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(x)-अक्ष पर (y=0) होता है इसलिए (2x-5=0) से \(x=\frac{5}{2}\) मिलता है। ग्राफ में प्रतिच्छेद के लिए दूसरे निर्देशांक को शून्य रखें। / On the (x)-axis (y=0) so (2x-5=0) gives \(x=\frac{5}{2}\). For an intercept set the other coordinate equal to zero.
\(-3\le x\le 1\) पर योग ((x+3)+(1-x)=4) स्थिर रहता है। ऐसे मापांक योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज हो सकता है। / On \(-3\le x\le 1\), the sum ((x+3)+(1-x)=4) is constant. In such modulus sums the graph can be horizontal between the two points.
( |x-3| ) न्यूनतम (0) तब होता है जब (x=3)। मापांक ग्राफ का शीर्ष अंदर वाले भाग को शून्य करने से मिलता है। / ( |x-3| ) is minimum (0) when (x=3). For a modulus graph set the inside expression equal to zero.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए: \(x^2-9\ge 0\)। अतः \((x-3)(x+3)\ge 0\), जिससे \(x\le -3\) या \(x\ge 3\) प्राप्त होता है। इसलिए डोमेन \((-�\infty,-3]\cup[3,�\infty)\) है। विकल्प B केवल \(-3\) और \(3\) के बीच का अंतराल देता है, जहाँ मूलांक ऋणात्मक होता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय पहले मूलांक \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the radicand must be non-negative: \(x^2-9\ge 0\). Thus, \((x-3)(x+3)\ge 0\), which gives \(x\le -3\) or \(x\ge 3\). Hence the domain is \((-�\infty,-3]\cup[3,�\infty)\). Option B incorrectly gives the interval between \(-3\) and \(3\), where the radicand is negative. Exam tip: For a square-root function, set the expression under the radical greater than or equal to zero.
शीर्ष-रूप \(y=(x-h)^2+k\) में परवलय की सममिति-अक्ष \(x=h\) होती है। यहाँ \(y=(x-(-2))^2-7\), इसलिए \(h=-2\) और सममिति-अक्ष \(x=-2\) है। \(y=-7\) शीर्ष का y-निर्देशांक है, सममिति-अक्ष नहीं। परीक्षा-टिप: कोष्ठक के भीतर \(x\) के साथ लिखे पद का चिह्न उलटकर \(h\) पहचानें। / For a parabola in vertex form \(y=(x-h)^2+k\), the axis of symmetry is \(x=h\). Here, \(y=(x-(-2))^2-7\), so \(h=-2\), giving the axis \(x=-2\). The value \(y=-7\) is the vertex's y-coordinate, not the axis of symmetry. Exam tip: reverse the sign of the constant appearing with \(x\) inside the square to identify \(h\).
ऊर्ध्वाधर आसमटोट उन मानों पर होते हैं जहाँ हर शून्य हो जाता है और अंश शून्य नहीं होता। यहाँ \(x^2-4=0\), अर्थात \((x-2)(x+2)=0\), इसलिए \(x=2\) और \(x=-2\) पर फलन अपरिबद्ध हो जाता है। अतः विकल्प A सही है। विकल्प C में \(y\) के स्थिर मान दिए गए हैं, जो ऊर्ध्वाधर नहीं बल्कि क्षैतिज रेखाओं को दर्शाते हैं। परीक्षा-सुझाव: परिमेय फलन में पहले हर को शून्य करके संभावित ऊर्ध्वाधर आसमटोट जाँचें। / Vertical asymptotes occur where the denominator is zero while the numerator is nonzero. Here, \(x^2-4=0\), or \((x-2)(x+2)=0\), so the function becomes unbounded at \(x=2\) and \(x=-2\). Therefore, option A is correct. Option C gives constant values of \(y\), which represent horizontal lines rather than vertical asymptotes. Exam tip: For a rational function, first set the denominator equal to zero and then check for any cancellation with the numerator.
गुणांक (-3) ऋणात्मक है इसलिए परवलय नीचे खुलता है। शीर्ष पर (y=4) अधिकतम मान है। / The coefficient (-3) is negative so the parabola opens downward. At the vertex (y=4) is the maximum value.
A. मूल बिंदु के सापेक्ष सममिति/Symmetry about the origin
Explanation
Simple Explanation
(f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)) है। इसलिए यह विषम फलन है और ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है। / (f(-x)=\frac{-x}{x-2+1}=-f(x)). Therefore it is an odd function and its graph is symmetric about the origin.
वास्तविक वर्गमूल के लिए इसके अंदर का व्यंजक अशून्य या धनात्मक होना चाहिए, इसलिए \(x+5\ge 0\), अर्थात् \(x\ge -5\)। अतः डोमेन \([-5,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=-5\) पर फलन का मान \(0\) परिभाषित है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में मूल के अंदर का व्यंजक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x+5\ge 0\), which gives \(x\ge -5\). Therefore, the domain is \([-5,\infty)\). Option B is incorrect because the endpoint \(x=-5\) is included and gives \(f(-5)=0\). Exam tip: For a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero to find the domain.
मापांक फलन का मानक रूप \(y=a|x-h|+k\) है, जिसका शीर्ष \((h,k)\) होता है। यहाँ \(x+2=x-(-2)\), इसलिए \(h=-2\), और \(k=5\) है। अतः शीर्ष \((-2,5)\) है। विकल्प B में \(x\)-निर्देशांक का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-h|\) के अंदर \(x-h=0\) रखकर शीर्ष का \(x\)-निर्देशांक प्राप्त करें। / The standard form of a modulus function is \(y=a|x-h|+k\), whose vertex is \((h,k)\). Here, \(x+2=x-(-2)\), so \(h=-2\) and \(k=5\). Therefore, the vertex is \((-2,5)\). Option B incorrectly changes the sign of the x-coordinate. Exam tip: Set the expression inside the modulus equal to zero to find the x-coordinate of the vertex.
हर (x-4) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए ऊर्ध्वाधर आसम्टोट (x=4) है। / The denominator (x-4) makes the function undefined when it is zero. So the vertical asymptote is (x=4).
\(x\ge 0\) पर (|x|=x) रखकर (x=3-x) से \(x=\frac{3}{2}\) मिलता है। इसलिए प्रतिच्छेद (\left\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\)) है। / For \(x\ge 0\), put (|x|=x), so (x=3-x) gives \(x=\frac{3}{2}\). Hence the intersection is (\left\(\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right\)).
\(\frac{2}{x+1}\) का मान बड़े (|x|) पर (0) के पास जाता है। इसलिए ग्राफ (y=-3) के पास जाता है। / The term \(\frac{2}{x+1}\) approaches (0) for large (|x|). Hence the graph approaches (y=-3).
महत्तम पूर्णांक फलन (x) से कम या बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है। इसलिए \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\)। / The greatest integer function gives the largest integer less than or equal to (x). Hence \(\lfloor 2.7 \rfloor=2\).
A. ग्राफ में छलांग-असांतत्य होता है/The graph has a jump discontinuity
Explanation
Simple Explanation
महत्तम पूर्णांक फलन \(f(x)=\lfloor x\rfloor\) में \(x=3\) के बाईं ओर के मान 2 के निकट आते हैं, जबकि \(f(3)=3\) और दाईं ओर के मान 3 होते हैं। इसलिए \(x=3\) पर बाएँ और दाएँ सीमा मान अलग हैं तथा वहाँ छलांग-असांतत्य होता है। फलन सभी वास्तविक \(x\) के लिए परिभाषित है, इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: \(\lfloor x\rfloor\) के ग्राफ में प्रत्येक पूर्णांक पर छलांग-असांतत्य होता है। / For the greatest integer function \(f(x)=\lfloor x\rfloor\), values just to the left of \(x=3\) approach 2, whereas \(f(3)=3\) and values just to the right are 3. Thus the left-hand and right-hand limits are different, so there is a jump discontinuity at \(x=3\). The function is defined for every real \(x\), making option D incorrect. Exam tip: The graph of \(\lfloor x\rfloor\) has a jump discontinuity at every integer.
साइनम फलन के लिए \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) जब \(x<0\), \(0\) जब \(x=0\), और \(1\) जब \(x>0\) होता है। चूँकि \(-8<0\), इसलिए \(f(-8)=-1\)। विकल्प 0 केवल \(x=0\) पर सही होता है। परीक्षा-युक्ति: साइनम फलन का मान निकालते समय पहले \(x\) का चिह्न देखें, उसका परिमाण नहीं। / For the signum function, \(\operatorname{sgn}(x)=-1\) when \(x<0\), \(0\) when \(x=0\), and \(1\) when \(x>0\). Since \(-8<0\), we get \(f(-8)=-1\). The value 0 would apply only at \(x=0\). Exam tip: For a signum function, check the sign of the input rather than its magnitude.
\(\operatorname{sgn}(x-2)\) का मान \(x-2<0\) होने पर \(-1\) और \(x-2>0\) होने पर \(1\) होता है। अंदर की अभिव्यक्ति \(x-2=0\) पर, अर्थात् \(x=2\) पर, इसका मान बदलता है; इसलिए बाईं और दाईं सीमाएँ अलग हैं और वहाँ छलांग-युक्त असांतत्य होता है। \(x=0\) केवल \(\operatorname{sgn}(x)\) के लिए परिवर्तन-बिंदु होता। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))\) के ग्राफ में संभावित छलांग के लिए पहले \(g(x)=0\) हल करें। / The function \(\operatorname{sgn}(x-2)\) equals \(-1\) when \(x-2<0\) and \(1\) when \(x-2>0\). Its value changes when \(x-2=0\), giving \(x=2\); the unequal one-sided limits therefore produce a jump discontinuity there. \(x=0\) would be the change point for \(\operatorname{sgn}(x)\), not for this shifted function. Exam tip: for \(\operatorname{sgn}(g(x))\), first solve \(g(x)=0\) to locate possible jumps.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3\) विषम फलन है क्योंकि (f(-x)=-f(x))। विषम फलन का ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / \(y=x^3\) is an odd function because (f(-x)=-f(x)). The graph of an odd function is symmetric about the origin.
वर्ग पूर्ण करने पर \(y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2\) प्राप्त होता है। मानक रूप \(y=(x-h)^2+k\) में शीर्ष बिंदु \((h,k)\) होता है, इसलिए शीर्ष \((3,2)\) है। विकल्प B में x-निर्देशांक का चिन्ह गलत है, जबकि विकल्प C मूल समीकरण के गुणांकों को सीधे पढ़ने की त्रुटि दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: द्विघात फलन को पहले \(y=a(x-h)^2+k\) के रूप में लिखें। / Completing the square gives \(y=x^2-6x+11=(x-3)^2+2\). In the standard form \(y=(x-h)^2+k\), the vertex is \((h,k)\); hence it is \((3,2)\). Option B has the wrong sign for the x-coordinate, while option C results from incorrectly reading the coefficients as coordinates. Exam tip: rewrite a quadratic in the form \(y=a(x-h)^2+k\) to identify its vertex directly.
यह व्यंजक संख्या रेखा पर x की −1 और 3 से दूरियों का योग दर्शाता है। इन दोनों बिंदुओं के बीच, अर्थात् −1≤x≤3 के लिए, दूरियों का योग स्थिर रूप से 3−(−1)=4 रहता है। अतः न्यूनतम मान 4 है। 0 नहीं हो सकता, क्योंकि दोनों निरपेक्ष मान एक साथ शून्य नहीं हो सकते। परीक्षा-युक्ति: |x−a|+|x−b| का न्यूनतम मान |a−b| होता है। / The expression represents the sum of the distances of x from −1 and 3 on the number line. For −1≤x≤3, this sum remains constant at 3−(−1)=4, so the minimum value is 4. It cannot be 0 because both absolute-value terms cannot be zero simultaneously. Exam tip: the minimum of |x−a|+|x−b| is |a−b|.
\(x\)-अक्ष पर किसी बिंदु के लिए \(y=0\) होता है। अतः \(|2x-6|=0\), और निरपेक्ष मान केवल तभी शून्य होता है जब \(2x-6=0\)। इससे \(x=3\) तथा प्रतिच्छेद बिंदु \((3,0)\) मिलता है। विकल्प D में \(x=6\) लेने पर \(y=|12-6|=6\), इसलिए वह \(x\)-अक्ष पर नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(x\)-अक्ष का प्रतिच्छेद ज्ञात करने के लिए हमेशा \(y=0\) रखें। / At any point on the x-axis, \(y=0\). Therefore, \(|2x-6|=0\), and an absolute value is zero only when its inside expression is zero: \(2x-6=0\). Thus \(x=3\), giving the intercept \((3,0)\). Option D is incorrect because for \(x=6\), \(y=|12-6|=6\), not zero. Exam tip: To find an x-intercept, set \(y=0\).
समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखने पर \(2y=-3x+12\), अतः \(y=-\frac{3}{2}x+6\) प्राप्त होता है। \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक \(m\) ढाल होता है, इसलिए ढाल \(-\frac{3}{2}\) है। विकल्प B में ऋणात्मक चिह्न छूट गया है। परीक्षा-युक्ति: सामान्य रूप \(ax+by+c=0\) में ढाल \(-\frac{a}{b}\) होती है। / Rearranging the equation gives \(2y=-3x+12\), so \(y=-\frac{3}{2}x+6\). In the slope-intercept form \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope; hence the slope is \(-\frac{3}{2}\). Option B has the wrong sign. Exam tip: For a line \(ax+by+c=0\), its slope is \(-\frac{a}{b}\).
A. यह \(x\)-अक्ष के समानांतर एक रेखा है/It is a line parallel to the \(x\)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन \(y=5\) में प्रत्येक \(x\) के लिए \(y\) का मान स्थिर 5 रहता है। इसलिए इसके सभी बिंदु \((x,5)\) के रूप में होते हैं और ग्राफ \(x\)-अक्ष के समानांतर क्षैतिज रेखा है। यह मूल बिंदु से नहीं गुजरता, क्योंकि \(x=0\) पर भी \(y=5\) होता है। परीक्षा-युक्ति: \(y=c\) का ग्राफ हमेशा \(x\)-अक्ष के समानांतर रेखा होता है। / In the function \(y=5\), the value of \(y\) remains fixed at 5 for every \(x\). Thus, all points are of the form \((x,5)\), giving a horizontal line parallel to the \(x\)-axis. It does not pass through the origin because when \(x=0\), \(y=5\). Exam tip: the graph of \(y=c\) is always a line parallel to the \(x\)-axis.
पहचान फलन \(f(x)=x\) के लिए प्रत्येक बिंदु \((x,y)\) में \(y=x\) होना आवश्यक है। विकल्प A में \((-4,-4)\) के दोनों निर्देशांक बराबर हैं, इसलिए यह बिंदु ग्राफ पर स्थित है। अन्य विकल्पों में \(x\) और \(y\) के मान समान नहीं हैं। परीक्षा-युक्ति: पहचान फलन का ग्राफ मूलबिंदु से गुजरने वाली रेखा \(y=x\) होता है। / For the identity function \(f(x)=x\), every point \((x,y)\) on the graph must satisfy \(y=x\). In option A, both coordinates of \((-4,-4)\) are equal, so the point lies on the graph. In the other options, the x- and y-coordinates are unequal. Exam tip: The graph of the identity function is the straight line \(y=x\) passing through the origin.
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों फलनों के \(y\)-मान समान होंगे, इसलिए \(x^2=2x+3\)। इससे \(x^2-2x-3=0\), अर्थात् \((x-3)(x+1)=0\)। अतः \(x=3\) या \(x=-1\), इसलिए विकल्प A सही है। परीक्षा-टिप: ग्राफों के प्रतिच्छेद के लिए उनके समीकरणों को बराबर करके प्राप्त मूलों की जाँच करें। / At an intersection, both functions have the same \(y\)-value, so set \(x^2=2x+3\). This gives \(x^2-2x-3=0\), or \((x-3)(x+1)=0\). Hence \(x=3\) or \(x=-1\), making option A correct. Exam tip: To find intersection coordinates, first equate the two function expressions and solve for \(x\).
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों फलनों के y-मान समान होंगे, इसलिए \(x^2=|x|\)। यदि \(x=0\), तो एक हल मिलता है। \(x\neq 0\) के लिए दोनों पक्षों को \(|x|\) से भाग देने पर \(|x|=1\), अतः \(x=-1
deवा?\) या \(x=1\)। इसलिए x-मान \(-1,0,1\) हैं। परीक्षा-युक्ति: \(x^2=|x|\) जैसे प्रश्नों में पहले \(x=0\) अलग से जाँचें, फिर \(x\neq0\) मानकर भाग दें। / At an intersection, the two functions have the same y-value, so \(x^2=|x|\). One solution is \(x=0\). For \(x\ne0\), divide by \(|x|\) to obtain \(|x|=1\), which gives \(x=-1\) or \(x=1\). Thus the x-values are \(-1,0,1\). Exam tip: when dividing by \(|x|\), check \(x=0\) separately first.
जब \(x>0\), तब \(|x|=x\), इसलिए \(f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1\)। अतः सभी धनात्मक \(x\) के लिए ग्राफ क्षैतिज रेखा \(y=1\) पर स्थित होता है। ध्यान रखें कि \(x<0\) होने पर \(|x|=-x\) और फलन का मान \(-1\) होता है; इसलिए \(y=-1\) इस स्थिति के लिए सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: \(\frac{x}{|x|}\) का मान \(x\) के चिह्न के बराबर होता है। / When \(x>0\), \(|x|=x\). Hence, \(f(x)=\frac{x}{|x|}=\frac{x}{x}=1\), so the graph lies on the horizontal line \(y=1\) for all positive values of \(x\). The line \(y=-1\) applies when \(x<0\), not in the given interval. Exam tip: \(\frac{x}{|x|}\) gives the sign of \(x\), with values \(1\) for positive \(x\) and \(-1\) for negative \(x\).
जब \(x>-1\), तब \(x\) का मान \(-1\) से बड़ा होता है। इसलिए \(x\) और \(-1\) में छोटा मान हमेशा \(-1\) होगा और \(y=\min(x,-1)=-1\)। विकल्प B गलत है, क्योंकि \(y=x\) तभी होगा जब \(x\leq -1\)। परीक्षा-युक्ति: न्यूनतम फलन में दिए गए मानों में छोटा मान चुनें और सीमा-बिंदु \(x=-1\) की जाँच करें। / When \(x>-1\), the value of \(x\) is greater than \(-1\). Therefore, the smaller of \(x\) and \(-1\) is always \(-1\), so \(y=\min(x,-1)=-1\). Option B is incorrect because \(y=x\) applies when \(x\leq -1\). Exam tip: For a minimum function, select the smaller expression and check the boundary value \(x=-1\).
क्योंकि \(|x-2|\geq 0\) सभी वास्तविक \(x\) के लिए, इसलिए \(y=|x-2|+1\geq 1\)। जब \(x=2\), तब \(|x-2|=0\) और \(y=1\) प्राप्त होता है। अतः फलन की परास \([1,\infty)\) है। परीक्षा-युक्ति: \(|x-a|+b\) का न्यूनतम मान \(b\) होता है और इसकी परास \([b,\infty)\) होती है। / Since \(|x-2|\geq 0\) for every real \(x\), we have \(y=|x-2|+1\geq 1\). At \(x=2\), \(|x-2|=0\), so \(y=1\) is attained. Therefore, the range is \([1,\infty)\). Exam tip: A function of the form \(|x-a|+b\) has minimum value \(b\) and range \([b,\infty)\).
यह शीर्ष-रूप \(y=-(x+4)^2+9\) में दिया गया परवलय है। ऋणात्मक गुणांक के कारण यह नीचे की ओर खुलता है और इसका शीर्ष \((-4,9)\) है। इसलिए अधिकतम \(y\)-मान 9 है, जबकि नीचे की ओर मान अनंत तक जा सकते हैं; अतः रेंज \((- infty,9]\) है। विकल्प B ऊपर की ओर खुलने वाले परवलय की रेंज जैसा है। परीक्षा-युक्ति: \(y=a(x-h)^2+k\) में \(a<0\) होने पर रेंज \((- infty,k]\) होती है। / The equation is in vertex form, \(y=-(x+4)^2+9\). Since the coefficient of the squared term is negative, the parabola opens downward and has vertex \((-4,9)\). Thus, 9 is the maximum value of \(y\), while the values extend indefinitely downward, so the range is \((- infty,9]\). Option B would describe the range of an upward-opening parabola. Exam tip: for \(y=a(x-h)^2+k\), if \(a<0\), the range is \((- infty,k]\).
वास्तविक वर्गमूल के लिए मूलांक के अंदर का व्यंजक गैर-ऋणात्मक होना चाहिए: \(4-x\ge 0\)। इससे \(x\le 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,4]\) है। विकल्प B में असमानता की दिशा उलट गई है, जबकि विकल्प C अनावश्यक रूप से \(x\ge 0\) भी मानता है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन में पहले मूलांक \(\ge 0\) रखकर डोमेन ज्ञात करें। / For a real square root, the radicand must be non-negative: \(4-x\ge 0\). Thus \(x\le 4\), so the domain is \((- infty,4]\). Option B reverses the inequality, while option C incorrectly adds the unnecessary restriction \(x\ge 0\). Exam tip: For a square-root function, set its radicand greater than or equal to zero to find the domain.
परिमेय फलन में हर शून्य नहीं हो सकता। यहाँ हर \(x-1\) है, इसलिए \(x-1=0\) रखने पर \(x=1\) मिलता है। अतः \(x=1\) डोमेन से बाहर है, जबकि अन्य दिए गए मानों पर हर शून्य नहीं होता। परीक्षा में याद रखें: परिमेय फलन का डोमेन पाने के लिए हर को शून्य करने वाले मान को अवश्य हटाएँ। / The denominator of a rational function cannot be zero. Here the denominator is \(x-1\), and solving \(x-1=0\) gives \(x=1\). Therefore, \(x=1\) is excluded from the domain; the other listed values do not make the denominator zero. Exam tip: to find the domain of a rational function, exclude the values that make its denominator zero.
A. यह \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the \(y\)-axis
Explanation
Simple Explanation
यहाँ \(f(x)=x^4\) है। इसलिए \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\), अतः यह सम फलन है और इसका ग्राफ \(y\)-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B विषम फलन की सममिति बताता है, जबकि \(x^4\) के लिए \(f(-x)=-f(x)\) नहीं है। परीक्षा-युक्ति: सम फलन के ग्राफ में \(y\)-अक्षीय सममिति और विषम फलन के ग्राफ में मूलबिंदुीय सममिति होती है। / Here, \(f(x)=x^4\). Thus, \(f(-x)=(-x)^4=x^4=f(x)\), so the function is even and its graph is symmetric about the \(y\)-axis. Option B describes the symmetry of an odd function, but \(x^4\) does not satisfy \(f(-x)=-f(x)\). Exam tip: an even function has \(y\)-axis symmetry, whereas an odd function has symmetry about the origin.
हर वास्तविक \(x\) के लिए \(|x|\ge 0\), इसलिए \(y=-|x|\le 0\)। जब \(x=0\), तब \(y=0\), और \(|x|\) के बढ़ने पर \(y\) बिना सीमा के ऋणात्मक होता जाता है। अतः परास \((- infty,0]\) है। विकल्प B, \(|x|\) का परास है, \(-|x|\) का नहीं। परीक्षा टिप: ऋण चिह्न ग्राफ को \(x\)-अक्ष के नीचे प्रतिबिंबित करता है। / For every real \(x\), \(|x|\ge 0\), so \(y=-|x|\le 0\). At \(x=0\), \(y=0\), and as \(|x|\) increases, \(y\) decreases without bound. Therefore, the range is \((- infty,0]\). Option B is the range of \(|x|\), not of \(-|x|\). Exam tip: the negative sign reflects the graph of \(y=|x|\) across the x-axis.
जब \(x>2\), तब \(x+2>0\) और \(x-2>0\), इसलिए \(|x+2|=x+2\) तथा \(|x-2|=x-2\)। अतः \(y=(x+2)-(x-2)=4\)। विकल्प \(2x\) तब मिलता है जब ऋणात्मक पद को सही ढंग से घटाया नहीं जाता। परीक्षा-युक्ति: मापांक वाले व्यंजक में पहले प्रत्येक अंदरूनी पद का चिह्न निर्धारित करें। / When \(x>2\), both \(x+2\) and \(x-2\) are positive. Hence, \(|x+2|=x+2\) and \(|x-2|=x-2\), so \(y=(x+2)-(x-2)=4\). The option \(2x\) results from mishandling the subtraction of the second modulus term. Exam tip: determine the sign of each expression inside an absolute value before removing the modulus.
A. यह y-अक्ष के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the y-axis
Explanation
Simple Explanation
यदि \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), तो \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\)। अतः यह एक सम फलन है और इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, इसलिए ग्राफ मूल बिंदु से नहीं गुजरता। साथ ही, इसका डोमेन \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) और रेंज \((0,\infty)\) है, न कि \(\mathbb{R}\)। परीक्षा टिप: \(f(-x)=f(x)\) मिलने पर ग्राफ की y-अक्षीय सममिति पहचानें। / For \(f(x)=\frac{1}{x^2}\), we have \(f(-x)=\frac{1}{(-x)^2}=\frac{1}{x^2}=f(x)\). Therefore, the function is even and its graph is symmetric about the y-axis. Option B is incorrect because the function is undefined at \(x=0\), so the graph does not pass through the origin. Its domain is \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) and its range is \((0,\infty)\), not \(\mathbb{R}\). Exam tip: If \(f(-x)=f(x)\), the graph has symmetry about the y-axis.
A. यह मूल बिंदु के सापेक्ष सममित है/It is symmetric about the origin
Explanation
Simple Explanation
फलन \(f(x)=\frac{1}{x}\) का प्रांत \(x\ne 0\) है। \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), इसलिए यह विषम फलन है और इसका ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(y\)-अक्षीय सममिति के लिए फलन सम होना चाहिए। \(x=0\) पर फलन अपरिभाषित है, और ग्राफ प्रथम तथा तृतीय दोनों चतुर्थांशों में स्थित होता है। परीक्षा-टिप: \(f(-x)=-f(x)\) मिले तो ग्राफ मूल बिंदु के सापेक्ष सममित होता है। / The domain of \(f(x)=\frac{1}{x}\) is \(x\ne 0\). Since \(f(-x)=-\frac{1}{x}=-f(x)\), the function is odd and its graph is symmetric about the origin. Option B is incorrect because symmetry about the \(y\)-axis requires an even function. The function is undefined at \(x=0\), and its graph lies in both the first and third quadrants. Exam tip: if \(f(-x)=-f(x)\), the graph is symmetric about the origin.
\\(x\\)-अक्ष पर प्रत्येक बिंदु का \\(y\\)-निर्देशांक 0 होता है। इसलिए \\(0=x^2-4\\), अर्थात \\(x^2=4\\) और \\(x=\\pm2\\)। अतः प्रतिच्छेद बिंदु \\((-2,0)\\) और \\((2,0)\\) हैं। विकल्प B में \\(x=0\\) होने से वे \\(y\\)-अक्ष पर स्थित बिंदु हैं। परीक्षा-युक्ति: \\(x\\)-अक्ष के प्रतिच्छेद के लिए हमेशा \\(y=0\\) रखें। / Every point on the \\(x\\)-axis has \\(y=0\\). Thus, \\(0=x^2-4\\), so \\(x^2=4\\) and \\(x=\\pm2\\). Therefore, the intersection points are \\((-2,0)\\) and \\((2,0)\\). The points in option B have \\(x=0\\), so they lie on the \\(y\\)-axis instead. Exam tip: To find intersections with the \\(x\\)-axis, set \\(y=0\\).
A. (5) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (5) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-5) आने पर ग्राफ दाईं ओर (5) इकाई खिसकता है। क्षैतिज खिसकाव में संकेत उल्टा पढ़ें। / Replacing (x) by (x-5) shifts the graph (5) units right. In horizontal shift read the sign oppositely.
A. 3 इकाई बाईं ओर खिसकाकर/By shifting 3 units to the left
Explanation
Simple Explanation
y = f(x + 3) का ग्राफ y = f(x) के ग्राफ को 3 इकाई बाईं ओर खिसकाने से प्राप्त होता है। यहाँ f(x) = x-2 है, इसलिए y = (x + 3)2 का शीर्ष (-3, 0) होगा। इसे दाईं ओर खिसकाना गलत होगा, क्योंकि अंदर x के साथ धनात्मक 3 होने पर क्षैतिज विस्थापन बाईं ओर होता है। परीक्षा-युक्ति: f(x - a) से ग्राफ a इकाई दाईं ओर और f(x + a) से a इकाई बाईं ओर जाता है। / The graph of y = f(x + 3) is obtained by shifting the graph of y = f(x) 3 units to the left. Here f(x) = x-2, so the vertex of y = (x + 3)2 is (-3, 0). A rightward shift is incorrect because a positive number added inside the function causes a horizontal shift to the left. Exam tip: f(x - a) shifts a graph a units right, while f(x + a) shifts it a units left.
A. 6 इकाई ऊपर खिसकाकर/By shifting it 6 units upward
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^2+6\) में 6, पूरे फलन के बाहर जोड़ा गया है। इसलिए प्रत्येक \(x\) के लिए नया \(y\)-मान पुराने मान से 6 अधिक होगा और पूरा परवलय 6 इकाई ऊपर खिसकेगा। नीचे खिसकना \(y=x^2-6\) में होता। परीक्षा-युक्ति: \(y=f(x)+k\) में \(k>0\) होने पर ग्राफ \(k\) इकाई ऊपर जाता है। / In \(y=x^2+6\), 6 is added outside the function, so for every \(x\), the new \(y\)-value is 6 greater than before. Thus the entire parabola shifts 6 units upward. A downward shift would correspond to \(y=x^2-6\). Exam tip: in \(y=f(x)+k\), a positive \(k\) shifts the graph upward by \(k\) units.
A. (x)-अक्ष में परावर्तन/Reflection in the (x)-axis
Explanation
Simple Explanation
फलन के बाहर ऋण चिह्न सभी (y)-मानों को ऋणात्मक कर देता है। इसलिए (x)-अक्ष में परावर्तन होता है। / A negative sign outside the function makes every (y)-value negative. So it is a reflection in the (x)-axis.
A. ऊर्ध्वाधर खिंचाव, गुणक 2/Vertical stretch by a factor of 2
Explanation
Simple Explanation
\(y=2|x|\) में मूल फलन \(|x|\) के मानों को बाहर से 2 से गुणा किया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-मान दोगुना हो जाता है, जबकि \(x\)-मान वही रहते हैं; यह ऊर्ध्वाधर खिंचाव है और शीर्षबिंदु मूलबिंदु पर ही रहता है। क्षैतिज खिंचाव तब होता जब परिवर्तन इनपुट के भीतर होता, जैसे \(y=|2x|\)। परीक्षा-युक्ति: बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर और अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन दर्शाता है। / In \(y=2|x|\), the output of the parent function \(|x|\) is multiplied by 2. Thus every \(y\)-value doubles while the \(x\)-values remain unchanged, producing a vertical stretch; the vertex stays at the origin. A horizontal stretch would involve changing the input, as in \(y=|2x|\). Exam tip: a multiplier outside the function causes a vertical transformation, whereas one inside the function affects the horizontal scale.
\(y=|2x|\) में मूल फलन के इनपुट \(x\) के स्थान पर \(2x\) है। इसलिए समान \(y\)-मान के लिए आवश्यक \(x\)-मान आधा हो जाता है और ग्राफ \(y\)-अक्ष की ओर सिमटता है; यह क्षैतिज संपीड़न है, जिसका पैमाना \(1/2\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि ऊर्ध्वाधर परिवर्तन तब होता जब पूरे फलन को बाहर से \(1/2\) से गुणा किया जाता। परीक्षा-युक्ति: इनपुट के अंदर का गुणक क्षैतिज और फलन के बाहर का गुणक ऊर्ध्वाधर परिवर्तन करता है। / In \(y=|2x|\), the input \(x\) of the original function is replaced by \(2x\). Thus, for the same \(y\)-value, the required \(x\)-value is halved, so the graph moves toward the \(y\)-axis. This is a horizontal compression with scale factor \(1/2\). Option B is incorrect because a vertical change would result from multiplying the entire function by \(1/2\) outside the function. Exam tip: a multiplier inside the input causes a horizontal transformation, while a multiplier outside the function causes a vertical transformation.
यह फलन बिंदु \(x=1\) और \(x=-1\) से दूरियों के योग को दर्शाता है। त्रिभुज असमता के अनुसार \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\)। \(-1\leq x\leq 1\) के लिए दोनों दूरियों का योग ठीक 2 होता है, जबकि इस अंतराल के बाहर यह 2 से बढ़ जाता है। इसलिए परास \([2,\infty)\) है। विकल्प B में न्यूनतम मान 0 मान लिया गया है, जो संभव नहीं है। परीक्षा-युक्ति: मॉड्यूलस वाले फलन में न्यूनतम मान पाने के लिए महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच का अंतराल अवश्य जाँचें। / The function represents the sum of the distances of \(x\) from 1 and from \(-1\). By the triangle inequality, \(|x-1|+|x+1|\geq |(x-1)-(x+1)|=2\). For \(-1\leq x\leq 1\), this sum is exactly 2, and outside this interval it increases above 2. Hence the range is \([2,\infty)\). Option B incorrectly assumes that the minimum can be 0, although the two points are 2 units apart. Exam tip: For a sum of absolute-value terms, check the interval between their critical points to find the minimum.
A. 1 इकाई नीचे खिसकाकर/By shifting it down by 1 unit
Explanation
Simple Explanation
\(y=x^3-1\) में \(y=x^3\) के मानों से 1 घटाया गया है। इसलिए प्रत्येक \(y\)-निर्देशांक 1 कम हो जाता है और पूरा ग्राफ 1 इकाई नीचे खिसकता है। इसके विपरीत, \(y=(x-1)^3\) ग्राफ को 1 इकाई दाईं ओर ले जाता। परीक्षा-युक्ति: फलन के बाहर जोड़ा या घटाया गया स्थिरांक ऊर्ध्वाधर, जबकि \(x\) के अंदर का परिवर्तन क्षैतिज स्थानांतरण कराता है। / In \(y=x^3-1\), 1 is subtracted from every value of \(y=x^3\). Thus each \(y\)-coordinate decreases by 1, so the entire graph shifts 1 unit downward. In contrast, \(y=(x-1)^3\) would shift the graph 1 unit to the right. Exam tip: a constant added or subtracted outside the function causes a vertical shift, whereas a change inside the input causes a horizontal shift.
A. (2) इकाई दाईं ओर खिसकाकर/By shifting (2) units right
Explanation
Simple Explanation
(x) की जगह (x-2) आने से ग्राफ दाईं ओर (2) इकाई जाता है। घन फलन में भी यही नियम लागू होता है। / Replacing (x) by (x-2) moves the graph (2) units right. The same rule applies to the cubic function.
फलन के लिए \(x\neq 0\), इसलिए \(|x|>0\) और \(y=\frac{1}{|x|}>0\)। जैसे-जैसे \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, \(y\) शून्य के बहुत निकट पहुँचता है, लेकिन कभी \(0\) नहीं होता; और \(|x|\) शून्य के निकट होने पर \(y\) असीमित रूप से बढ़ सकता है। अतः रेंज \((0,\infty)\) है। विकल्प B गलत है क्योंकि उसमें \(0\) शामिल है। परीक्षा-युक्ति: \(1/\text{धनात्मक संख्या}\) हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए ऋणात्मक मान रेंज में नहीं आएँगे। / For this function, \(x\neq 0\), so \(|x|>0\) and therefore \(y=\frac{1}{|x|}>0\). As \(|x|\) becomes very large, \(y\) approaches zero but never equals it; as \(|x|\) approaches zero, \(y\) can increase without bound. Hence the range is \((0,\infty)\). Option B is incorrect because it includes \(0\). Exam tip: the reciprocal of a positive number is always positive, so negative values cannot belong to the range.
प्रतिच्छेद बिंदु ज्ञात करने के लिए \(x^2=4\) रखते हैं। इससे \(x=\pm2\), अर्थात् \(x=-2\) और \(x=2\) प्राप्त होते हैं। इन दोनों प्रतिच्छेदों के बीच ही परवलय और रेखा एक सीमित क्षेत्र बनाते हैं, इसलिए सीमा \(-2\le x\le2\) है। विकल्प B में ऋणात्मक \(x\)-मान छूट जाते हैं। परीक्षा-युक्ति: ऐसी सीमा ज्ञात करने के लिए पहले दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद हल करें। / At the intersection points, the two curves have equal \(y\)-values, so \(x^2=4\). Thus, \(x=-2\) and \(x=2\). The finite region lies between these two intersection points, giving \(-2\le x\le2\). Option B incorrectly excludes the negative \(x\)-values. Exam tip: To find the horizontal extent of a bounded region, first solve the equations of the two boundaries simultaneously.
जब \(0\le x\le 4\), तब \(|x|=x\) और \(|x-4|=4-x\)। अतः \(y=x+(4-x)=4\), जो एक स्थिर मान है; इसलिए ग्राफ इस पूरे अंतराल पर क्षैतिज रहता है। \(x<0\) और \(x>4\) पर फलन के ढाल क्रमशः \(-2\) और \(2\) हैं, इसलिए वहाँ ग्राफ क्षैतिज नहीं है। परीक्षा-युक्ति: निरपेक्ष मान वाले फलन में पहले उन बिंदुओं को पहचानें जहाँ उनके अंदर का व्यंजक शून्य होता है। / For \(0\le x\le 4\), we have \(|x|=x\) and \(|x-4|=4-x\). Hence \(y=x+(4-x)=4\), a constant value, so the graph is horizontal throughout this interval. For \(x<0\) and \(x>4\), the slopes are \(-2\) and \(2\), respectively, so the graph is not horizontal there. Exam tip: For a function involving absolute values, first identify the points where the expressions inside the modulus signs become zero.
