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क्योंकि \(4=2^2\), इसलिए \((4,2)\in R\) है। ऐसे प्रश्नों में ordered pair के पहले और दूसरे घटक को सही स्थान पर रखकर जांचें। / Since \(4=2^2\), \((4,2)\in R\). In such questions, check the first and second components in the correct order.
खाली संबंध में कोई ordered pair नहीं होता। याद रखें \(R=\varnothing\) भी एक वैध संबंध है। / An empty relation has no ordered pair. Remember that \(R=\varnothing\) is also a valid relation.
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) के सभी ordered pairs लेता है। परीक्षा में इसे total relation भी समझें। / The universal relation contains all ordered pairs of \(A\times A\). In exams, think of it as the total relation.
समुच्चय \\(A\\) में 2 अवयव हैं। इसलिए \\(A\\times A\\) में क्रमित युग्मों की संख्या \\(n(A)\\times n(A)=2\\times2=4\\) होगी। ये युग्म \\( (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\\) हैं। अतः सही उत्तर 4 है। परीक्षा-युक्ति: यदि \\(n(A)=n\\), तो \\(n(A\\times A)=n^2\\) होता है। / The set \\(A\\) has 2 elements. Therefore, the number of ordered pairs in \\(A\\times A\\) is \\(n(A)\\times n(A)=2\\times2=4\\). The pairs are \\( (1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\\). Hence, 4 is correct. Exam tip: If \\(n(A)=n\\), then \\(n(A\\times A)=n^2\\).
पहचान संबंध में समुच्चय का प्रत्येक तत्व केवल स्वयं से संबंधित होता है। यहाँ 1 केवल 1 से और 2 केवल 2 से संबंधित है, इसलिए R = {(1,1), (2,2)} पहचान संबंध है। यह सार्वत्रिक संबंध नहीं है, क्योंकि उसमें A के सभी क्रमित युग्म—(1,1), (1,2), (2,1) और (2,2)—होने चाहिए। परीक्षा-युक्ति: A पर पहचान संबंध को सामान्यतः {(a,a) : a ∈ A} के रूप में लिखा जाता है। / In an identity relation, every element of the set is related only to itself. Here, 1 is related only to 1 and 2 only to 2, so R = {(1,1), (2,2)} is the identity relation. It is not a universal relation, because a universal relation on A must contain all ordered pairs: (1,1), (1,2), (2,1), and (2,2). Exam tip: The identity relation on A is generally written as {(a,a) : a ∈ A}.
दिए गए संबंध में ( (2,2) ) साफ लिखा है। MCQ में सीधे दिए गए pair को ध्यान से मिलाएं। / The pair ( (2,2) ) is clearly present in the given relation. In MCQs, match the listed pair carefully.
समुच्चय \\(R\\) के प्रत्येक अवयव एक क्रमित युग्म है। \\(R\\) में \\( (1,2) \\) और \\( (2,3) \\) दोनों के प्रथम तथा द्वितीय घटक \\(A\\) में हैं, इसलिए दोनों युग्म \\(A\\times A\\) में शामिल हैं। अतः \\(R\\subseteq A\\times A\\)। विकल्प A गलत है, क्योंकि \\(R\\) के अवयव स्वयं संख्याएँ नहीं, बल्कि क्रमित युग्म हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी समुच्चय \\(A\\) पर परिभाषित प्रत्येक relation, \\(A\\times A\\) का उपसमुच्चय होता है। / Every element of \\(R\\) is an ordered pair. In both \\( (1,2) \\) and \\( (2,3) \\), the first and second components belong to \\(A\\), so both pairs belong to \\(A\\times A\\). Therefore, \\(R\\subseteq A\\times A\\). Option A is incorrect because the elements of \\(R\\) are ordered pairs, not individual numbers from \\(A\\). Exam tip: Any relation defined on a set \\(A\\) is a subset of \\(A\\times A\\).
\(A\times A\) में \(3^2=9\) pairs हैं और उसके \(2^9\) उपसमुच्चय होंगे। संबंधों की संख्या \(2^{n(A)^2}\) होती है। / There are \(3^2=9\) pairs in \(A\times A\), so it has \(2^9\) subsets. The number of relations is \(2^{n(A)^2}\).
(n\(A\times B\)=2\cdot3=6), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^6\) है। पहले \(A\times B\) के pairs गिनें। / Here (n\(A\times B\)=2\cdot3=6), so the number of relations is \(2^6\). Count the pairs in \(A\times B\) first.
B. \(R=\{(x,y)\in\{1,2,3\}\times\{2,4,6\}:y=2x\}\)
Explanation
Simple Explanation
दिए गए प्रत्येक क्रमित युग्म में दूसरा घटक पहले घटक का 2 गुना है: \(2=2(1)\), \(4=2(2)\) और \(6=2(3)\)। इसलिए शर्त \(y=2x\) होगी और \(x\) के मान \(\{1,2,3\}\) तक सीमित रहेंगे। विकल्प A में \(y=x\) है, जबकि विकल्प D केवल कुछ मानों पर सही संबंध दिखाता है, पूरे दिए गए संबंध पर नहीं। परीक्षा-युक्ति: set-builder रूप में नियम के साथ domain या संबंधित Cartesian product अवश्य जाँचें। / In every ordered pair, the second component is twice the first: \(2=2(1)\), \(4=2(2)\), and \(6=2(3)\). Hence the condition is \(y=2x\), with \(x\) restricted to \(\{1,2,3\}\). Option A uses \(y=x\), while option D does not reproduce all the given ordered pairs. Exam tip: in a restricted set-builder form, check both the rule and the stated domain or Cartesian product.
दिए गए संबंध में \(a-b=0\) है। दोनों पक्षों में \(b\) जोड़ने पर \(a=b\) प्राप्त होता है, इसलिए \(R\) में वे सभी क्रमित युग्म \((a,a)\) होंगे जिनके दोनों घटक समान हैं। विकल्प A और B असमानता दर्शाते हैं, जबकि विकल्प D के लिए \(a+b=0\) होना चाहिए। परीक्षा में ऐसे प्रश्नों में पहले दी गई शर्त को सरल करके युग्मों का प्रकार पहचानें। / The relation is defined by \(a-b=0\). Adding \(b\) to both sides gives \(a=b\), so every ordered pair in \(R\) has equal components and is of the form \((a,a)\). Options A and B describe inequalities, while option D would require \(a+b=0\). In the exam, simplify the defining condition first to identify the form of the ordered pairs.
संबंध \(R\) में वही क्रमित युग्म \((a,b)\) शामिल हैं जिनके लिए \(a<b\) हो। यहाँ पहले घटक 2 और दूसरे घटक 4 हैं, तथा \(2<4\) सत्य है; इसलिए \((2,4)\in R\)। विकल्प B गलत है क्योंकि युग्म संबंध में शामिल है, जबकि विकल्प C में क्रम उलटने पर \(4<2\) असत्य हो जाता है। परीक्षा-युक्ति: क्रमित युग्म में घटकों का क्रम बदलने पर संबंध की जाँच फिर से करें। / Relation \(R\) contains an ordered pair \((a,b)\) only when \(a<b\). For \((2,4)\), the condition becomes \(2<4\), which is true; therefore, \((2,4)\in R\). Option B is incorrect because the pair does satisfy the condition, and option C is incorrect because reversing the pair would require \(4<2\), which is false. Exam tip: In an ordered pair, changing the order of the elements can change whether the pair belongs to the relation.
(1+3=4), इसलिए ( (1,3) ) relation में है। जो pair condition पूरी करे वही सही होता है। / Here (1+3=4), so ( (1,3) ) belongs to the relation. The pair satisfying the condition is correct.
किसी संबंध \(R\) के \(A\) पर परावर्ती होने के लिए प्रत्येक \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) होना आवश्यक है। यहाँ \((1,1)\), \((2,2)\) और \((3,3)\)—तीनों आवश्यक विकर्ण युग्म—\(R\) में उपस्थित हैं। इसलिए \(R\), \(A\) पर परावर्ती है। विकल्प B गलत है क्योंकि कोई भी आवश्यक युग्म छूटा नहीं है। परीक्षा-युक्ति: परावर्तिता जाँचने के लिए समुच्चय के प्रत्येक तत्व का स्वयं के साथ बना युग्म अवश्य देखें। / A relation \(R\) on \(A\) is reflexive if \((a,a)\in R\) for every \(a\in A\). Here, all three required diagonal pairs—\((1,1)\), \((2,2)\), and \((3,3)\)—are present in \(R\). Therefore, \(R\) is reflexive on \(A\). Option B is incorrect because no required pair is missing. Exam tip: To test reflexivity, check whether every element of the set is related to itself.
C. क्योंकि ( (3,3) ) नहीं है/because ( (3,3) ) is absent
Explanation
Simple Explanation
Reflexive होने के लिए ( (3,3) ) भी होना चाहिए। एक diagonal pair missing हो तो relation reflexive नहीं होता। / For reflexive relation, ( (3,3) ) must also be present. If one diagonal pair is missing, the relation is not reflexive.
A. ( (1,2) ) के साथ ( (2,1) ) भी है/( (2,1) ) is present with ( (1,2) )
Explanation
Simple Explanation
Symmetric में \((a,b)\in R\) हो तो \((b,a)\in R\) भी चाहिए। यहाँ ( (1,2) ) और ( (2,1) ) दोनों हैं। / In symmetric relation, if \((a,b)\in R\), then \((b,a)\in R\) must also be present. Here both ( (1,2) ) and ( (2,1) ) are present.
\((1,2)\in R\) है लेकिन उल्टा pair ( (2,1) ) नहीं है। Symmetric के लिए reverse pair जरूरी है। / Here \((1,2)\in R\), but the reverse pair ( (2,1) ) is absent. A reverse pair is necessary for symmetry.
A. ( (1,2) ) और ( (2,3) ) से ( (1,3) ) है/( (1,2) ) and ( (2,3) ) give ( (1,3) )
Explanation
Simple Explanation
Transitive में ( (a,b) ) और ( (b,c) ) हों तो ( (a,c) ) चाहिए। यहाँ ( (1,3) ) मौजूद है। / In transitive relation, if ( (a,b) ) and ( (b,c) ) are present, then ( (a,c) ) is needed. Here ( (1,3) ) is present.
( (1,2) ) और ( (2,3) ) से ( (1,3) ) जरूरी है। उसके बिना relation transitive नहीं है। / From ( (1,2) ) and ( (2,3) ), ( (1,3) ) is required. Without it, the relation is not transitive.
कार्तीय गुणनफल 8A\times A9 में ऐसे सभी क्रमित युग्म शामिल होते हैं जिनके दोनों घटक 8A9 में हों। यहाँ 8A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}9 है, इसलिए 8(2,1)9 सही है। अन्य विकल्पों में 3 है, जो 8A9 का सदस्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: 8A\times A9 में प्रत्येक स्थान पर केवल 8A9 के तत्व रखे जा सकते हैं। / The Cartesian product 8A\times A9 contains all ordered pairs whose two components belong to 8A9. Here, 8A\times A=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)\}9, so 8(2,1)9 is correct. Every other option contains 3, which is not an element of 8A9. Exam tip: In 8A\times A9, both positions must be filled only with elements of 8A9.
दिए गए (R) में तीन ordered pairs लिखे हैं। गिनती करते समय repeated elements नहीं बल्कि pairs गिनें। / There are three ordered pairs listed in (R). While counting, count pairs and not repeated elements.
संबंध \(R\) में वही क्रमित युग्म शामिल हैं जिनके दोनों घटकों का योग सम हो। यहाँ \(1+3=4\), और \(4\) सम संख्या है; इसलिए \((1,3)\in R\)। विकल्प B गलत है क्योंकि योग विषम नहीं है। परीक्षा में पहले दिए गए मानों को संबंध की शर्त में रखकर जाँच करें। / The relation \(R\) contains ordered pairs whose two components have an even sum. Here, \(1+3=4\), and 4 is even; therefore, \((1,3)\in R\). Option B is incorrect because the sum is not odd. In an exam, substitute the given values into the defining condition first.
\((x,y)\in R\) होने के लिए \(x\), \(y\) को पूर्णतः विभाजित करना चाहिए। यहाँ \(2\mid 6\), क्योंकि \(6\div 2=3\) और शेषफल 0 है। इसलिए \((2,6)\) सही है। \((2,5)\) और \((3,8)\) में भाग देने पर शेषफल बचता है, जबकि \((5,2)\) में क्रम उल्टा है। परीक्षा-युक्ति: \(x\mid y\) का अर्थ है कि \(y/x\) एक पूर्णांक हो। / For \((x,y)\) to belong to \(R\), \(x\) must divide \(y\) exactly. Here, \(2\mid 6\) because \(6\div 2=3\) with remainder 0, so \((2,6)\) is correct. In \((2,5)\) and \((3,8)\), a remainder is left, while \((5,2)\) reverses the required order. Exam tip: \(x\mid y\) means that \(y/x\) is an integer.
(a=b) होने पर pairs ( (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) ) हैं। पहचान relation में pairs की संख्या (n(A)) होती है। / When (a=b), the pairs are ( (1,1),(2,2),(3,3),(4,4) ). In identity relation, the number of pairs is (n(A)).
(1>3) असत्य है, इसलिए \((1,3)\notin R\)। inequality relation में ordered pair का क्रम न बदलें। / The statement (1>3) is false, so \((1,3)\notin R\). Do not change the order in an inequality relation.
( (2,3) ) का reverse pair ( (3,2) ) होता है। Symmetry questions में उल्टा ordered pair देखें। / The reverse pair of ( (2,3) ) is ( (3,2) ). In symmetry questions, check the reversed ordered pair.
Reflexive relation में हर तत्व का diagonal pair होना चाहिए। \(A=\{1,2\}\) के लिए ( (1,1) ) और ( (2,2) ) अनिवार्य हैं। / A reflexive relation must contain the diagonal pair of every element. For \(A=\{1,2\}\), ( (1,1) ) and ( (2,2) ) are compulsory.
A के प्रत्येक अवयव के लिए आवश्यक क्रमित युग्म (1,1), (2,2) और (3,3) R में उपस्थित हैं। इसलिए R परावर्ती है। अतिरिक्त युग्म (1,2) और (2,1) परावर्तिता को प्रभावित नहीं करते। विकल्प C गलत है, क्योंकि R केवल सममित नहीं बल्कि सममित और परावर्ती दोनों है। परीक्षा-युक्ति: परावर्ती सम्बन्ध जाँचने के लिए केवल (a,a) प्रकार के सभी युग्म देखें। / For every element of A, the required ordered pair (a,a) is present in R: (1,1), (2,2), and (3,3). Hence, R is reflexive. The additional pairs (1,2) and (2,1) do not affect reflexivity. Option C is incorrect because R is not only symmetric; it is both symmetric and reflexive. Exam tip: To test reflexivity, check whether every pair of the form (a,a) belongs to the relation.
\((2,3)\in R\) है लेकिन \((3,2)\notin R\) है। एक reverse pair missing होने से symmetry टूट जाती है। / Here \((2,3)\in R\), but \((3,2)\notin R\). One missing reverse pair breaks symmetry.
( (a,b)=(1,2) ) और ( (b,c)=(2,2) ) से ( (a,c)=(1,2) ) चाहिए। यह pair पहले से मौजूद है। / From ( (a,b)=(1,2) ) and ( (b,c)=(2,2) ), we need ( (a,c)=(1,2) ). This pair is already present.
(3=2+1), इसलिए ( (2,3) ) condition पूरी करता है। पहले और दूसरे घटक को सही क्रम में रखें। / Since (3=2+1), ( (2,3) ) satisfies the condition. Keep the first and second components in the correct order.
दिए गए set से pairs ( (2,3) ) और ( (3,2) ) बनते हैं। ordered pairs में ( (2,3) ) और ( (3,2) ) अलग होते हैं। / The pairs from the given set are ( (2,3) ) and ( (3,2) ). In ordered pairs, ( (2,3) ) and ( (3,2) ) are different.
\(4\le2\) असत्य है, इसलिए \((4,2)\notin R\)। inequality में direction ध्यान से देखें। / The statement \(4\le2\) is false, so \((4,2)\notin R\). Watch the direction of the inequality carefully.
(2=1+1), इसलिए ( (2,1) ) relation में है। condition में (x) और (y) की जगह सही घटक रखें। / Since (2=1+1), ( (2,1) ) belongs to the relation. Substitute the correct components for (x) and (y).
पहचान संबंध में केवल ( (a,a) ) प्रकार के pairs होते हैं। हर element को अपने साथ pair करें। / The identity relation contains only pairs of the form ( (a,a) ). Pair each element with itself.
खाली relation में symmetry तोड़ने वाला कोई pair नहीं है। इसलिए empty relation symmetric माना जाता है। / In an empty relation, there is no pair that can break symmetry. Hence the empty relation is considered symmetric.
Reflexive के लिए ( (1,1) ) और ( (2,2) ) चाहिए। Empty relation में ये pairs नहीं हैं। / For reflexive relation, ( (1,1) ) and ( (2,2) ) are needed. These pairs are absent in the empty relation.
\(A\times A\) में ( (1,1) ) और ( (2,2) ) दोनों शामिल हैं। Universal relation हमेशा reflexive होता है। / The set \(A\times A\) includes both ( (1,1) ) and ( (2,2) ). A universal relation is always reflexive.
\(A\times A\) में हर pair के साथ उसका reverse pair भी होता है। इसलिए universal relation symmetric है। / In \(A\times A\), every pair has its reverse pair too. Hence the universal relation is symmetric.
\(A\times A\) में सभी possible pairs होते हैं, इसलिए transitive condition पूरी होती है। Universal relation transitive भी होता है। / The set \(A\times A\) contains all possible pairs, so the transitive condition is satisfied. The universal relation is also transitive.
A. हर pair अपना reverse खुद है/each pair is its own reverse
Explanation
Simple Explanation
Diagonal pair ( (a,a) ) का reverse भी ( (a,a) ) ही होता है। इसलिए केवल diagonal pairs वाला relation symmetric है। / The reverse of a diagonal pair ( (a,a) ) is the same pair ( (a,a) ). Hence a relation with only diagonal pairs is symmetric.
(3) संख्या (4) से एक कम है, इसलिए ( (3,4) ) सही है। शब्दों वाली condition को equation में बदलें। / The number (3) is one less than (4), so ( (3,4) ) is correct. Convert word conditions into equations.
(3) और (5) दोनों विषम हैं, इसलिए same parity है। parity relation में सम-सम या विषम-विषम pair सही होता है। / Both (3) and (5) are odd, so they have the same parity. In a parity relation, even-even or odd-odd pairs are correct.
(1+3=4) सम है, इसलिए ( (1,3) ) odd-sum relation में नहीं है। sum की parity जरूर जांचें। / Since (1+3=4) is even, ( (1,3) ) is not in the odd-sum relation. Always check the parity of the sum.
समुच्चय �\(A\times A\)� के सभी क्रमित युग्म हैं: �(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)�। दिए गए संबंध �(R)� में ये चारों युग्म उपस्थित हैं, इसलिए �\(R=A\times A\)� और यह सार्वत्रिक संबंध है। पहचान संबंध में केवल �(1,1)� और �(2,2)� होते हैं। परीक्षा-युक्ति: यदि संबंध में �\(A\times A\)� का प्रत्येक युग्म हो, तो वह सार्वत्रिक संबंध होता है। / The Cartesian product �\(A\times A\)� contains the four ordered pairs �(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)�. Since all of them are present in �(R)�, we have �\(R=A\times A\)�, so the relation is universal. An identity relation would contain only �(1,1)� and �(2,2)�. Exam tip: A relation containing every ordered pair of �\(A\times A\)� is the universal relation.
सभी diagonal pairs ( (1,1),(2,2),(3,3) ) मौजूद हैं। Extra pair ( (1,3) ) reflexive होने से नहीं रोकता। / All diagonal pairs ( (1,1),(2,2),(3,3) ) are present. The extra pair ( (1,3) ) does not stop reflexivity.
( (1,2) ) के साथ ( (2,1) ) है और ( (3,3) ) अपना reverse खुद है। इसलिए relation symmetric है। / The pair ( (2,1) ) is present with ( (1,2) ), and ( (3,3) ) is its own reverse. Hence the relation is symmetric.
Transitive rule के अनुसार ( (1,2) ) और ( (2,3) ) से ( (1,3) ) चाहिए। यह pair relation में मौजूद है। / By the transitive rule, ( (1,2) ) and ( (2,3) ) require ( (1,3) ). This pair is present in the relation.
किसी क्रमित युग्म (a, b) के R में होने के लिए a + b = 6 होना आवश्यक है। (2, 4) के लिए 2 + 4 = 6, इसलिए यह R में है। अन्य विकल्पों में योग 5 है, इसलिए वे R में नहीं हैं। परीक्षा-टिप: क्रमित युग्म में दोनों अवयवों का योग दी गई शर्त के बराबर होना चाहिए। / For an ordered pair (a, b) to belong to R, it must satisfy a + b = 6. For (2, 4), 2 + 4 = 6, so it belongs to R. Each of the other options has a sum of 5 and therefore does not belong to R. Exam tip: Check the defining condition of the relation using both entries of the ordered pair.
( (2,2) ) में दोनों घटक बराबर हैं, इसलिए \(a\ne b\) पूरी नहीं होती। Not equal relation में diagonal pairs नहीं आते। / In ( (2,2) ), both components are equal, so \(a\ne b\) is not satisfied. Diagonal pairs do not appear in a not-equal relation.
