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यह व्यंजक संख्या रेखा पर \(x\) की बिंदु \(-2\) और \(4\) से दूरियों का योग है। इन दोनों स्थिर बिंदुओं के बीच की दूरी \(|4-(-2)|=6\) है, इसलिए त्रिभुज असमता के अनुसार इसका न्यूनतम मान 6 होगा। वास्तव में \(-2\le x\le4\) के लिए यह योग 6 ही रहता है। परीक्षा टिप: \(|x-a|+|x-b|\) का न्यूनतम मान सामान्यतः \(|a-b|\) होता है। / The expression represents the sum of the distances of the point \(x\) from the fixed points \(-2\) and \(4\) on the number line. The distance between these points is \(|4-(-2)|=6\), so by the triangle inequality the minimum sum is 6. In fact, the sum remains 6 for every \(x\) in the interval \([-2,4]\). Exam tip: The minimum value of \(|x-a|+|x-b|\) is generally \(|a-b|\).
\(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\) है लेकिन (x=-4) डोमेन में नहीं है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में (x=-4) पर छिद्र बनता है। / \(\frac{x^2-16}{x+4}=x-4\), but (x=-4) is not in the domain. Therefore the line-like graph has a hole at (x=-4).
यह (x) का भिन्नात्मक भाग देता है जो (0) से शुरू होकर (1) से कम रहता है। इसलिए रेंज ([0,1)) है। / It gives the fractional part of (x), which starts at (0) and stays less than (1). Hence the range is ([0,1)).
\(4\le x\le 10\) पर योग ((x-4)+(10-x)=6) है। मापांक दूरी योग में दोनों बिंदुओं के बीच ग्राफ क्षैतिज होता है। / On \(4\le x\le 10\), the sum is ((x-4)+(10-x)=6). In a modulus distance sum the graph is horizontal between the two points.
क्योंकि \(|x+5|\ge 0\), इसलिए \(y=2-|x+5|\le 2\)। जब \(x=-5\) होता है, तब \(|x+5|=0\) और \(y=2\), अतः 2 अधिकतम मान है। जैसे-जैसे \(|x+5|\) बढ़ता है, \(y\) बिना किसी निम्न सीमा के घटता जाता है। इसलिए रेंज \((- infty,2]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-|x-h|\) जैसे उल्टे मापांक फलन की अधिकतम सीमा \(a\) होती है। / Since \(|x+5|\ge 0\), we have \(y=2-|x+5|\le 2\). At \(x=-5\), \(|x+5|=0\) and \(y=2\), so 2 is the maximum value. As \(|x+5|\) increases, \(y\) decreases without any lower bound. Therefore, the range is \((- infty,2]\). Exam tip: For an inverted modulus function of the form \(a-|x-h|\), the maximum value is \(a\).
समीकरण को ढाल-अवरोध रूप में लिखें: \(4x-3y=15\Rightarrow y=\frac{4}{3}x-5\)। \(y=mx+c\) में \(x\) का गुणांक ढाल \(m\) होता है, इसलिए ढाल \(\frac{4}{3}\) है। \(\frac{3}{4}\) इसका परिमाणात्मक प्रतिलोम है, ढाल नहीं। परीक्षा-युक्ति: पहले समीकरण को \(y=mx+c\) के रूप में बदलें। / Rewrite the equation in slope-intercept form: \(4x-3y=15\Rightarrow y=\frac{4}{3}x-5\). In \(y=mx+c\), the coefficient of \(x\) is the slope \(m\), so the slope is \(\frac{4}{3}\). The value \(\frac{3}{4}\) is its reciprocal, not the slope. Exam tip: first isolate \(y\) and compare the equation with \(y=mx+c\).
दोनों रेखाओं की ढाल (2) है लेकिन अवरोध अलग हैं। समान ढाल वाली अलग रेखाएं समांतर होती हैं। / Both lines have slope (2), but different intercepts. Distinct lines with equal slope are parallel.
वास्तविक मानों के लिए \(x\ge 1\) और \(\sqrt{x-1}\ge 0\) होता है। इसलिए \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\)। जब \(x=1\), तब \(y=7\), अतः 7 रेंज में शामिल है; और \(x\) बढ़ने पर \(y\) बिना किसी निचली सीमा के घट सकता है। इसलिए रेंज \((- infty,7]\) है। परीक्षा-युक्ति: \(a-b\sqrt{\cdot}\) में \(b>0\) हो तो अधिकतम मान सामान्यतः मूल के शून्य होने पर मिलता है। / For real values, \(x\ge 1\) and \(\sqrt{x-1}\ge 0\). Hence \(y=7-\sqrt{x-1}\le 7\). When \(x=1\), \(y=7\), so 7 is included; as \(x\) increases, \(y\) can decrease without bound. Therefore, the range is \((- infty,7]\). Exam tip: for an expression of the form \(a-b\sqrt{\cdot}\) with \(b>0\), the maximum occurs when the square-root term is zero.
वर्गमूल वाले फलन का प्रारंभिक बिंदु वहाँ होता है जहाँ मूल के अंदर का व्यंजक शून्य हो जाता है। इसलिए \(x+9=0\), जिससे \(x=-9\) और \(y=\sqrt{0}-4=-4\) मिलता है। अतः बिंदु \((-9,-4)\) है। विकल्प B में क्षैतिज विस्थापन की दिशा गलत ली गई है। परीक्षा-युक्ति: \(y=\sqrt{x-h}+k\) का प्रारंभिक बिंदु \((h,k)\) होता है। / The endpoint of a square-root graph occurs when the expression under the radical becomes zero. Thus, \(x+9=0\), so \(x=-9\), and \(y=\sqrt{0}-4=-4\). Therefore, the endpoint is \((-9,-4)\). Option B reverses the horizontal shift. Exam tip: for \(y=\sqrt{x-h}+k\), the endpoint is \((h,k)\).
वर्ग करने पर \(y^2=25-x^2\) से \(x^2+y^2=25\) मिलता है। वर्गमूल के कारण केवल ऊपरी भाग आता है। / Squaring gives \(y^2=25-x^2\), so \(x^2+y^2=25\). Because of the square root only the upper part appears.
वास्तविक मान वाले वर्गमूल के लिए उसके अंदर की राशि अशून्य या धनात्मक होनी चाहिए। इसलिए \(x^2-16\ge 0\), अर्थात \((x-4)(x+4)\ge 0\)। इससे \(x\le -4\) या \(x\ge 4\) प्राप्त होता है, इसलिए डोमेन \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\) है। विकल्प B केवल \(-4\) और \(4\) के बीच के मान देता है, जहाँ वर्गमूल के अंदर की राशि ऋणात्मक होती है। परीक्षा-युक्ति: वर्गमूल वाले फलन का डोमेन निकालते समय radicand को हमेशा \(\ge 0\) रखें। / For a real-valued square root, the expression under the radical must be non-negative. Thus, \(x^2-16\ge 0\), or \((x-4)(x+4)\ge 0\). This gives \(x\le -4\) or \(x\ge 4\), so the domain is \((- infty,-4]\cup[4,\u001einfty)\). Option B incorrectly includes the interval between \(-4\) and \(4\), where the radicand is negative. Exam tip: for a square-root function, set the radicand greater than or equal to zero before solving.
हर (x-6) शून्य होने पर फलन अपरिभाषित होता है। इसलिए (x=6) ऊर्ध्वाधर आसम्टोट है। / The denominator (x-6) makes the function undefined when it is zero. Therefore (x=6) is the vertical asymptote.
जब \(|x|\) बहुत बड़ा होता है, तब \(\frac{4}{x+2}\) का मान \(0\) के निकट पहुँचता है। इसलिए \(y\) का मान \(-5\) के निकट पहुँचता है और क्षैतिज आसमटोट \(y=-5\) है। \(x=-2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: \(y=\frac{a}{x-h}+k\) के लिए क्षैतिज आसमटोट सीधे \(y=k\) होता है। / As \(|x|\) becomes very large, \(\frac{4}{x+2}\) approaches \(0\). Therefore, \(y\) approaches \(-5\), so the horizontal asymptote is \(y=-5\). The line \(x=-2\) is the vertical asymptote, not the horizontal one. Exam tip: For \(y=\frac{a}{x-h}+k\), the horizontal asymptote is directly \(y=k\).
अंश और हर दोनों की डिग्री 1 है। इसलिए क्षैतिज आसमटोट प्रमुख गुणांकों के अनुपात से मिलता है: \(y=\frac{1}{1}=1\)। अतः सही उत्तर \(y=1\) है। \(x=2\) ऊर्ध्वाधर आसमटोट है, क्षैतिज नहीं। परीक्षा-युक्ति: समान डिग्री वाले परिमेय फलन में क्षैतिज आसमटोट, अंश और हर के उच्चतम घात वाले पदों के गुणांकों का अनुपात होता है। / The numerator and denominator are both of degree 1. Therefore, the horizontal asymptote is determined by the ratio of the leading coefficients: \(y=\frac{1}{1}=1\). Hence, \(y=1\) is correct. The line \(x=2\) is the vertical asymptote because the denominator becomes zero there. Exam tip: For a rational function with equal numerator and denominator degrees, divide the leading coefficient of the numerator by that of the denominator to find the horizontal asymptote.
\(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\) है लेकिन (x=3) निषिद्ध रहता है। इसलिए रेखा जैसे ग्राफ में छिद्र होता है। / \(\frac{x^2-9}{x-3}=x+3\), but (x=3) remains excluded. Therefore the line-like graph has a hole.
यह \(y=\frac{1}{x^2}\) का (1) इकाई बाईं ओर खिसका हुआ ग्राफ है। इसलिए सममिति अक्ष (x=-1) है। / It is the graph of \(y=\frac{1}{x^2}\) shifted (1) unit left. Therefore the axis of symmetry is (x=-1).
\(x^2+9\) का न्यूनतम मान (9) है। इसलिए \(\frac{1}{x^2+9}\) का अधिकतम मान \(\frac{1}{9}\) है। / The minimum value of \(x^2+9\) is (9). Hence the maximum value of \(\frac{1}{x^2+9}\) is \(\frac{1}{9}\).
महत्तम पूर्णांक फलन \(\lfloor x\rfloor\), \(x\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक होता है। चूँकि \(-4\) स्वयं एक पूर्णांक है, इसलिए \(\lfloor -4\rfloor=-4\) और अतः \(f(-4)=-4\)। विकल्प \(-5\) गलत है, क्योंकि वह \(-4\) से छोटा है; परीक्षा में याद रखें कि पूर्णांक के लिए उसका महत्तम पूर्णांक फलन मान वही पूर्णांक होता है। / The greatest integer function \(\lfloor x\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(x\). Since \(-4\) is itself an integer, \(\lfloor -4\rfloor=-4\), so \(f(-4)=-4\). The value \(-5\) is incorrect because it is less than \(-4\); in exams, remember that the greatest integer function of any integer is the integer itself.
पहले फलन के अंदर का मान निकालते हैं: \(2.6+0.5=3.1\)। महानतम पूर्णांक फलन \(\lfloor y\rfloor\), \(y\) से छोटा या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक देता है; इसलिए \(\lfloor3.1\rfloor=3\)। विकल्प B में \(2.6\) का सीधे पूर्णांक भाग लिया गया है, जो इस फलन की परिभाषा के अनुसार सही नहीं है। परीक्षा-युक्ति: पहले \(x+0.5\) निकालें, फिर floor लागू करें। / First evaluate the expression inside the floor function: \(2.6+0.5=3.1\). The greatest-integer function \(\lfloor y\rfloor\) gives the greatest integer less than or equal to \(y\), so \(\lfloor3.1\rfloor=3\). Option B incorrectly takes the integer part of \(2.6\) without adding \(0.5\). Exam tip: evaluate the quantity inside the floor symbol before applying the function.
जब \(x\in[1,1.5)\), तब \(2x\in[2,3)\)। इस अंतराल में प्रत्येक \(2x\) का महत्तम पूर्णांक मान 2 होता है; 3 शामिल नहीं है क्योंकि \(x=1.5\) डोमेन में नहीं है। इसलिए मानों का समुच्चय \(\{2\}\) है। परीक्षा-युक्ति: महत्तम पूर्णांक फलन में अंतराल के खुले और बंद सिरों को अवश्य जाँचें। / If \(x\in[1,1.5)\), then \(2x\in[2,3)\). The greatest integer less than or equal to every number in this interval is 2, so \(f(x)=2\) throughout the domain. The value 3 is not obtained because \(x=1.5\) is excluded. Hence the range is \(\{2\}\). Exam tip: Always check whether an endpoint is included when evaluating a greatest-integer function.
\(\lceil x \rceil\) (x) से बड़ा या बराबर सबसे छोटा पूर्णांक देता है। (-2.2) के लिए वह (-2) है। / \(\lceil x \rceil\) gives the smallest integer greater than or equal to (x). For (-2.2), it is (-2).
साइनम फलन \(\operatorname{sgn}(t)\) का मान \(0\) तभी होता है जब \(t=0\) हो। इसलिए \(x^2-4=0\), अर्थात् \((x-2)(x+2)=0\), जिससे \(x=2\) या \(x=-2\) प्राप्त होता है। विकल्प C में \(\pm4\) लेना गलत है, क्योंकि \(4^2-4\neq0\)। परीक्षा-युक्ति: \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\) के लिए सीधे \(g(x)=0\) हल करें। / The signum function \(\operatorname{sgn}(t)\) equals \(0\) only when \(t=0\). Hence, solve \(x^2-4=0\), or \((x-2)(x+2)=0\), giving \(x=2\) and \(x=-2\). Option C is incorrect because \(4^2-4\neq0\). Exam tip: To find where \(\operatorname{sgn}(g(x))=0\), set the inner expression \(g(x)\) equal to zero.
फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है: \(y=3\) जब \(x\leq 3\), और \(y=x\) जब \(x\geq 3\)। दोनों रेखाएँ \(x=3\) पर मिलती हैं और उस समय \(y=3\), इसलिए कोना \((3,3)\) पर है। \((0,3)\) उसी क्षैतिज भाग का बिंदु है, लेकिन वहाँ ढाल में परिवर्तन नहीं होता। परीक्षा-युक्ति: \(\max(x,a)\) के ग्राफ का कोना सामान्यतः \((a,a)\) पर होता है। / The function can be written as \(y=3\) for \(x\leq 3\) and \(y=x\) for \(x\geq 3\). These two lines meet at \(x=3\), where \(y=3\), so the corner is at \((3,3)\). The point \((0,3)\) lies on the horizontal part but is not a point where the slope changes. Exam tip: the graph of \(\max(x,a)\) has its corner at \((a,a)\).
प्रतिच्छेद बिंदुओं पर दोनों ग्राफ़ों का \(y\)-मान समान होता है, इसलिए \(x^2=3x+4\)। इसे \(x^2-3x-4=0\) लिखकर गुणनखंड करने पर \((x-4)(x+1)=0\) मिलता है। अतः \(x=4\) या \(x=-1\), इसलिए विकल्प A सही है। विकल्प B में \(x=-1\) का चिह्न गलत लिया गया है। परीक्षा में दो ग्राफ़ों के प्रतिच्छेद के लिए पहले उनके \(y\)-व्यंजकों को बराबर रखें। / At an intersection point, both graphs have the same \(y\)-value, so set \(x^2=3x+4\). Rearranging and factoring gives \(x^2-3x-4=0\), or \((x-4)(x+1)=0\). Hence \(x=4\) or \(x=-1\), making option A correct. Option B results from taking the sign of the root \(-1\) incorrectly. Exam tip: to find intersections of two graphs, equate their \(y\)-expressions first.
A. क्षैतिज संपीड़न (3) गुना/Horizontal compression by factor (3)
Explanation
Simple Explanation
अंदर (3x) होने से ग्राफ (y)-अक्ष की ओर सिमटता है। अंदर का गुणक क्षैतिज परिवर्तन देता है। / Having (3x) inside shrinks the graph toward the (y)-axis. An inside multiplier gives a horizontal change.
A. क्षैतिज खिंचाव (2) गुना/Horizontal stretch by factor (2)
Explanation
Simple Explanation
अंदर \(\frac{x}{2}\) होने से वही (f)-मान पाने के लिए (x) दुगुना चाहिए। इसलिए ग्राफ क्षैतिज रूप से खिंचता है। / With \(\frac{x}{2}\) inside, (x) must double to get the same (f)-value. Hence the graph stretches horizontally.
A. रेखा (y=2) के नीचे वाला भाग ऊपर/The part below (y=2) upward
Explanation
Simple Explanation
(|f(x)-2|) पहले (f(x)-2) को अऋणात्मक बनाता है। इसलिए (f(x)<2) वाला भाग रेखा (y=2) के सापेक्ष ऊपर मुड़ता है। / (|f(x)-2|) makes (f(x)-2) non-negative. Therefore the part with (f(x)<2) folds upward about the line (y=2).
(|x-1|) में (x=1) से समान दूरी वाले इनपुट समान होते हैं। इसलिए ग्राफ (x=1) के सापेक्ष सममित होता है। / In (|x-1|), inputs at equal distance from (x=1) become equal. Hence the graph is symmetric about (x=1).
