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अंतिम अंक सम होगा और पहला अंक शून्य नहीं होगा। मामलों को अलग करके गुणा सिद्धांत लगाएँ। / The last digit must be even and the first digit cannot be zero. Split cases and apply the multiplication principle.
एक पासवर्ड में पहले दो स्थानों पर भिन्न बड़े अंग्रेजी अक्षर और अगले तीन स्थानों पर भिन्न अंक रखे जाते हैं। यदि अंक (0) पहले अंक-स्थान पर नहीं हो सकता तो कुल पासवर्ड कितने होंगे?
अक्षरों के लिए (26) और (25) विकल्प हैं। पहले अंक-स्थान पर (9) और फिर (9,8) विकल्प मिलते हैं। / The letters have (26) and (25) choices. The first digit-place has (9) choices and then (9,8) choices remain.
जाते समय \(4 \times 5\) विकल्प हैं। लौटते समय क्रमशः (4) और (3) विकल्प बचते हैं। / The onward trip has \(4 \times 5\) choices. On return, (4) and (3) choices remain for the two segments.
हजारों का अंक (3) से (8) तक होगा और इकाई अंक विषम होगा। हजारों के अंक के विषम या सम होने के अनुसार मामले बाँटें। / The thousands digit is from (3) to (8) and the units digit is odd. Split cases according to whether the thousands digit is odd or even.
एक परीक्षा कोड में (3) अक्षर और (2) अंक हैं। अक्षर दोहराए जा सकते हैं लेकिन अंक नहीं दोहरेंगे। यदि कोड में कम से कम एक अक्षर स्वर होना चाहिए तो कितने कोड बनेंगे?
कुल अक्षर-व्यवस्थाएँ \(26^3\) और बिना स्वर \(21^3\) हैं। अंतर को \(10 \times 9\) अंक-विकल्पों से गुणा करें। / Total letter arrangements are \(26^3\) and no-vowel arrangements are \(21^3\). Multiply the difference by \(10 \times 9\) digit choices.
दो श्रेणियों और तीनों श्रेणियों के चयन जोड़ें। (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)) मिलता है। / Add selections from exactly two categories and all three categories. This gives (\(6 \times 5\)+\(6 \times 4\)+\(5 \times 4\)+\(6 \times 5 \times 4\)).
इकाई अंक (0) या (5) होगा। दोनों मामलों में हजारों स्थान के नियम अलग हैं। / The units digit is (0) or (5). The thousands-place restriction differs in the two cases.
एक छात्र को (4) गणित पुस्तकों, (3) विज्ञान पुस्तकों और (5) भाषा पुस्तकों में से एक पुस्तक चुननी है। वह गणित या विज्ञान से चुन सकता है, पर भाषा तभी चुनेगा जब साथ में एक शब्दकोश भी चुनेगा। शब्दकोश (2) प्रकार के हैं। कुल वैध चयन कितने हैं?
गणित और विज्ञान के लिए (4+3) चयन हैं। भाषा के लिए \(5 \times 2\) चयन मिलते हैं। / Mathematics and science give (4+3) choices. Language gives \(5 \times 2\) choices with dictionaries.
एक वाहन संख्या में पहले दो स्थानों पर भिन्न अक्षर और अगले चार स्थानों पर अंक हैं। अंक दोहरा सकते हैं, पर सभी चार अंक समान नहीं हो सकते। कुल वाहन संख्याएँ कितनी होंगी?
अक्षरों के लिए \(26 \times 25\) विकल्प हैं। अंकों के लिए \(10^4-10\) वैध व्यवस्थाएँ हैं। / The letters have \(26 \times 25\) choices. The digit part has \(10^4-10\) valid arrangements.
एक समिति के पदनाम के लिए पहले रंग, फिर आकार, फिर प्रतीक चुना जाता है। (7) रंग, (4) आकार और (6) प्रतीक हैं। यदि लाल रंग के साथ वृत्त आकार नहीं हो सकता, तो कितने पदनाम बनेंगे?
कुल \(7 \times 4 \times 6\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 6\) घटाएँ। निषिद्ध स्थिति पहचानना परीक्षा में तेज तरीका है। / Subtract the forbidden \(1 \times 1 \times 6\) from total \(7 \times 4 \times 6\). Identifying the forbidden case is the quick exam method.
एक लॉकर कोड में चार अंक हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और ठीक दो अंक समान होने चाहिए, जबकि बाकी दो अंक अलग-अलग और उनसे भी अलग हों। कुल कोड कितने होंगे?
दोहराए गए अंक के (0) होने और न होने के मामले अलग करें। पहले स्थान पर (0) न आने की शर्त को अंत में न भूलें। / Separate cases according to whether the repeated digit is (0). Do not forget the first-place nonzero restriction.
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता तय होगी। वैध अंतिम-जोड़ों में पहले अंक के (0) होने की स्थिति अलग गिनें। / Divisibility by (4) depends on the last two digits. Count valid ending pairs while separating cases where (0) remains for the first place.
एक ऑनलाइन प्रपत्र में (5) वैकल्पिक खंड हैं। प्रत्येक खंड भरा या खाली छोड़ा जा सकता है, पर कम से कम एक खंड भरना अनिवार्य है। यदि पहला और दूसरा खंड साथ-साथ नहीं भरे जा सकते, तो कुल तरीके कितने हैं?
कुल गैर-रिक्त चयन \(2^5-1\) हैं। जिनमें पहले दो साथ भरे हैं, वे \(2^3\) हैं और घटेंगे। / Total nonempty choices are \(2^5-1\). Those with the first two both filled are \(2^3\), so subtract them.
एक संकेत में (3) झंडे एक के ऊपर एक लगाए जाते हैं। (6) अलग झंडों में से चुने जाते हैं और नीला झंडा चुना जाए तो वह सबसे ऊपर नहीं हो सकता। कुल संकेत कितने बनेंगे?
कुल व्यवस्थाओं \(6 \times 5 \times 4\) में से नीला ऊपर होने वाली \(5 \times 4\) व्यवस्थाएँ घटाएँ। प्रतिबंधित स्थिति घटाना सरल है। / Subtract arrangements with blue on top, \(5 \times 4\), from total \(6 \times 5 \times 4\). Subtracting forbidden cases is simpler.
एक प्रश्नपत्र में भाग (A) से (2) में से एक प्रश्न, भाग (B) से (4) में से दो प्रश्न और भाग (C) से (3) में से एक प्रश्न करना है। भाग (B) के पहले दो प्रश्न साथ-साथ नहीं चुने जा सकते। कुल चयन कितने हैं?
भाग (B) में कुल जोड़े (6) हैं और एक निषिद्ध जोड़ा है। इसलिए \(2 \times 5 \times 3\) चयन मिलते हैं। / Section (B) has (6) pairs and one forbidden pair. Hence the count is \(2 \times 5 \times 3\).
दो सम अंक (4) में से और तीन विषम अंक (5) में से चुनें। फिर चुने गए (5) अंकों को (5!) तरीकों से सजाएँ। / Choose (2) even digits from (4) and (3) odd digits from (5). Then arrange the selected (5) digits in (5!) ways.
एक ऐप पहचान संख्या में (2) अक्षर और (3) अंक हैं। अक्षर दोहरा सकते हैं, अंक दोहरा सकते हैं, पर अंतिम अंक सम होना चाहिए और दोनों अक्षर समान नहीं होने चाहिए। कुल पहचान संख्याएँ कितनी होंगी?
अक्षरों के लिए \(26 \times 25\) विकल्प हैं। तीन अंकों में अंतिम के लिए (5) और बाकी दो के लिए (10,10) विकल्प हैं। / The letters have \(26 \times 25\) choices. For the three digits, the last has (5) choices and the other two have (10,10) choices.
एक पुस्तकालय कार्ड में (4) स्थान हैं। प्रत्येक स्थान पर (A,B,C,D,E) में से एक अक्षर आता है। यदि (A) कम से कम एक बार और (E) बिल्कुल नहीं आना चाहिए, तो कितने कार्ड बनेंगे?
(E) हटाने पर (4) अक्षर बचते हैं। इनमें से (A) न आने वाले \(3^4\) कार्ड कुल \(4^4\) से घटाएँ। / After excluding (E), (4) letters remain. Subtract cards without (A), \(3^4\), from total \(4^4\).
कुल \(2^6\) से लगातार तीन (1) वाले मामलों को व्यवस्थित गिनकर घटाएँ। छोटे अनुक्रमों में स्थिति आधारित गिनती सुरक्षित रहती है। / Subtract the cases containing three consecutive (1)'s from total \(2^6\) by organized counting. For short strings, position-based counting is reliable.
इकाई अंक निश्चित (9) है। हजारों स्थान (2,4,6,8) में से होगा और बीच के दो स्थान शेष (4) अंकों से भरेंगे। / The units digit is fixed as (9). The thousands digit is from (2,4,6,8), and the middle two places use the remaining (4) digits.
एक ड्रेस कोड में (5) शर्ट, (4) पैंट और (3) जैकेट हैं। जैकेट वैकल्पिक है, पर नीली शर्ट के साथ काली पैंट नहीं पहनी जा सकती। यदि हर बार शर्ट और पैंट अनिवार्य हैं, तो कुल पोशाकें कितनी होंगी?
जैकेट के लिए (4) विकल्प हैं क्योंकि न पहनना भी विकल्प है। कुल \(5 \times 4 \times 4\) से निषिद्ध \(1 \times 1 \times 4\) घटाएँ। / There are (4) jacket choices because wearing none is also a choice. Subtract forbidden \(1 \times 1 \times 4\) from total \(5 \times 4 \times 4\).
एक यूआरएल कोड में (3) छोटे अक्षर और (2) प्रतीक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जाएँगे और प्रतीक (4) उपलब्ध प्रतीकों में से दो अलग-अलग स्थानों पर रखे जाएँगे। कुल कोड कितने होंगे?
तीन अक्षरों के लिए \(26 \times 25 \times 24\) विकल्प हैं। दो प्रतीक-स्थानों के लिए \(4 \times 4\) विकल्प हैं। / The three letters have \(26 \times 25 \times 24\) choices. The two symbol positions have \(4 \times 4\) choices.
एक भवन में भूतल से (5)वीं मंजिल तक जाने के लिए लिफ्ट या सीढ़ी चुनी जा सकती है। प्रत्येक मंजिल के बीच (2) विकल्प हैं, पर लगातार दो बार सीढ़ी नहीं चुनी जा सकती। कुल तरीकों की संख्या क्या है?
यह (5) स्थानों का द्वि-विकल्प अनुक्रम है जिसमें लगातार सीढ़ी नहीं है। छोटे अनुक्रम में पुनरावर्ती गिनती (13) देती है। / This is a (5)-position binary sequence with no consecutive stairs. A short recurrence count gives (13).
एक सर्वे में (4) प्रश्न हैं और हर प्रश्न के (3) उत्तर विकल्प हैं। यदि पहले दो प्रश्नों के उत्तर समान नहीं हो सकते और अंतिम दो प्रश्नों के उत्तर समान होने चाहिए, तो कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
पहले प्रश्न के (3), दूसरे के (2), तीसरे के (3) और चौथा तीसरे जैसा होगा। इसलिए \(3 \times 2 \times 3\) मिलता है। / The first question has (3) choices, the second has (2), the third has (3), and the fourth matches the third. Thus \(3 \times 2 \times 3\).
एक खेल टीम की जर्सी में (8) रंग और (5) नंबर-शैलियाँ हैं। यदि सुनहरा रंग केवल विषम नंबर-शैली के साथ और चाँदी रंग केवल सम नंबर-शैली के साथ चुना जा सकता है, तो कुल जर्सियाँ कितनी होंगी?
छह सामान्य रंगों के लिए \(6 \times 5\) विकल्प हैं। सुनहरे के लिए (3) और चाँदी के लिए (2) विकल्प जोड़ें। / The six ordinary colors give \(6 \times 5\) choices. Add (3) choices for gold and (2) choices for silver.
संख्या सम होनी चाहिए और अंकों का योग (3) से विभाज्य होना चाहिए। अंतिम सम अंक के अनुसार सैकड़ों और दहाइयों के विकल्प गिनें। / The number must be even and the digit sum divisible by (3). Count choices for hundreds and tens according to the final even digit.
एक प्रवेश टिकट में (2) अक्षर, (1) रंग और (2) अंक हैं। अक्षर भिन्न हैं, अंक भिन्न हैं, और यदि रंग लाल है तो पहला अंक (0) नहीं हो सकता। (3) रंग उपलब्ध हैं। कुल टिकट कितने होंगे?
अक्षरों के \(26 \times 25\) विकल्प हैं। लाल के लिए \(9 \times 9\) और बाकी दो रंगों के लिए \(10 \times 9\) अंक-विकल्प हैं। / Letters have \(26 \times 25\) choices. Red gives \(9 \times 9\) digit choices, and the other two colors give \(10 \times 9\) choices each.
एक मोबाइल अनलॉक पैटर्न में (4) अलग बिंदु चुने जाते हैं। पहले बिंदु के लिए कोने के (4) बिंदु नहीं चुने जा सकते। कुल पैटर्न कितने होंगे यदि कुल (9) बिंदु हैं?
दो अक्षर (6) में से चुनें और तीन स्थानों में दोनों का आना अनिवार्य रखें। प्रत्येक जोड़े के लिए \(2^3-2\) शब्द बनते हैं। / Choose (2) letters from (6) and ensure both appear in the three positions. Each pair gives \(2^3-2\) words.
कुल पिन \(9 \times 10^4\) हैं। जिनमें (7) नहीं है वे \(8 \times 9^4\) हैं और घटेंगे। / Total PINs are \(9 \times 10^4\). PINs without (7) are \(8 \times 9^4\), so subtract them.
कुल रास्ते (10) हैं। पहले दो दाएँ होने पर बाकी (1) दाएँ और (2) ऊपर को (3) तरीकों से रखा जाता है। / Total paths are (10). If the first two are right, the remaining (1) right and (2) up moves can be arranged in (3) ways.
एक कोड में (4) अक्षर हैं। (26) अक्षरों में से केवल व्यंजन इस्तेमाल होंगे और कोई अक्षर दोहराया नहीं जाएगा। यदि पहला अक्षर (B) नहीं हो सकता, तो कुल कोड कितने होंगे?
व्यंजन (21) हैं और पहले स्थान पर (20) विकल्प हैं। फिर (20,19,18) विकल्प क्रम से मिलते हैं। / There are (21) consonants and (20) choices for the first place. Then (20,19,18) choices follow.
एक भोजन पैकेज में (1) पेय, (1) स्नैक और (1) मिठाई चुनी जाती है। (5) पेय, (6) स्नैक और (4) मिठाइयाँ हैं। यदि चॉकलेट मिठाई के साथ कॉफी पेय नहीं लिया जा सकता, तो कुल पैकेज कितने हैं?
कुल \(5 \times 6 \times 4\) पैकेज हैं। निषिद्ध कॉफी-चॉकलेट के साथ (6) स्नैक विकल्प घटाएँ। / Total packages are \(5 \times 6 \times 4\). Subtract (6) snack choices paired with the forbidden coffee-chocolate combination.
चार स्थानों की कुल व्यवस्थाएँ \(7 \times 6 \times 5 \times 4\) हैं। हजारों और इकाई में आधी व्यवस्थाओं में हजारों अंक बड़ा होगा। / Total arrangements are \(7 \times 6 \times 5 \times 4\). For the thousands and units positions, exactly half have the thousands digit larger.
एक पहचान टैग में (2) रंग और (2) आकार क्रम से चुने जाते हैं। रंग अलग-अलग होने चाहिए और आकार दोहरा सकते हैं। (6) रंग और (3) आकार हैं। यदि पहला रंग लाल है तो दोनों आकार समान नहीं हो सकते। कुल टैग कितने होंगे?
सामान्य रंग-क्रम (30) हैं। जिन (5) क्रमों में पहला लाल है, उनके आकार-विकल्प (9) के स्थान पर (6) होंगे। / There are (30) ordered color choices. For the (5) choices starting with red, shape choices reduce from (9) to (6).
विशेष फोटो न लगे तो \(6 \times 5 \times 4 \times 3\) व्यवस्थाएँ हैं। लगे तो उसके (2) किनारे और बाकी \(6 \times 5 \times 4\) विकल्प हैं। / If the special photo is not used, arrangements are \(6 \times 5 \times 4 \times 3\). If used, it has (2) end choices and the rest have \(6 \times 5 \times 4\) choices.
एक स्कूल आईडी में (3) अंकों के बाद (2) अक्षर हैं। अंक दोहराए जा सकते हैं, अक्षर भिन्न हैं। यदि तीनों अंक समान नहीं होने चाहिए और पहला अक्षर स्वर होना चाहिए, तो कुल आईडी कितनी होंगी?
अंकों के लिए \(10^3-10\) विकल्प हैं। अक्षरों में पहले स्वर के (5) और दूसरे के (25) विकल्प हैं। / The digit part has \(10^3-10\) choices. For letters, the first has (5) vowel choices and the second has (25) choices.
एक परीक्षा सीट कोड में पंक्ति (1) से (12), स्तंभ (1) से (8), और खंड (A,B,C) है। यदि खंड (C) में केवल सम पंक्ति संख्या मान्य है, तो कुल सीट कोड कितने होंगे?
खंड (A,B) के लिए \(2 \times 12 \times 8\) विकल्प हैं। खंड (C) के लिए \(6 \times 8\) विकल्प जोड़ें। / Blocks (A,B) give \(2 \times 12 \times 8\) choices. Block (C) adds \(6 \times 8\) choices.
पहले अंक के (5) विषम विकल्प और अंतिम के (5) सम विकल्प हैं। बीच के चार स्थान शेष (8) अंकों से क्रम में भरते हैं। / The first digit has (5) odd choices and the last has (5) even choices. The middle four positions are filled from the remaining (8) digits in order.
एक प्रश्न बैंक में (5) बीजगणित, (4) ज्यामिति और (3) गणना प्रश्न हैं। ठीक (3) प्रश्नों का सेट बनाना है जिसमें कम से कम एक बीजगणित और कम से कम एक ज्यामिति प्रश्न हो। कुल सेट कितने हैं?
कुल (5P4) कोड (120) हैं। (P,Q) साथ होने पर ब्लॉक गिनकर (48) निषिद्ध कोड मिलते हैं। / Total (5P4) codes are (120). When (P,Q) are together, block counting gives (48) forbidden codes.
पहली-आखिरी विषय व्यवस्था दो प्रकार की है। गिनती (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!) होगी। / There are two subject patterns for the first and last positions. The count is (\(5 \times 4+4 \times 5\) \times 7!).
एक शब्दकोश क्रमांक में (3) स्थान हैं। हर स्थान पर (7) अक्षरों में से कोई भी आ सकता है। यदि कम से कम दो स्थानों पर एक ही अक्षर होना चाहिए, तो कुल क्रमांक कितने होंगे?
कुल \(7^3\) क्रमांक हैं। सभी अक्षर अलग होने वाले \(7 \times 6 \times 5\) क्रमांक घटाएँ। / Total indices are \(7^3\). Subtract the indices with all letters distinct, \(7 \times 6 \times 5\).
एक दुकान में (4) प्रकार के पेन, (5) प्रकार की कॉपी और (3) प्रकार के कवर हैं। छात्र कम से कम एक वस्तु और अधिकतम एक वस्तु हर प्रकार से चुनता है। यदि पेन चुना गया तो कवर भी चुनना जरूरी है, तो कुल चयन कितने होंगे?
कॉपी के लिए (6) विकल्प हैं और कवर के लिए (4) विकल्प हैं। पेन न चुनने और पेन चुनने के वैध मामलों को अलग जोड़ें। / Notebook has (6) choices and cover has (4) choices including none. Add valid cases separately for no pen and for choosing a pen.
एक ऑनलाइन टेस्ट में (6) सही-गलत प्रश्न हैं। उत्तर-पत्र में ठीक (4) उत्तर सही होने चाहिए और पहले प्रश्न का उत्तर सही होना चाहिए। कुल उत्तर-पत्र कितने होंगे?
हजारों स्थान (1,2,3) में से होगा और इकाई स्थान (1,3,5) में से विषम होगा। हजारों अंक विषम होने और न होने के मामले अलग करें। / The thousands digit is from (1,2,3), and the units digit is odd from (1,3,5). Separate cases according to whether the thousands digit is odd.
एक बैग कोड में (2) रंग और (1) आकार है। (5) रंगों में से रंग क्रम सहित चुने जाते हैं और दोहराए नहीं जाते। (4) आकार हैं। यदि हरा रंग चुना गया तो आकार गोल नहीं हो सकता। कुल कोड कितने होंगे?
कुल रंग-क्रम \(5 \times 4\) हैं। जिनमें हरा है वे (8) क्रम हैं और उनमें एक आकार घटता है। / Total ordered color choices are \(5 \times 4\). The (8) orders containing green lose one shape choice each.
एक प्रतियोगिता में (8) छात्रों में से प्रथम, द्वितीय और तृतीय पुरस्कार दिए जाते हैं। दो विशेष छात्र दोनों पुरस्कार-सूची में साथ नहीं आ सकते। कुल पुरस्कार-वितरण कितने होंगे?
कुल \(8 \times 7 \times 6\) वितरण हैं। दोनों विशेष छात्र आने पर तीसरा स्थान (6) छात्रों में से और क्रम (3!) होगा। / Total assignments are \(8 \times 7 \times 6\). If both special students appear, choose the third from (6) students and arrange the (3) winners.
एक डिब्बे में (4) लाल, (3) नीली और (2) हरी गेंदें अलग-अलग हैं। क्रम सहित (3) गेंदें निकाली जाती हैं। पहली गेंद लाल नहीं और तीसरी गेंद हरी होनी चाहिए। बिना वापसी के कुल तरीके कितने हैं?
तीसरी गेंद के हरे होने को तय करके पहले स्थान की वैधता अलग देखें। पहली हरी या नीली होने पर बीच के विकल्प अलग होते हैं। / Fix the third ball as green and count first-place validity separately. The middle choices differ when the first ball is green or blue.
एक सुरक्षा प्रश्न में (5) संकेत-चित्रों में से (3) क्रम से चुने जाते हैं। कोई चित्र दोहराया नहीं जाता और तारा चित्र चुना जाए तो वह दूसरे स्थान पर होना चाहिए। कुल उत्तर कितने होंगे?
तारा न चुने जाने पर \(4 \times 3 \times 2\) उत्तर हैं। तारा चुने जाने पर दूसरा स्थान निश्चित और बाकी \(4 \times 3\) विकल्प हैं। / If star is not chosen, there are \(4 \times 3 \times 2\) answers. If star is chosen, the second position is fixed and the other two positions have \(4 \times 3\) choices.
एक कोड में पहले (3) अलग अक्षर अंग्रेजी वर्णमाला से और फिर (2) अंक आते हैं। पहला अंक (0) नहीं हो सकता और अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, तो कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(26\times25\times24\) और अंकों के लिए \(9\times10\) विकल्प हैं। परीक्षा में हर चरण के विकल्प गुणा करें। / For letters there are \(26\times25\times24\) choices and for digits \(9\times10\) choices. In exams multiply the choices at each stage.
एक यात्री (A) से (B) तक (4) रास्तों से, (B) से (C) तक (3) रास्तों से और (C) से (D) तक (5) रास्तों से जा सकता है। (A) से (D) तक कुल यात्राएँ कितनी होंगी?
तीनों चरण स्वतंत्र हैं, इसलिए \(4\times3\times5=60\)। क्रमिक चयन में सीधे गुणन सिद्धांत लगाएँ। / The three stages are independent, so \(4\times3\times5=60\). For consecutive choices apply the multiplication principle directly.
एक भोजन में (6) स्टार्टर, (8) मुख्य व्यंजन और (5) मिठाइयाँ हैं। (2) विशेष मुख्य व्यंजनों के साथ केवल (3) मिठाइयाँ मिलती हैं, बाकी के साथ (5), तो कुल भोजन संयोजन कितने हैं?
मुख्य व्यंजन के अनुसार मामले बनते हैं, इसलिए (6{\(6\times5\)+\(2\times3\)}=216)। प्रतिबंध दिखे तो पहले मामले अलग करें। / Cases depend on the main dish, so (6{\(6\times5\)+\(2\times3\)}=216). When a restriction appears, split cases first.
पासवर्ड का रूप अक्षर-अंक-अक्षर-अंक-अक्षर-अंक है। पहला अक्षर स्वर है, तीनों अक्षर अलग हैं, तीनों अंक अलग हैं और अंतिम अंक सम है, तो पासवर्डों की संख्या कितनी है?
अक्षरों के लिए \(5\times25\times24\) और अंकों के लिए \(9\times8\times5\) व्यवस्था मिलती है। अंतिम स्थान की शर्त को अलग चरण मानें। / For letters we get \(5\times25\times24\), and for digits \(9\times8\times5\). Treat the condition on the last position as a separate stage.
एक पहचान संख्या में (2) अलग अक्षर और फिर (4) विषम अंक हैं। अक्षर दोहराए नहीं जा सकते और विषम अंकों की पुनरावृत्ति हो सकती है, तो कुल पहचान संख्याएँ कितनी बनेंगी?
अक्षरों के लिए \(26\times25\) और विषम अंकों के लिए \(5^4\) विकल्प हैं। पुनरावृत्ति हो तो हर स्थान पर वही विकल्प बने रहते हैं। / For letters there are \(26\times25\) choices and for odd digits \(5^4\) choices. If repetition is allowed, each place keeps the same choices.
(X) से (Y) तक (7) रास्ते, (Y) से (Z) तक (6) रास्ते और (Z) से (W) तक (4) रास्ते हैं। यदि (Y) से (Z) का पहला रास्ता चुना जाए तो आगे केवल (2) रास्ते मिलते हैं, तो कुल यात्राएँ कितनी हैं?
बीच के विशेष रास्ते के लिए (2) और बाकी (5) रास्तों के लिए (4) विकल्प हैं, इसलिए (7\(2+5\times4\)=154)। विशेष स्थिति को अलग गिनें। / For the special middle route there are (2) choices, and for the other (5) routes there are (4) choices, so (7\(2+5\times4\)=154). Count the special case separately.
चार विषयों से एक-एक पुस्तक चुननी है। गणित में (5), भौतिकी में (4), रसायन में (6) और जीवविज्ञान में (3) पुस्तकें हैं। गणित की पहली पुस्तक और रसायन की दूसरी पुस्तक साथ नहीं चुनी जा सकतीं, तो कुल चयन कितने होंगे?
कुल चयन \(5\times4\times6\times3=360\) हैं और अमान्य चयन \(1\times4\times1\times3=12\) हैं। कुल में से प्रतिबंधित चयन घटाएँ। / Total selections are \(5\times4\times6\times3=360\), and invalid selections are \(1\times4\times1\times3=12\). Subtract the forbidden selections from the total.
यदि (7) पहले स्थान पर हो तो (3024) पिन और अन्य स्थानों पर हो तो (10752) पिन बनते हैं। स्थान आधारित मामले ऐसे प्रश्नों में सुरक्षित तरीका हैं। / If (7) is in the first place, (3024) PINs are possible, and in other places (10752) PINs are possible. Position-based cases are a safe method for such questions.
एक दिन के (6) पीरियड में (8) विषय बिना पुनरावृत्ति के लगाने हैं। अंतिम पीरियड (3) प्रयोगशाला विषयों में से होना चाहिए और पहला पीरियड दो गैर-प्रयोगशाला विषयों में से कोई नहीं हो सकता, तो समय-सारिणी कितनी बनेंगी?
अंतिम स्थान के (3), पहले स्थान के (5) और बीच के (4) स्थानों के लिए \(6\times5\times4\times3\) विकल्प हैं। पहले तय प्रतिबंधित स्थानों को भरें। / There are (3) choices for the last place, (5) for the first place, and \(6\times5\times4\times3\) choices for the middle (4) places. Fill restricted positions first.
टी-शर्ट के लिए (5) आकार, (7) रंग और (4) डिजाइन हैं। काले रंग के साथ केवल (2) डिजाइन उपलब्ध हैं, बाकी रंगों के साथ (4), तो कुल टी-शर्ट संयोजन कितने हैं?
रंग के अनुसार (5\(1\times2+6\times4\)=130) संयोजन मिलते हैं। जब एक विकल्प बाकी से अलग हो, उसे अलग मामला बनाइए। / By color cases, (5\(1\times2+6\times4\)=130) combinations are obtained. When one option behaves differently, make it a separate case.
एक प्रवेश कोड में (6) उपलब्ध अक्षरों में से (2) अलग अक्षर, (5) प्रतीकों में से (2) प्रतीक और (5) विषम अंकों में से (1) अंक आता है। प्रतीक दोहर सकते हैं, तो कुल कोड कितने हैं?
अक्षरों के लिए \(6\times5\), प्रतीकों के लिए \(5\times5\) और अंक के लिए (5) विकल्प हैं। जिन स्थानों पर पुनरावृत्ति हो सकती है वहाँ विकल्प कम नहीं होते। / For letters \(6\times5\), for symbols \(5\times5\), and for the digit (5) choices are available. Where repetition is allowed, choices do not decrease.
एक ऑनलाइन टेस्ट में (9) अध्याय हैं। (3) अध्यायों में (5) सेट और (6) अध्यायों में (4) सेट हैं, फिर (2) मोड और (2) भाषाएँ चुनी जाती हैं। कुल टेस्ट रूप कितने होंगे?
अध्याय-सेट चयन (\(3\times5\)+\(6\times4\)=39) है और फिर \(2\times2\) से गुणा होगा। असमान समूहों में पहले जोड़ और फिर गुणा करें। / The chapter-set choices are (\(3\times5\)+\(6\times4\)=39), then multiply by \(2\times2\). For unequal groups, add first and then multiply.
एक स्ट्रिंग के पहले (2) स्थान (5) अक्षरों से अलग-अलग और अंतिम (2) स्थान (1,2,3,4) अंकों से अलग-अलग भरने हैं। अंतिम दो अंकों में कम से कम एक सम अंक होना चाहिए, तो स्ट्रिंगों की संख्या कितनी है?
अक्षर \(5\times4=20\) तरीकों से और अंक \(4\times3-2=10\) तरीकों से चुने जाते हैं। कम से कम एक की शर्त में पूरक घटाना आसान रहता है। / Letters are chosen in \(5\times4=20\) ways and digits in \(4\times3-2=10\) ways. For at least one condition, subtracting the complement is often easier.
(P) से (Q) तक यात्रा में ठीक एक मध्य केंद्र चुनना है। \(H_1\) से जाने पर (3) और (4) रास्ते मिलते हैं, जबकि \(H_2\) से जाने पर (5) और (2) रास्ते मिलते हैं। कुल यात्राएँ कितनी हैं?
दो अलग मार्ग-मामले हैं, इसलिए \(3\times4+5\times2=22\)। या तो-या स्थितियों में जोड़ और चरणों में गुणा करें। / There are two separate route cases, so \(3\times4+5\times2=22\). Use addition for either-or cases and multiplication within stages.
अक्षर \(26\times25-5\times4=630\) तरीकों से और अंक \(\binom{10}{3}=120\) तरीकों से मिलते हैं। बढ़ते क्रम में क्रम अपने-आप तय हो जाता है। / Letters are possible in \(26\times25-5\times4=630\) ways and digits in \(\binom{10}{3}=120\) ways. In increasing order, the arrangement is automatically fixed.
एक लॉकर में (4) चाबियाँ, (6) कमरे और (5) डिब्बे हैं। पहली चाबी केवल (3) डिब्बे खोलती है, बाकी (3) चाबियाँ सभी (5) डिब्बे खोलती हैं। कुल वैध चयन कितने हैं?
कमरे स्वतंत्र हैं और चाबी-डिब्बा चयन \(1\times3+3\times5=18\) है, इसलिए \(6\times18=108\)। निर्भर विकल्पों को साथ गिनें। / Rooms are independent and key-box choices are \(1\times3+3\times5=18\), so \(6\times18=108\). Count dependent choices together.
इकाई अंक (0) हो तो (72) संख्याएँ और गैर-शून्य सम हो तो (256) संख्याएँ मिलती हैं। अंतिम अंक की प्रकृति से मामले अलग करें। / If the unit digit is (0), there are (72) numbers, and if it is a non-zero even digit, there are (256) numbers. Split cases by the type of last digit.
तीन क्लबों से एक-एक प्रतिनिधि चुनना है। वाद-विवाद में (5) लड़के (4) लड़कियाँ, विज्ञान में (6) लड़के (3) लड़कियाँ और कला में (4) लड़के (5) लड़कियाँ हैं। ठीक (2) लड़कियाँ चुनने के तरीके कितने हैं?
लड़कियों वाले दो क्लबों के तीन मामले बनेंगे और योग \(4\times3\times4+4\times6\times5+5\times3\times5=243\) है। ठीक संख्या वाली शर्तों में मामले बनाइए। / There are three cases for the two clubs contributing girls, and the sum is \(4\times3\times4+4\times6\times5+5\times3\times5=243\). For exact-number conditions, make cases.
अक्षरों के लिए \(26^2\) और अंकों के लिए \(5\times8\times8\times7\) विकल्प हैं। पहले और अंतिम अंक की शर्तों को सावधानी से गिनें। / For letters there are \(26^2\) choices and for digits \(5\times8\times8\times7\) choices. Count the first and last digit conditions carefully.
चार खंडों से एक-एक प्रश्न चुनना है। खंडों में क्रम से (7,8,6,5) प्रश्न हैं। पहले खंड में (2) और तीसरे खंड में (3) तारांकित प्रश्न हैं, और दोनों चुने गए प्रश्न तारांकित नहीं हो सकते। कुल वैध पेपर कितने हैं?
कुल \(7\times8\times6\times5=1680\) हैं और अमान्य \(2\times8\times3\times5=240\) हैं। निषिद्ध साथ-साथ चयन को कुल से घटाएँ। / Total choices are \(7\times8\times6\times5=1680\), and invalid choices are \(2\times8\times3\times5=240\). Subtract forbidden simultaneous selections from the total.
कैप्चा का रूप अंक-अक्षर-अंक-अक्षर-अंक है। अक्षर (21) व्यंजनों में से पुनरावृत्ति सहित चुने जाते हैं, अंक अलग-अलग हैं और बीच वाला अंक अंतिम अंक से बड़ा है। कुल कैप्चा कितने हैं?
बीच और अंतिम अंक के लिए (45) क्रम मिलते हैं और पहला अंक (8) तरीकों से आता है; अक्षर \(21^2\) हैं। असमानता वाले दो स्थानों को पहले गिनना आसान है। / For the middle and last digits there are (45) ordered choices and the first digit has (8) choices; letters give \(21^2\) choices. Counting the inequality-based positions first is easier.
एक कूपन में (4) सूप, (3) ब्रेड, (5) करी और (6) पेय में से एक-एक चयन है। (2) जूस पेय के साथ केवल (3) करी उपलब्ध हैं, बाकी पेय के साथ (5), तो कुल कूपन कितने हैं?
सूप और ब्रेड के \(4\times3\) विकल्प हैं, फिर पेय-करी चयन \(2\times3+4\times5=26\) है। निर्भर जोड़ी को एक इकाई की तरह गिनें। / Soups and breads give \(4\times3\) choices, then drink-curry choices are \(2\times3+4\times5=26\). Count the dependent pair as one unit.
(1) से (9) तक अंकों से (4)-अंकीय कोड बनाना है, कोई अंक दोहराना नहीं है। पहले दो अंकों में पहला छोटा हो और अंतिम दो अंकों में तीसरा बड़ा हो, तो कोड कितने होंगे?
पहले दो अंकों के लिए \(\binom{9}{2}\) और बचे हुए में अंतिम जोड़ी के लिए \(\binom{7}{2}\) विकल्प हैं। असमानता क्रम तय कर देती है। / For the first two digits there are \(\binom{9}{2}\) choices, and from the remaining digits \(\binom{7}{2}\) choices for the last pair. The inequality fixes the order.
एक पासवर्ड में पहले (4) प्रतीकों में से एक प्रतीक, फिर (5) स्वरों में से एक स्वर, फिर (21) व्यंजनों में से (2) अलग व्यंजन और अंत में एक अंक है। यदि पहला प्रतीक विशेष प्रतीक हो तो अंक (0) नहीं हो सकता, तो पासवर्ड कितने हैं?
प्रतीक-अंक चयन \(1\times9+3\times10=39\) है और बाकी \(5\times21\times20\) है। प्रतिबंधित प्रतीक को अलग मामला बनाइए। / The symbol-digit selection is \(1\times9+3\times10=39\), and the rest is \(5\times21\times20\). Make the restricted symbol a separate case.
एक पुस्तकालय कार्ड में पहले (6) अक्षरों से (2) अलग अक्षर, फिर (3) विभाजकों में से एक, और फिर (2) अंक हैं। अंतिम दो अंकों का योग विषम होना चाहिए और अंक दोहर सकते हैं, तो कार्ड कितने हैं?
अंकों का योग विषम होने के लिए एक सम और एक विषम अंक चाहिए, यानी (50) क्रम। इसलिए \(6\times5\times3\times50=4500\)। / For the digit sum to be odd, one digit must be even and the other odd, giving (50) ordered choices. Hence \(6\times5\times3\times50=4500\).
एक ट्रेन (A) से (D) तक (B) और (C) होते हुए जाती है। बाहर जाते समय क्रम से (4,5,6) ट्रेन विकल्प हैं और वापसी में किसी भी समान खंड पर वही ट्रेन दोबारा नहीं ली जा सकती। कुल आना-जाना कितने तरीकों से होगा?
बाहर जाने के लिए \(4\times5\times6\) और वापसी के लिए \(3\times4\times5\) विकल्प हैं। प्रत्येक खंड पर बचे विकल्प अलग से गुणा करें। / For the outward journey there are \(4\times5\times6\) choices and for return \(3\times4\times5\) choices. Multiply remaining choices segment by segment.
एक पोर्टल में (4) क्षेत्रों में से क्षेत्र चुनना है। (3) क्षेत्रों में (3) विद्यालय हैं और एक क्षेत्र में केवल (2) विद्यालय हैं; हर विद्यालय में (5) अनुभाग और हर अनुभाग में (2) मॉनिटर हैं। कुल मॉनिटर चयन कितने हैं?
विद्यालय चयन \(3\times3+1\times2=11\) है और आगे \(5\times2\) विकल्प हैं। असमान क्षेत्रों के कारण पहले कुल विद्यालय गिनें। / School choices are \(3\times3+1\times2=11\), and then there are \(5\times2\) choices. Because regions are unequal, count total schools first.
एक परियोजना में नेता (6) वरिष्ठों में से, कोडर (8) कनिष्ठों में से और डिजाइनर (5) कलाकारों में से चुनना है। नेता और कोडर एक ही सदन से नहीं हो सकते; वरिष्ठों में सदनवार संख्या (2,4) और कनिष्ठों में (3,5) है। कुल टीमें कितनी हैं?
नेता-कोडर के वैध जोड़े (6\times8-\(2\times3+4\times5\)=22) हैं। फिर डिजाइनर के (5) विकल्पों से गुणा करें। / Valid leader-coder pairs are (6\times8-\(2\times3+4\times5\)=22). Then multiply by the (5) choices for designer.
एक कोड में पहला और अंतिम स्थान (5) अक्षरों से अलग-अलग भरते हैं और बीच के दो स्थान (0,1,2,3) से भरते हैं। बीच के दोनों अंक अभाज्य नहीं हो सकते, तो कोड कितने हैं?
अक्षरों के \(5\times4=20\) विकल्प हैं और बीच के अंक \(4^2-2^2=12\) तरीकों से आते हैं। पूरक विधि ऐसे प्रतिबंधों में तेज होती है। / Letters have \(5\times4=20\) choices and the middle digits can be chosen in \(4^2-2^2=12\) ways. The complement method is fast for such restrictions.
एक विद्यार्थी विज्ञान से (1), कला से (1) और कौशल से (1) वैकल्पिक पाठ्यक्रम चुनता है। विज्ञान के (4) पाठ्यक्रमों में से एक पाठ्यक्रम केवल (2) कौशल पाठ्यक्रमों के साथ लिया जा सकता है, बाकी (3) विज्ञान पाठ्यक्रम (6) कौशल पाठ्यक्रमों के साथ लिए जा सकते हैं। कला में (5) विकल्प हैं। कुल चयन कितने हैं?
विज्ञान-कौशल चयन \(1\times2+3\times6=20\) है और कला के (5) विकल्प हैं। निर्भर विषयों को पहले साथ जोड़ें। / Science-Skill selections are \(1\times2+3\times6=20\), and Arts has (5) choices. Add dependent subjects together first.
तीन अंकों का लॉक कोड बनाकर उसके बाद एक अक्षर जोड़ना है। अंक अलग हैं, संख्या (5) से विभाज्य है और यदि अंतिम अंक (0) हो तो अक्षर स्वर नहीं हो सकता। कुल कोड कितने बनेंगे?
अंतिम अंक (0) होने पर \(9\times8\times21\) और (5) होने पर \(8\times8\times26\) विकल्प हैं। विभाज्यता की शर्त अंतिम अंक से शुरू करें। / When the last digit is (0), choices are \(9\times8\times21\), and when it is (5), choices are \(8\times8\times26\). Start divisibility conditions from the last digit.
एक परीक्षा पेपर कोड में (2) माध्यम, (7) विषय, (4) सेट और (3) संस्करण हैं। गणित विषय में केवल (2) संस्करण उपलब्ध हैं, बाकी विषयों में (3), तो कुल कोड कितने हैं?
विषय-सेट-संस्करण चयन \(1\times4\times2+6\times4\times3=80\) है, फिर माध्यम के (2) विकल्प हैं। अलग विषय को अलग मामला लें। / Subject-set-version choices are \(1\times4\times2+6\times4\times3=80\), then there are (2) media choices. Treat the exceptional subject separately.
पहला अंक सम हो तो (960) और विषम हो तो (1200) एक्सटेंशन मिलते हैं। पहले अंक पर (0) की शर्त के कारण मामले जरूरी हैं। / If the first digit is even, there are (960) extensions, and if it is odd, there are (1200). Cases are necessary because of the (0) restriction on the first digit.
एक उपहार पैक में (4) डिब्बे, (6) रिबन, (5) कार्ड और (7) स्टिकर विकल्प हैं। एक विशेष डिब्बा और एक विशेष रिबन साथ चुने जाएँ तो स्टिकर विकल्प (7) की जगह (3) रह जाते हैं। कुल पैक कितने हैं?
बिना शर्त कुल \(4\times6\times5\times7=3360\) हैं और विशेष जोड़ी में \(4\times5=20\) अतिरिक्त गिने गए। अतः (3340) सही है। / Without the condition, total choices are \(4\times6\times5\times7=3360\), and \(4\times5=20\) choices are overcounted for the special pair. Hence (3340) is correct.
एक स्तरित नेटवर्क में पहले स्तर से (3) नोड, दूसरे से (4) नोड और तीसरे से (5) नोड चुनने हैं। दूसरे स्तर के साथ पहले स्तर की एक विशेष जोड़ी अवरुद्ध है। कुल वैध मार्ग कितने हैं?
पहले दो स्तरों के \(3\times4-1=11\) वैध जोड़े हैं और तीसरे स्तर के (5) विकल्प हैं। अवरुद्ध जोड़ी को घटाकर आगे गुणा करें। / The first two layers have \(3\times4-1=11\) valid pairs, and the third layer has (5) choices. Subtract the blocked pair and then multiply.
दो दिन की यात्रा में हर दिन अलग शहर चुनना है। (5) शहर और प्रत्येक दिन (3) होटल श्रेणियाँ हैं। यदि दूसरे दिन राजधानी चुनी जाए तो दूसरे दिन (2) होटल श्रेणियाँ ही मिलती हैं। कुल योजनाएँ कितनी हैं?
दूसरे दिन राजधानी हो तो (24) योजनाएँ और न हो तो (144) योजनाएँ बनती हैं। कुल (168) है। / If day two is the capital, (24) plans are possible, and otherwise (144) plans are possible. The total is (168).
(5)-स्थान वाले कोड में पहले (2) स्थान (7) अक्षरों से अलग-अलग और अंतिम (3) स्थान अंकों से अलग-अलग भरते हैं। चौथा अंक पाँचवें अंक से बड़ा होना चाहिए। कुल कोड कितने हैं?
अक्षर \(7\times6\) तरीकों से और अंक \(45\times8\) तरीकों से चुने जाते हैं। तुलना वाली जोड़ी को पहले चुनें। / Letters are chosen in \(7\times6\) ways and digits in \(45\times8\) ways. Choose the comparison-based pair first.
तीन काउंटरों से एक-एक नाश्ता चुनना है। काउंटरों में (6,7,8) वस्तुएँ हैं और उनमें प्रीमियम वस्तुएँ क्रम से (2,3,1) हैं। ठीक एक प्रीमियम वस्तु चुनने के तरीके कितने हैं?
प्रीमियम वस्तु किस काउंटर से आएगी, इसके तीन मामले हैं और योग (56+84+16=156) है। ठीक एक जैसी शर्त में हर संभव स्रोत अलग गिनें। / There are three cases depending on which counter gives the premium item, and the sum is (56+84+16=156). For exactly one condition, count each possible source separately.
पहले (3) उत्तरों के \(2^3-2=6\) विकल्प हैं, बीच के (6) उत्तरों के \(2^6\) विकल्प हैं। निश्चित अंतिम उत्तर के लिए (1) से गुणा करें। / The first (3) answers have \(2^3-2=6\) choices, and the middle (6) answers have \(2^6\) choices. Multiply by (1) for the fixed last answer.
एक कोड में पहले (2) बड़े अक्षर अलग-अलग हैं और फिर (2) स्वर तथा (1) अंक है। यदि दोनों स्वर समान हों तो अंक सम होना चाहिए, और यदि स्वर अलग हों तो कोई भी अंक हो सकता है। कुल कोड कितने हैं?
अक्षरों के \(26\times25\) विकल्प हैं और स्वर-अंक भाग \(5\times5+5\times4\times10=225\) तरीकों से बनता है। निर्भर शर्त को स्वर के मामलों से हल करें। / Letters have \(26\times25\) choices, and the vowel-digit part is formed in \(5\times5+5\times4\times10=225\) ways. Handle the dependent condition by vowel cases.
वैध पृष्ठभूमि-फॉन्ट जोड़े \(5\times4-2=18\) हैं। फिर \(6\times3\) से गुणा करने पर (324) मिलता है। / Valid background-font pairs are \(5\times4-2=18\). Multiplying by \(6\times3\) gives (324).
एक पासा फेंककर कार्ड-बॉक्स चुना जाता है। अभाज्य परिणाम पर (5) कार्डों वाला बॉक्स और गैर-अभाज्य परिणाम पर (7) कार्डों वाला बॉक्स मिलता है, फिर (4) रंगों में से एक चुना जाता है। कुल परिणाम कितने हैं?
पासे पर (3) अभाज्य और (3) गैर-अभाज्य परिणाम हैं, इसलिए (\(3\times5+3\times7\)\times4=144)। पहले परिणाम के प्रकार गिनें। / The die has (3) prime and (3) non-prime outcomes, so (\(3\times5+3\times7\)\times4=144). Count the type of outcome first.
एक सर्वे में (6) प्रश्न हैं। पहले (2) प्रश्नों में (4) विकल्प, अगले (3) में (5) विकल्प और अंतिम में (3) विकल्प हैं। यदि पहले प्रश्न में विकल्प (D) चुना जाए तो अंतिम प्रश्न में केवल (2) विकल्प रह जाते हैं। कुल उत्तर-पैटर्न कितने हैं?
पहले प्रश्न में (D) हो तो (1000) और न हो तो (4500) पैटर्न बनते हैं। कुल (5500) है। / If the first answer is (D), (1000) patterns are possible, and otherwise (4500) patterns are possible. The total is (5500).
चार चरणों वाली मशीन-श्रृंखला में क्रम से (3,4,5,6) विकल्प हैं। दूसरे चरण की एक मशीन के बाद तीसरे चरण की (2) मशीनें नहीं चुनी जा सकतीं। कुल वैध श्रृंखलाएँ कितनी हैं?
दूसरा-तीसरा चरण \(1\times3+3\times5=18\) तरीकों से बनता है। फिर पहले और चौथे चरण के \(3\times6\) विकल्पों से गुणा करें। / The second-third stages can be formed in \(1\times3+3\times5=18\) ways. Then multiply by \(3\times6\) choices for the first and fourth stages.
(5)-अक्षरीय बैज में पहले (2) स्थान अंक हैं और अगले (3) स्थान (8) अक्षरों से बनते हैं। अंकों का योग सम है, अंक अलग हैं, और अक्षरों में ठीक एक बार (X) आता है। कुल बैज कितने हैं?
अंक (40) तरीकों से और अक्षर \(3\times7\times6=126\) तरीकों से चुने जाते हैं। इसलिए कुल \(40\times126=5040\) है। / Digits are chosen in (40) ways and letters in \(3\times7\times6=126\) ways. Hence the total is \(40\times126=5040\).
एक सम्मेलन में ट्रैक, सत्र, कार्यशाला और प्रमाणपत्र चुनना है। सामान्य (3) ट्रैक में (6) सत्र, (5) कार्यशालाएँ और (2) प्रमाणपत्र विकल्प हैं; चौथे ट्रैक में (3) सत्र, (5) कार्यशालाएँ और प्रमाणपत्र विकल्प नहीं है। कुल चयन कितने हैं?
सामान्य ट्रैक से \(3\times6\times5\times2=180\) और चौथे ट्रैक से (15) चयन हैं। कुल (195) होगा। / Normal tracks give \(3\times6\times5\times2=180\) selections, and the fourth track gives (15). The total is (195).
एक शब्द-रूप कोड में स्वर-व्यंजन-स्वर-व्यंजन क्रम है। (5) स्वर और (21) व्यंजन उपलब्ध हैं, स्वर दोहर नहीं सकते और व्यंजन दोहर नहीं सकते। कुल कोड कितने हैं?
स्वर \(5\times4\) और व्यंजन \(21\times20\) तरीकों से चुने जाते हैं। कुल \(5\times21\times4\times20=8400\) है। / Vowels are chosen in \(5\times4\) ways and consonants in \(21\times20\) ways. The total is \(5\times21\times4\times20=8400\).
एक विद्यार्थी सुबह (5), दोपहर (4) और शाम (6) कक्षाओं में से एक-एक चुनता है। सुबह की (2) लाइव कक्षाओं के साथ शाम की (3) रिकॉर्डेड कक्षाएँ नहीं चुनी जा सकतीं। कुल समय-सारिणी कितनी हैं?
सुबह-शाम चयन \(2\times3+3\times6=24\) है और दोपहर के (4) विकल्प हैं। कुल (96) समय-सारिणी हैं। / Morning-evening selections are \(2\times3+3\times6=24\), and there are (4) afternoon choices. The total is (96) timetables.
दोहराया अंतिम अंक (0) हो तो \(9^4\) और गैर-शून्य हो तो \(9\times8\times9^3\) विकल्प हैं। दोनों मामलों का योग (59049) है। / If the repeated last digit is (0), choices are \(9^4\), and if it is non-zero, choices are \(9\times8\times9^3\). The sum of both cases is (59049).
एक वेबसाइट में मुख्य श्रेणी, उपश्रेणी, लेख और भाषा चुननी है। (8) मुख्य श्रेणियों में से (6) में (5) उपश्रेणियाँ और (2) में (3) उपश्रेणियाँ हैं; हर उपश्रेणी में (4) लेख और (2) भाषाएँ हैं। कुल पेज-पथ कितने हैं?
उपश्रेणी चयन \(6\times5+2\times3=36\) है और प्रत्येक के लिए \(4\times2\) विकल्प हैं। कुल \(36\times8=288\) है। / Subcategory choices are \(6\times5+2\times3=36\), and each has \(4\times2\) choices. The total is \(36\times8=288\).
इकाई स्थान पर (2) या (4) के लिए (2) विकल्प हैं और बाकी स्थानों के लिए \(4 \times 3 \times 2\) तरीके हैं। परीक्षा में अंतिम स्थान की शर्त पहले लगाएँ। / There are (2) choices for the units digit and \(4 \times 3 \times 2\) ways for the remaining places. In exams apply the last digit condition first.
इकाई स्थान (0) होने पर \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) और इकाई (5) होने पर पहले स्थान के लिए (4) विकल्प मिलते हैं। दोनों मामलों को जोड़ना मुख्य कदम है। / If the units digit is (0), there are \(5 \times 4 \times 3 \times 2\) ways; if it is (5), the first digit has (4) choices. Add the two cases carefully.
किसी विद्यालय के प्रवेश कूट में पहले (2) अलग अक्षर और फिर (3) अलग अंक लिखे जाते हैं। यदि अक्षर (A,B,C,D,E) से और अंक (1,2,3,4,5,6) से चुने जाएँ तो कुल कितने कूट बनेंगे?
अक्षरों के लिए \(5 \times 4\) और अंकों के लिए \(6 \times 5 \times 4\) तरीके हैं। स्वतंत्र चरणों को गुणा करना मौलिक सिद्धांत है। / Letters can be chosen in \(5 \times 4\) ways and digits in \(6 \times 5 \times 4\) ways. Multiply independent stages by the fundamental principle.
एक परीक्षा में विद्यार्थी को (8) प्रश्नों में से (5) प्रश्न हल करने हैं। पहले (3) प्रश्नों में से कम से कम (2) प्रश्न हल करना अनिवार्य है। चयन कितने तरीकों से हो सकता है?
पहले (3) में से (2) या (3) प्रश्न चुनें और बाकी (5) प्रश्नों से शेष चुनें। कम से कम वाली शर्त में अलग-अलग मामले बनाएँ। / Choose (2) or (3) from the first (3), then choose the remaining questions from the other (5). For an at least condition, split into cases.
किसी पुस्तकालय में (6) गणित और (5) भौतिकी की पुस्तकों से (4) पुस्तकों का समूह बनाना है जिसमें दोनों विषयों की कम से कम एक पुस्तक हो। कुल कितने समूह बनेंगे?
कुल चयन \(\binom{11}{4}\) से केवल गणित और केवल भौतिकी वाले चयन घटाएँ। पूरक विधि ऐसे प्रश्नों में तेज होती है। / Subtract all-math and all-physics selections from \(\binom{11}{4}\). The complement method is faster for such restrictions.
ऐसे (4) अंकों के समूह चुनें जिनका योग (3) से विभाज्य हो और फिर अग्रणी शून्य हटाकर क्रम लगाएँ। विभाज्यता में पहले अंकों का योग जाँचें। / Choose (4)-digit sets whose sum is divisible by (3), then arrange them excluding leading zero. For divisibility, first check the digit sum.
(3) पुरुष (5) में से और (2) महिलाएँ (4) में से चुनी जाएँगी। ठीक वाली शर्त में केवल एक मामला बनता है। / Choose (3) men from (5) and (2) women from (4). An exactly condition usually gives one fixed case.
कुल (6!) क्रमों से उन क्रमों को घटाएँ जिनमें (A,I) साथ हों। साथ-साथ वाली शर्त में ब्लॉक बनाना उपयोगी है। / Subtract arrangements where (A,I) are together from total (6!). Treat together letters as one block for such conditions.
एक मार्ग (P) से (Q) तक (4) रास्ते और (Q) से (R) तक (5) रास्ते हैं। (P) से (R) जाकर वापस (P) आना है लेकिन वापसी में वही (P) से (Q) वाला रास्ता और वही (Q) से (R) वाला रास्ता नहीं लेना है। कुल कितने तरीके हैं?
जाते समय \(4 \times 5\) तरीके और लौटते समय \(3 \times 4\) तरीके हैं। यात्रा के चरण स्वतंत्र हों तो गुणा करें। / Going has \(4 \times 5\) ways and returning has \(3 \times 4\) ways. Multiply independent journey stages.
ऊपर-मध्य-नीचे स्थानों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। जब क्रम महत्वपूर्ण हो तो क्रमचय जैसा गुणा करें। / The top, middle, and bottom positions have (7,6,5) choices respectively. When order matters, multiply as an arrangement.
पहले (2) और (4) सहित (4) अंक चुनें और उनके आधे क्रमों में (4), (2) के बाएँ होगा। सममिति का उपयोग ऐसे प्रश्नों में समय बचाता है। / Choose (4) digits including (2) and (4), and in half of their arrangements (4) is left of (2). Symmetry saves time here.
पद अलग-अलग हैं इसलिए \(7 \times 6 \times 5\) तरीके होंगे। पदों में क्रम महत्वपूर्ण हो तो संयोजन नहीं लगाएँ। / The posts are distinct, so the number of ways is \(7 \times 6 \times 5\). Use arrangements, not combinations, when positions are different.
एक शब्द बनाना है जिसमें (4) अलग व्यंजन और (2) अलग स्वर हों। (8) व्यंजनों और (5) स्वरों से अक्षर चुने जाते हैं और बने (6) अक्षरों को किसी भी क्रम में रखा जाता है। कुल कितने शब्द बनेंगे?
पहले \(\binom{8}{4}\binom{5}{2}\) चयन करें और फिर (6!) क्रम लगाएँ। चयन और क्रम को अलग-अलग संभालें। / First select in \(\binom{8}{4}\binom{5}{2}\) ways and then arrange in (6!) ways. Handle selection and arrangement separately.
बराबर रंगों के लिए (2) लाल और (2) नीली गेंदें चुननी होंगी। इसलिए \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}\) लगाएँ। / Equal colours mean choosing (2) red and (2) blue balls. So use \(\binom{6}{2}\binom{5}{2}\).
अंतिम दो अंकों से (4) से विभाज्यता जाँचें और हर सही जोड़े के लिए बाकी (3) स्थान भरें। अंत के दो स्थान पहले तय करें। / Check divisibility by (4) using the last two digits and fill the remaining (3) places for each valid ending pair. Fix the last two places first.
एक मेनू में (5) प्रारंभिक व्यंजन, (6) मुख्य व्यंजन और (4) मिठाइयाँ हैं। ऐसा भोजन चुनना है जिसमें प्रत्येक प्रकार से एक वस्तु हो और मुख्य व्यंजन (2) विशेष वस्तुओं में से कोई एक न हो। कुल कितने भोजन बनेंगे?
मुख्य व्यंजन के लिए (6-2=4) विकल्प हैं, इसलिए कुल \(5 \times 4 \times 4\) भोजन बनेंगे। प्रतिबंधित विकल्पों को पहले घटाएँ। / The main dish has (6-2=4) choices, so total meals are \(5 \times 4 \times 4\). Remove forbidden choices first.
एक कोड में (2) बड़े अक्षर और (2) अंक हैं। अक्षर (A,B,C,D) से और अंक (0,1,2,3,4) से चुने जाते हैं। अक्षर दोहराए नहीं जाते पर अंक दोहर सकते हैं। कुल कितने कोड बनेंगे?
अक्षरों के स्थानों के लिए \(4 \times 3\) तरीके और अंकों के लिए \(5 \times 5\) तरीके हैं। पुनरावृत्ति की अनुमति हर चरण में अलग देखें। / Letters have \(4 \times 3\) ways and digits have \(5 \times 5\) ways. Check repetition rules separately for each part.
कुल (6) चालों में (3) दाएँ और (3) नीचे चालें होंगी। इसलिए \(\binom{6}{3}\) मार्ग मिलते हैं। / There are (6) moves: (3) right and (3) down. Hence the number of paths is \(\binom{6}{3}\).
दो सिरों पर (N,R) को (2!) तरीकों से रखा जा सकता है और बीच के (4) अक्षर (4!) तरीकों से। स्थान निश्चित हों तो पहले उन्हें भरें। / The two ends can be filled by (N,R) in (2!) ways and the middle (4) letters in (4!) ways. Fill fixed positions first.
कुल \(^{9}P_{4}\) से उन व्यवस्थाओं को घटाएँ जिनमें दोनों निश्चित व्यक्ति साथ हों। साथ आने पर उन्हें ब्लॉक मानें। / Subtract arrangements where the two particular persons are together from \(^{9}P_{4}\). Treat the pair as a block when they are together.
इकाई स्थान पर केवल (9) होगा, फिर पहला स्थान (0) छोड़कर (4) तरीकों से भरेगा। शून्य और विषम शर्त साथ में देखें। / The units digit must be (9), then the first digit has (4) choices excluding (0). Handle zero and odd-number conditions together.
एक पुस्तक शेल्फ में (4) अलग गणित, (3) अलग रसायन और (2) अलग जीवविज्ञान की पुस्तकें हैं। यदि हर विषय की पुस्तकें साथ-साथ रखनी हों तो कुल व्यवस्थाएँ कितनी होंगी?
तीन विषयों के ब्लॉक (3!) तरीकों से और ब्लॉकों के भीतर पुस्तकें (4!3!2!) तरीकों से सजेंगी। साथ रखने में ब्लॉक विधि लगाएँ। / The three subject blocks can be arranged in (3!) ways and books inside blocks in (4!3!2!) ways. Use the block method for together conditions.
लगातार न होने वाले (4) दिनों का चयन \(\binom{10-4+1}{4}\) से मिलेगा। गैर-लगातार चयन में अंतर विधि याद रखें। / The number of ways to choose (4) non-consecutive days is \(\binom{10-4+1}{4}\). Remember the gap method for non-consecutive selections.
एक ताले में (4) स्थान हैं। प्रत्येक स्थान पर (0) से (9) तक कोई भी अंक आ सकता है, पर ठीक (2) स्थानों पर अंक (7) होना चाहिए। कुल कितने ताले के कूट बनेंगे?
पहले (7) के (2) स्थान \(\binom{4}{2}\) तरीकों से चुनें, बाकी स्थानों पर (9) विकल्प होंगे। ठीक वाली शर्त में शेष स्थानों पर वही अंक न आने दें। / Choose the (2) positions for (7) in \(\binom{4}{2}\) ways, and each remaining position has (9) choices. For exactly conditions, exclude the fixed digit from remaining places.
संभव मामले (3) लड़कियाँ (2) लड़के, (4) लड़कियाँ (1) लड़का और (5) लड़कियाँ हैं। अधिक वाली शर्त में सभी वैध मामलों को जोड़ें। / The valid cases are (3) girls (2) boys, (4) girls (1) boy, and (5) girls. Add all cases satisfying the greater-than condition.
कुल (6) अक्षर हैं और (O) दो बार आया है, इसलिए संख्या \(\frac{6!}{2!}\) होगी। समान अक्षरों पर विभाजन करना न भूलें। / There are (6) letters with (O) repeated twice, so the count is \(\frac{6!}{2!}\). Do not forget to divide by repeated letters.
पहले गणित की पुस्तकें (4!) तरीकों से रखें और बने (5) खाली स्थानों में (3) अंग्रेजी पुस्तकें क्रम सहित रखें। अलग-अलग रखने में खाली स्थान विधि उपयोगी है। / First arrange the mathematics books in (4!) ways, then place the (3) English books in (5) gaps with order. The gap method is useful for separation restrictions.
कोई भी (3) अंक चुनने पर उनका केवल एक बढ़ता क्रम बनेगा। जब क्रम पहले से निश्चित हो तो संयोजन पर्याप्त है। / Any (3) chosen digits give exactly one increasing order. When order is predetermined, combinations are enough.
निश्चित खिलाड़ी के साथ बाकी (3) खिलाड़ी (7) में से चुनें और कप्तान उन (3) में से चुनें। पहले अनिवार्य सदस्य को स्थिर मानें। / Choose the remaining (3) players from (7), and choose the captain from those (3) players. Treat the compulsory member as fixed first.
एक (5) अंकों का कूट (0,1,2,3,4,5) से बनता है। पुनरावृत्ति नहीं है और पहला अंक (0) नहीं हो सकता। यदि कूट में (1) और (2) दोनों होने चाहिए, तो कुल कितने कूट बनेंगे?
पहले (1,2) के साथ अन्य (3) अंक चुनें और शून्य शामिल होने पर अग्रणी शून्य वाले क्रम घटाएँ। शून्य की स्थिति अलग से जाँचें। / Choose the other (3) digits along with (1,2), then subtract arrangements with leading zero when zero is included. Check the zero-position restriction separately.
एक थाली में (7) प्रकार की मिठाइयाँ हैं। (5) मिठाइयाँ चुननी हैं जिनमें कम से कम (2) विशेष मिठाइयाँ शामिल हों। यदि विशेष मिठाइयाँ (3) हैं, तो चयन कितने तरीकों से होगा?
विशेष मिठाइयों में से (2) या (3) चुनें और शेष सामान्य मिठाइयों से भरें। कम से कम के लिए वैध मामलों का योग करें। / Choose (2) or (3) of the special sweets and fill the rest from ordinary sweets. Add valid cases for an at least condition.
सही पत्र के लिए (6) विकल्प हैं और बाकी (5) पत्रों की पूर्ण अव्यवस्था (!5=44) तरीकों से होगी। ठीक सही की शर्त में अव्यवस्था का विचार आता है। / There are (6) choices for the correct letter and the remaining (5) letters must be deranged in (!5=44) ways. Exactly-correct conditions often use derangements.
(A) के साथ (C,D,E,F) में से (3) अक्षर चुनें और (4!) क्रम लगाएँ। शामिल और बाहर वाली शर्तों को पहले लागू करें। / Choose (3) letters from (C,D,E,F) along with (A), then arrange the (4) letters in (4!) ways. Apply inclusion and exclusion restrictions first.
हर दो रंगों की जोड़ी के लिए कुल (4) चयन से एक ही रंग वाले चयन घटाएँ और तीनों जोड़ें। ठीक (2) रंग का अर्थ दोनों चुने रंगों से कम से कम एक गेंद है। / For each pair of colours, take all (4)-selections and subtract single-colour selections, then add the three pairs. Exactly (2) colours means at least one ball from each chosen colour.
एक कूट में (3) अक्षर और (2) अंक हैं। सभी (5) स्थानों में अक्षर और अंक किसी भी क्रम में आ सकते हैं। (5) अक्षरों और (4) अंकों से बिना पुनरावृत्ति कुल कितने कूट बनेंगे?
पहले अक्षरों के (3) स्थान चुनें, फिर अक्षर और अंक क्रम सहित भरें। स्थान-प्रकार तय करना ऐसे मिश्रित कूटों में पहला कदम है। / First choose the (3) positions for letters, then fill letters and digits in order. Deciding position types is the first step in mixed-code questions.
कुल \(\binom{10}{3}\) त्रिभुजों से वे त्रिभुज घटाएँ जिनमें दोनों निश्चित बिंदु हों। प्रतिबंधित युग्म के साथ तीसरा बिंदु (8) तरीकों से चुना जाता है। / Subtract triangles containing both particular points from total \(\binom{10}{3}\). With the forbidden pair, the third point has (8) choices.
दोनों (A) को एक ब्लॉक मानने पर कुल (6) अलग वस्तुएँ मिलती हैं। अतः क्रम (6!) होंगे। / Treat the two (A)'s as one block, giving (6) distinct objects. Hence the number of arrangements is (6!).
हजारों के स्थान पर (3,4,5,6) में से (4) विकल्प हैं और बाकी (3) स्थान \(5 \times 4 \times 3\) तरीकों से भरते हैं। असमानता में पहला स्थान निर्णायक होता है। / The thousands digit has (4) choices from (3,4,5,6), and the remaining (3) places are filled in \(5 \times 4 \times 3\) ways. For inequalities, the first place is decisive.
संभव मामले (1) अध्यापक (3) विद्यार्थी और (2) अध्यापक (2) विद्यार्थी हैं। दोनों कम से कम शर्तों को साथ मिलाकर मामले बनाएँ। / The valid cases are (1) teacher (3) students and (2) teachers (2) students. Form cases satisfying both at least conditions.
पहले स्थान के लिए (8), दूसरे के लिए (7), तीसरे के लिए (6) विकल्प हैं। अलग स्थानों में क्रम महत्वपूर्ण होता है। / The first position has (8) choices, the second (7), and the third (6). Order matters for distinct positions.
कुल वैध संख्याएँ \(5 \times 5!\) हैं और (0,5) साथ होने वाले मामलों को सावधानी से घटाएँ। अग्रणी शून्य के कारण ब्लॉक मामलों में अलग जाँच करें। / Total valid numbers are \(5 \times 5!\), and subtract the cases where (0,5) are together. Check block cases carefully because of leading zero.
कलम \(\binom{4}{2}\) तरीकों से और कॉपी \(\binom{3}{2}\) तरीकों से चुनी जाएँगी। स्वतंत्र चयन में परिणामों को गुणा करें। / Pens are chosen in \(\binom{4}{2}\) ways and notebooks in \(\binom{3}{2}\) ways. Multiply independent selections.
अलग पुरस्कारों के लिए क्रमशः (7,6,5) विकल्प हैं। अलग पुरस्कारों में क्रम का महत्व होता है। / The distinct prizes have (7,6,5) choices respectively. Order matters when prizes are different.
कुल \(\binom{6}{3}\) चयन से वे चयन घटाएँ जिनमें प्रश्न (1) और प्रश्न (2) दोनों हैं। प्रतिबंधित जोड़ी के साथ तीसरा प्रश्न (4) तरीकों से चुना जाता है। / Subtract selections containing both question (1) and question (2) from total \(\binom{6}{3}\). With the forbidden pair, the third question has (4) choices.
दो निश्चित अक्षरों के स्थान ((1,4)) या ((2,5)) हो सकते हैं और उनका आपसी क्रम (2!) तरीकों से होगा। शेष (3) अक्षर (3!) तरीकों से सजेंगे। / The two particular letters can occupy positions ((1,4)) or ((2,5)), and their internal order has (2!) ways. The remaining (3) letters are arranged in (3!) ways.
पहले और अंतिम रंग (R,B) या (B,R) हो सकते हैं, फिर बीच के दो स्थान शेष (7) कार्डों से क्रम सहित भरते हैं। रंग-आधारित सिरों को पहले तय करें। / The first and last colours can be (R,B) or (B,R), then the two middle positions are filled from the remaining (7) cards in order. Fix colour-based end positions first.
मित्रों में से \(\binom{3}{2}\) और बाकी (6) लोगों में से \(\binom{6}{3}\) चयन होंगे। ठीक (2) का अर्थ तीसरा मित्र बाहर रहेगा। / Choose \(\binom{3}{2}\) friends and \(\binom{6}{3}\) others. Exactly (2) means the third friend is excluded.
सैकड़ों और इकाई के दो अलग अंकों में बड़ा अंक सैकड़ों में होना चाहिए और सैकड़ों अंक (0) नहीं हो सकता। फिर दहाई स्थान शेष (6) अंकों से भरता है। / For two distinct hundreds and units digits, the larger must be in the hundreds place and it cannot be (0). Then the tens place has (6) remaining choices.
एक प्रश्नपत्र में खंड (A) में (5) प्रश्न और खंड (B) में (6) प्रश्न हैं। विद्यार्थी को (6) प्रश्न हल करने हैं, जिनमें खंड (A) से कम से कम (2) और खंड (B) से कम से कम (3) प्रश्न हों। चयन कितने तरीकों से होगा?
वैध मामले ((2,4)) और ((3,3)) हैं। दोनों खंडों की कम से कम शर्तों को एक साथ मिलाकर ही मामले बनाएँ। / The valid cases are ((2,4)) and ((3,3)). Form cases only after combining the at least conditions of both sections.
एक मंच पर (6) वक्ताओं को क्रम में बोलना है। दो निश्चित वक्ताओं में से एक को पहले तीन स्थानों में और दूसरे को अंतिम तीन स्थानों में होना चाहिए। कुल कितने बोलने के क्रम बनेंगे?
कौन सा वक्ता पहले भाग में जाएगा इसके (2) तरीके हैं, फिर स्थान \(3 \times 3\) तरीकों से और शेष (4) वक्ता (4!) तरीकों से सजेंगे। पहले भागों और निश्चित व्यक्तियों को तय करें। / There are (2) ways to decide which particular speaker goes in the first half, \(3 \times 3\) ways for their positions, and (4!) ways for the rest. Fix the sections and particular persons first.
