगा जब दोनों घटक सम हों या दोनों विषम हों। यहां सही युग्म ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)) हैं। / The sum is even when both components are even or both are odd. Here the valid pairs are ((2,2),(2,4),(4,2),(4,4)).
\(B\times A\) में पहला अवयव (B) से और दूसरा (A) से होना चाहिए। इसलिए ((1,4)) सही है। / In \(B\times A\), the first element must be from (B) and the second from (A). Hence ((1,4)) is correct.
सही युग्म ((1,2)) और ((2,1)) हैं। ध्यान रखें कि दोनों क्रमित युग्म अलग माने जाते हैं। / The valid pairs are ((1,2)) and ((2,1)). Remember that these two ordered pairs are considered different.
A. क्योंकि \(1\in A\) और \(y\in B\)/because \(1\in A\) and \(y\in B\)
Explanation
Simple Explanation
\((1,y)\in A\times B\) तभी होगा जब \(1\in A\) और \(y\in B\) हो। सदस्यता जांच में क्रम न बदलें। / \((1,y)\in A\times B\) only when \(1\in A\) and \(y\in B\). Do not reverse order while checking membership.
सही युग्म ((1,3),(2,4),(3,5)) हैं। ऐसी शर्तों में पहले (x) चुनकर (y) निकालना आसान है। / The valid pairs are ((1,3),(2,4),(3,5)). In such conditions, choose (x) first and then find (y).
किसी भी समुच्चय का रिक्त समुच्चय के साथ कार्तीय गुणन \(\varnothing\) होता है। यदि एक भी समुच्चय रिक्त हो तो कोई क्रमित युग्म नहीं बनता। / The Cartesian product of any set with an empty set is \(\varnothing\). If one set is empty, no ordered pair is formed.
सही युग्म ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)) हैं। असमानता में क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / The valid pairs are ((2,1),(3,1),(3,2),(5,1),(5,2),(5,3)). In inequalities, reversing order can change the answer.
(n\(A\times B\)=n(A)n(B)), इसलिए (20=4n(B)) और (n(B)=5)। ऐसे प्रश्नों में गुणन सूत्र सीधे लगाएं। / (n\(A\times B\)=n(A)n(B)), so (20=4n(B)) and (n(B)=5). Use the multiplication formula directly in such questions.
\(B\cup C={3,4,5,6}\), इसलिए (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8)। पहले समुच्चय संक्रिया पूरी करें। / \(B\cup C={3,4,5,6}\), so (n(A\times\(B\cup C\))=2\times4=8). Complete the set operation first.
(n\(A\times A\)=n(A)2=32=9) होता है। \(A\times A\) में समान अवयव वाले युग्म भी शामिल होते हैं। / (n\(A\times A\)=n(A)2=32=9). In \(A\times A\), pairs with equal elements are also included.
\(B\cap C={3,4}\), इसलिए (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6)। प्रतिच्छेद निकालकर ही कार्तीय गुणन गिनें। / \(B\cap C={3,4}\), so (n(A\times\(B\cap C\))=3\times2=6). Find the intersection before counting the Cartesian product.
दोनों स्थानों पर अवयव अपने संबंधित समुच्चय से हैं, इसलिए ((2,2)) शामिल है। समान अवयव वाला क्रमित युग्म भी मान्य होता है। / Both entries are from their respective sets, so ((2,2)) is included. An ordered pair with equal entries is also valid.
\(A\cup B={1,2,3}\), इसलिए (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6)। समान अवयव को दो बार न गिनें। / \(A\cup B={1,2,3}\), so (n(\(A\cup B\)\times C)=3\times2=6). Do not count a common element twice.
A. यह नहीं होगा क्योंकि \(A\ne B\)/it will not happen because \(A\ne B\)
Explanation
Simple Explanation
केवल समान संख्या के अवयव होना पर्याप्त नहीं है। सामान्यतः \(A\times B=B\times A\) तभी जब (A=B) या कोई समुच्चय रिक्त हो। / Having the same number of elements is not enough. Usually \(A\times B=B\times A\) only when (A=B) or one set is empty.
सही युग्म ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)) हैं। विभाज्यता में कौन किसे विभाजित कर रहा है यह ध्यान रखें। / The valid pairs are ((1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6),(3,6),(4,4)). In divisibility, note carefully which number divides the other.
पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से लिया जाता है। (B) में केवल (5) है, इसलिए दोनों युग्मों में दूसरा अवयव (5) होगा। / The first element is taken from (A) and the second from (B). Since (B) has only (5), the second entry in both pairs is (5).
सही युग्म ((3,6),(5,4),(5,6)) हैं। सीमा वाली असमानता में बराबरी शामिल है या नहीं यह जरूर देखें। / The valid pairs are ((3,6),(5,4),(5,6)). In boundary inequalities, check whether equality is included or not.
\(-1\in A\) और \(4\in B\), इसलिए \((-1,4)\in A\times B\) सत्य है। पहले और दूसरे स्थान की अलग-अलग जांच करें। / Since \(-1\in A\) and \(4\in B\), \((-1,4)\in A\times B\) is true. Check first and second positions separately.
सही युग्म ((2,1)) और ((3,2)) हैं। दिए हुए (B) के अवयवों से (x) निकालना तेज तरीका है। / The valid pairs are ((2,1)) and ((3,2)). A quick method is to choose elements of (B) and then find (x).
A. क्योंकि \(4\notin A\) और \(1\notin B\)/because \(4\notin A\) and \(1\notin B\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B\) में पहले स्थान पर (A) का अवयव होना चाहिए और दूसरे स्थान पर (B) का। यहां दोनों स्थान गलत हैं। / In \(A\times B\), the first entry must be from (A) and the second from (B). Here both positions are wrong.
सही युग्म ((1,1),(2,4),(3,9)) हैं। कार्तीय गुणन में दिए संबंध की शर्त लगाकर उपसमुच्चय बनाया जाता है। / The valid pairs are ((1,1),(2,4),(3,9)). In a Cartesian product, applying a condition forms a subset relation.
सही युग्म ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)) हैं। क्रमित युग्मों में ((2,3)) और ((3,2)) अलग होते हैं। / The valid pairs are ((1,4),(2,3),(3,2),(4,1)). In ordered pairs, ((2,3)) and ((3,2)) are different.
\(A\) में \(-1,0,1\) अर्थात 3 अवयव हैं, जबकि \(B\) में 2 अवयव हैं। कार्तीय गुणनफल में प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है, इसलिए \(|A\times B|=|A|\times|B|=3\times2=6\)। अतः सही उत्तर 6 है। परीक्षा-युक्ति: \(m\) और \(n\) अवयव वाले दो समुच्चयों के लिए \(|A\times B|=mn\) होता है। / The integers from \(-1\) to \(1\) are \(-1,0,1\), so \(A\) has 3 elements, while \(B\) has 2 elements. Each element of \(A\) forms an ordered pair with every element of \(B\), giving \(|A\times B|=|A|\times|B|=3\times2=6\). Hence, the correct answer is 6. Exam tip: If two sets have \(m\) and \(n\) elements, respectively, their Cartesian product has \(mn\) ordered pairs.
(A-B={1,3,5}), इसलिए (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9)। पहले समुच्चय का अंतर निकालें फिर कार्तीय गुणन गिनें। / (A-B={1,3,5}), so (n\((A-B)\times C\)=3\times3=9). First find the set difference and then count the Cartesian product.
(n\(A\times B\)=4) और (n(C)=1), इसलिए (n(\(A\times B\)\times C)=4)। ध्यान रखें कि (\(A\times B\)) खुद एक समुच्चय है। / (n\(A\times B\)=4) and (n(C)=1), so (n(\(A\times B\)\times C)=4). Remember that (\(A\times B\)) itself is a set.
\(1\in A\) के साथ (B) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए पहला घटक (1) कुल (3) बार आएगा। / The element \(1\in A\) pairs with all (3) elements of (B). So the first component (1) appears (3) times.
\(8\in B\) के साथ (A) के सभी (3) अवयव जुड़ेंगे। इसलिए दूसरा घटक (8) कुल (3) बार आएगा। / The element \(8\in B\) pairs with all (3) elements of (A). Therefore the second component (8) appears (3) times.
\((3,4)\in A\times B\) और (3+4=7)। ((4,3)) सही नहीं क्योंकि पहला अवयव (A) से नहीं है। / \((3,4)\in A\times B\) and (3+4=7). ((4,3)) is not correct because the first element is not from (A).
शर्त \(x<y\) को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्म \((1,2), (1,3), (2,3)\) हैं। इसलिए कुल 3 युग्म हैं। विकल्प 9 पूरे कार्तीय गुणनफल \(A\times B\) के युग्मों की संख्या बताता है, जबकि उसमें शर्त लागू नहीं की गई है। परीक्षा-युक्ति: समान तीन अवयवों वाले समुच्चय में \(x<y\) वाले युग्मों की संख्या \(\binom{3}{2}=3\) होती है। / The ordered pairs satisfying \(x<y\) are \((1,2), (1,3), (2,3)\), so there are 3 pairs. The answer 9 is the total number of pairs in the Cartesian product, without applying the inequality. Exam tip: for three distinct elements, the number of pairs satisfying \(x<y\) is \(\binom{3}{2}=3\).
सही युग्म ((1,1)) और ((2,0)) हैं। ध्यान रखें कि पहला अवयव (A) से और दूसरा (B) से होना चाहिए। / The correct pairs are ((1,1)) and ((2,0)). Remember the first element must come from (A) and the second from (B).
सही युग्म ((2,2),(4,2),(4,4)) हैं। विभाज्यता में स्थान बदलने से अर्थ बदल जाता है। / The correct pairs are ((2,2),(4,2),(4,4)). In divisibility, changing positions changes the meaning.
(A) से (B) में संबंध \(A\times B\) का कोई भी उपसमुच्चय होता है। केवल ({(1,3),(2,5)}) के दोनों युग्म \(A\times B\) में हैं। / A relation from (A) to (B) is any subset of \(A\times B\). Only ({(1,3),(2,5)}) has both pairs in \(A\times B\).
(n\(A\times B\)=3\times2=6), और हर संबंध \(A\times B\) का उपसमुच्चय है। इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) होगी। / (n\(A\times B\)=3\times2=6), and every relation is a subset of \(A\times B\). Therefore the number of relations is \(2^6\).
(n\(A\times B\)=3\times1=3), इसलिए उपसमुच्चयों की संख्या \(2^3=8\) है। संबंध गिनने में \(2^{n(A\times B)}\) याद रखें। / (n\(A\times B\)=3\times1=3), so the number of subsets is \(2^3=8\). For counting relations, remember \(2^{n(A\times B)}\).
A. दोनों में अवयवों की संख्या समान है पर युग्म अलग हैं/both have same number of elements but different pairs
Explanation
Simple Explanation
दोनों में \(2\times2=4\) युग्म होंगे, पर क्रम बदलने से युग्म बदल जाते हैं। कार्तीय गुणन क्रमविनिमेय नहीं होता। / Both have \(2\times2=4\) pairs, but changing order changes the pairs. Cartesian product is not commutative.
((2,2)) दोनों \(A\times B\) और \(B\times A\) में है। प्रतिच्छेद के लिए युग्म दोनों समुच्चयों में होना चाहिए। / ((2,2)) is in both \(A\times B\) and \(B\times A\). For intersection, the pair must belong to both sets.
((4,1)) में पहला अवयव (A) से नहीं और दूसरा (B) से नहीं है। क्रमित युग्म में स्थान की जांच जरूरी है। / In ((4,1)), the first element is not from (A) and the second is not from (B). Position checking is necessary in ordered pairs.
सबसे बड़ा पहला घटक (2) और सबसे बड़ा दूसरा घटक (5) है, इसलिए योग (7) अधिकतम है। ((5,2)) \(A\times B\) में नहीं है। / The greatest first component is (2) and the greatest second component is (5), so the maximum sum is (7). ((5,2)) is not in \(A\times B\).
समान घटकों वाले युग्म ((1,1)) और ((2,2)) हैं। केवल \(A\cap B\) के अवयव ऐसे युग्म बनाते हैं। / The equal-component pairs are ((1,1)) and ((2,2)). Only elements of \(A\cap B\) form such pairs.
शर्त \(x=2y\) के अनुसार \(B\) के प्रत्येक मान की जाँच करें: \(y=1\) के लिए \(x=2\), \(y=2\) के लिए \(x=4\), और \(y=3\) के लिए \(x=6\)। इसलिए सही क्रमित युग्म \((2,1),(4,2),(6,3)\) हैं और उनकी संख्या 3 है। विकल्प 2 में एक युग्म छूट जाता है। परीक्षा में याद रखें कि \(A\times B\) में पहला अवयव \(A\) से और दूसरा अवयव \(B\) से लिया जाता है। / Using \(x=2y\), check each value of \(y\) in \(B\): \(y=1\) gives \(x=2\), \(y=2\) gives \(x=4\), and \(y=3\) gives \(x=6\). Thus, the valid ordered pairs are \((2,1),(4,2),(6,3)\), so there are 3 pairs. Option 2 misses one valid pair. Exam tip: in \(A\times B\), the first element comes from \(A\) and the second from \(B\).
A. (x)-अक्ष पर \(1\le x\le3\) वाला रेखाखंड/line segment on (x)-axis with \(1\le x\le3\)
Explanation
Simple Explanation
\(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), इसलिए यह (x)-अक्ष पर रेखाखंड है। अंतराल वाले प्रश्नों में निर्देशांक रूप लिखें। / \(A\times B={(x,0):1\le x\le3}\), so it is a line segment on the (x)-axis. In interval questions, write the coordinate form.
पहला घटक हमेशा (0) होगा और दूसरा ([-2,2]) से बदलता रहेगा। इसलिए यह (y)-अक्ष का रेखाखंड है। / The first component is always (0), and the second varies in ([-2,2]). So it is a segment on the (y)-axis.
मान लें कि \(\mathbb{N}=\{1,2,3,\ldots\}\)। यदि \(A=\{x:x\in\mathbb{N},x\le2\}\) और \(B=\{y:y\in\mathbb{N},y\le3\}\) हैं, तो \(A\times B\) में कितने क्रमित युग्म होंगे?
यहाँ \(A=\{1,2\}\) और \(B=\{1,2,3\}\) हैं, इसलिए \(n(A)=2\) तथा \(n(B)=3\)। कार्तीय गुणनफल में प्रत्येक समुच्चय के प्रत्येक अवयव को दूसरे समुच्चय के प्रत्येक अवयव के साथ जोड़ा जाता है, अतः \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\)। विकल्प 3 केवल \(B\) के अवयवों की संख्या बताता है, इसलिए गलत है। परीक्षा टिप: \(n(A\times B)=n(A)n(B)\) का सूत्र याद रखें। / Here, \(A=\{1,2\}\) and \(B=\{1,2,3\}\), so \(n(A)=2\) and \(n(B)=3\). In a Cartesian product, every element of the first set is paired with every element of the second set; therefore, \(n(A\times B)=n(A)\times n(B)=2\times3=6\). Option 3 gives only the number of elements in \(B\), so it is incorrect. Exam tip: remember the formula \(n(A\times B)=n(A)n(B)\).
\(A\times B\) क्रमित युग्मों का समुच्चय है, इसलिए रूप \({(x,y):x\in A,,y\in B}\) है। योग या गुणन कार्तीय गुणन नहीं है। / \(A\times B\) is a set of ordered pairs, so its form is \({(x,y):x\in A,,y\in B}\). Sum or product of entries is not Cartesian product.
\(A\times B\) में सभी पहले घटक (A) से आते हैं और (B) रिक्त नहीं है। इसलिए पहले घटकों का समुच्चय (A) ही है। / In \(A\times B\), all first components come from (A), and (B) is non-empty. Therefore the set of first components is (A).
दूसरे घटक हमेशा (B) से आते हैं। यदि (A) रिक्त नहीं है तो (B) का हर अवयव दूसरे घटक के रूप में आएगा। / Second components always come from (B). If (A) is non-empty, every element of (B) appears as a second component.
A. हर \(a\in A\) के लिए (B) के सभी अवयवों से युग्म बनते हैं/for every \(a\in A\), pairs are formed with all elements of (B)
Explanation
Simple Explanation
कार्तीय गुणन में (A) का हर अवयव (B) के प्रत्येक अवयव के साथ जुड़ता है। यही कारण है कि कुल युग्म (n(A)n(B)) होते हैं। / In Cartesian product, every element of (A) pairs with each element of (B). That is why total pairs are (n(A)n(B)).
सही युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4),(2,4)) नहीं दोहराएं; वास्तविक अलग युग्म ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)) और ((2,4)) की पुनरावृत्ति हटाने पर (4) होता है। / The listed valid distinct pairs are ((1,2),(1,4),(2,4),(3,4)), so the count is (4). Avoid counting the same pair twice.
