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संबंध (A) से (B) तक हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। परीक्षा में पहले कार्तीय गुणनफल पहचानें। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). In exams, identify the Cartesian product first.
परिभाषा क्षेत्र में ordered pairs के पहले घटक लिए जाते हैं। इसलिए (R) का परिभाषा क्षेत्र ( {1,2,3} ) है। / The domain contains the first components of the ordered pairs. Hence the domain of (R) is ( {1,2,3} ).
पहचान संबंध में प्रत्येक तत्व अपने साथ जुड़ता है। इसलिए केवल ( (5,5) ) और ( (7,7) ) आएंगे। / In the identity relation, each element is related to itself. So only ( (5,5) ) and ( (7,7) ) appear.
परिसर में ordered pairs के दूसरे घटक लिए जाते हैं। इसलिए (R) का परिसर ( {5,7,9} ) है। / The range contains the second components of the ordered pairs. Hence the range of (R) is ( {5,7,9} ).
सार्वत्रिक संबंध \(A\times A\) होता है और (n\(A\times A\)=32=9)। universal relation में सभी possible pairs शामिल होते हैं। / The universal relation is \(A\times A\), and (n\(A\times A\)=32=9). A universal relation contains all possible pairs.
दोनों ordered pairs के घटक (A) से लिए गए हैं। इसलिए \(R\subseteq A\times A\) है। / Both components of the ordered pairs are taken from (A). Hence \(R\subseteq A\times A\).
क्योंकि (3+4=7), इसलिए \((3,4)\in R\) है। ऐसे प्रश्नों में pair को condition में रखकर जांचें। / Since (3+4=7), \((3,4)\in R\). In such questions, test the pair in the condition.
दिए गए set से ( (3,4) ) और ( (4,3) ) बनते हैं। ordered pair में क्रम बदलने से pair बदल जाता है। / From the given set, ( (3,4) ) and ( (4,3) ) are formed. In ordered pairs, changing the order changes the pair.
हर pair में दूसरा घटक पहले घटक का वर्ग है। इसलिए नियम \(y=x^2\) है। / In every pair, the second component is the square of the first component. Therefore, the rule is \(y=x^2\).
(5=2+3), इसलिए ( (2,5) ) condition पूरी करता है। (x) और (y) की जगह सही घटक रखें। / Since (5=2+3), ( (2,5) ) satisfies the condition. Substitute the correct components for (x) and (y).
(3<1) असत्य है, इसलिए \((3,1)\notin R\)। inequality relation में order बहुत महत्वपूर्ण है। / The statement (3<1) is false, so \((3,1)\notin R\). Order is very important in an inequality relation.
क्योंकि \(5\ge3\), इसलिए \((5,3)\in R\) है। पहले घटक को inequality के बाएं भाग में रखें। / Since \(5\ge3\), \((5,3)\in R\). Put the first component on the left side of the inequality.
(2) संख्या (4) को divide करती है। divisibility relation में ( (2,4) ) और ( (4,2) ) समान नहीं होते। / The number (2) divides (4). In a divisibility relation, ( (2,4) ) and ( (4,2) ) are not the same.
\(A\times A\) में \(3^2=9\) pairs होते हैं और उनके \(2^9\) subsets बनते हैं। संबंधों की संख्या \(2^{n(A)^2}\) होती है। / There are \(3^2=9\) pairs in \(A\times A\), and they form \(2^9\) subsets. The number of relations is \(2^{n(A)^2}\).
(n\(A\times B\)=2\cdot4=8), इसलिए संबंधों की संख्या \(2^8\) है। पहले (n\(A\times B\)) निकालें। / Here (n\(A\times B\)=2\cdot4=8), so the number of relations is \(2^8\). Find (n\(A\times B\)) first.
B. क्योंकि ( (4,4) ) नहीं है/because ( (4,4) ) is absent
Explanation
Simple Explanation
स्वपरावर्ती होने के लिए हर \(a\in A\) के लिए \((a,a)\in R\) चाहिए। यहाँ ( (4,4) ) missing है। / For reflexivity, \((a,a)\in R\) is needed for every \(a\in A\). Here ( (4,4) ) is missing.
( (x,x) ) और ( (y,y) ) दोनों मौजूद हैं। extra pair ( (x,y) ) reflexive property को नहीं रोकता। / Both ( (x,x) ) and ( (y,y) ) are present. The extra pair ( (x,y) ) does not stop reflexivity.
( (1,4) ) के साथ ( (4,1) ) है और ( (2,2) ) अपना reverse खुद है। इसलिए (R) symmetric है। / The pair ( (4,1) ) is present with ( (1,4) ), and ( (2,2) ) is its own reverse. Hence (R) is symmetric.
\((3,4)\in R\) है लेकिन \((4,3)\notin R\) है। एक reverse pair missing होने से relation symmetric नहीं होता। / Here \((3,4)\in R\), but \((4,3)\notin R\). One missing reverse pair makes the relation non-symmetric.
( (1,2) ) और ( (2,4) ) से ( (1,4) ) जरूरी है। यह pair मौजूद है इसलिए यह chain पूरी है। / From ( (1,2) ) and ( (2,4) ), ( (1,4) ) is required. This pair is present, so this chain is complete.
( (1,3) ) और ( (3,5) ) होने पर ( (1,5) ) चाहिए। इसके बिना transitive property पूरी नहीं होती। / When ( (1,3) ) and ( (3,5) ) are present, ( (1,5) ) is needed. Without it, transitivity is not satisfied.
स्वपरावर्ती के लिए ( (1,1),(2,2),(3,3) ) चाहिए। empty relation में ये pairs नहीं हैं। / For reflexivity, ( (1,1),(2,2),(3,3) ) are needed. These pairs are not present in the empty relation.
\(A\times A\) के सभी pairs लेने पर universal relation बनता है। इसे complete relation भी समझ सकते हैं। / Taking all pairs of \(A\times A\) gives the universal relation. You can think of it as a complete relation.
( (1,3) ) में दोनों घटक बराबर नहीं हैं। (a=b) relation में केवल diagonal pairs आते हैं। / In ( (1,3) ), the two components are not equal. A relation (a=b) contains only diagonal pairs.
\(A\times A\) में (16) pairs हैं और (4) diagonal pairs हटेंगे। इसलिए (16-4=12) pairs बचेंगे। / There are (16) pairs in \(A\times A\), and (4) diagonal pairs are removed. So (16-4=12) pairs remain.
(4+8=12) सम है, इसलिए यह odd-sum relation में नहीं आएगा। विषम योग के लिए एक संख्या सम और दूसरी विषम होनी चाहिए। / Since (4+8=12) is even, it will not belong to the odd-sum relation. For an odd sum, one number should be even and the other odd.
(4=2+2), इसलिए ( (2,4) ) relation में है। ordered pair का क्रम बदलने से उत्तर बदल सकता है। / Since (4=2+2), ( (2,4) ) belongs to the relation. Changing the order of an ordered pair can change the answer.
(5), (3) से (2) अधिक है, इसलिए ( (5,3) ) सही है। शब्दों वाली condition को equation में बदलें। / The number (5) is (2) more than (3), so ( (5,3) ) is correct. Convert the word condition into an equation.
\(4=2\cdot2\), इसलिए \((2,4)\in R\) है। गुणा वाले rule में second component ध्यान से देखें। / Since \(4=2\cdot2\), \((2,4)\in R\). In multiplication rules, check the second component carefully.
\(2\cdot3=6\), इसलिए ( (2,3) ) relation में है। product condition में दोनों घटकों का गुणनफल देखें। / Since \(2\cdot3=6\), ( (2,3) ) belongs to the relation. In a product condition, check the product of both components.
इस condition से ( (2,3) ) और ( (3,2) ) मिलते हैं। ordered pairs में दोनों अलग माने जाते हैं। / This condition gives ( (2,3) ) and ( (3,2) ). In ordered pairs, these two are considered different.
(5-3=2), इसलिए \((5,3)\in R\) है। subtraction relation में order बदलने से value बदल जाती है। / Since (5-3=2), \((5,3)\in R\). In a subtraction relation, changing the order changes the value.
(|5-4|=1), इसलिए ( (5,4) ) relation में है। absolute value में difference का sign मायने नहीं रखता। / Since (|5-4|=1), ( (5,4) ) belongs to the relation. In absolute value, the sign of the difference does not matter.
( (1,2) ) और ( (2,3) ) होने पर ( (1,3) ) चाहिए। यह pair missing है। / When ( (1,2) ) and ( (2,3) ) are present, ( (1,3) ) is required. This pair is missing.
इसमें (A) के सभी diagonal pairs मौजूद हैं। इसलिए (R) reflexive जरूर है। / It contains all diagonal pairs of (A). Therefore, (R) is definitely reflexive.
B. स्वपरावर्ती, सममित और संक्रामक/reflexive, symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
identity relation सभी diagonal pairs रखता है और reverse भी वही pair होता है। यह transitive भी होता है। / The identity relation contains all diagonal pairs, and each reverse is the same pair. It is also transitive.
A. स्वपरावर्ती, सममित और संक्रामक/reflexive, symmetric and transitive
Explanation
Simple Explanation
universal relation में सभी possible pairs होते हैं। इसलिए reflexive, symmetric और transitive तीनों conditions पूरी होती हैं। / A universal relation contains all possible pairs. Hence reflexive, symmetric, and transitive conditions are all satisfied.
C. ( (1,1) ) और ( (2,2) ) missing हैं/( (1,1) ) and ( (2,2) ) are missing
Explanation
Simple Explanation
Reflexive relation में सभी diagonal pairs चाहिए। यहाँ ( (1,1) ) और ( (2,2) ) नहीं हैं। / A reflexive relation needs all diagonal pairs. Here ( (1,1) ) and ( (2,2) ) are absent.
ये exactly \({1,2}\times{1,2}\) के सभी pairs हैं। इसलिए base set \(A=\{1,2\}\) है। / These are exactly all pairs of \({1,2}\times{1,2}\). So the base set is \(A=\{1,2\}\).
(1) और (3) दोनों विषम हैं, इसलिए same parity है। parity relation में सम-सम या विषम-विषम pair सही होता है। / Both (1) and (3) are odd, so they have the same parity. In a parity relation, even-even or odd-odd pairs are correct.
(5), (6) का factor नहीं है। factor relation में पहला घटक दूसरे को divide करना चाहिए। / The number (5) is not a factor of (6). In a factor relation, the first component should divide the second.
(6), (3) का multiple है, इसलिए \((6,3)\in R\) है। multiple और factor relations में order याद रखें। / The number (6) is a multiple of (3), so \((6,3)\in R\). Remember the order in multiple and factor relations.
योग (2) देने वाले pairs ( (0,2),(1,1),(2,0) ) हैं। ordered pairs में सभी संभव क्रम देखें। / The pairs giving sum (2) are ( (0,2),(1,1),(2,0) ). Check all possible orders in ordered pairs.
पहला घटक (1) fixed है और दूसरा घटक (A) के (4) मान ले सकता है। इसलिए (4) pairs होंगे। / The first component is fixed as (1), and the second component can take (4) values from (A). Hence there will be (4) pairs.
दूसरा घटक (5) fixed है और पहला घटक (A) के (5) मान ले सकता है। इसलिए (5) pairs होंगे। / The second component is fixed as (5), and the first component can take (5) values from (A). Hence there will be (5) pairs.
Transitive rule में ( (a,b) ) और ( (b,c) ) से ( (a,c) ) चाहिए। यहाँ जरूरी pair ( (2,4) ) है। / In the transitive rule, ( (a,b) ) and ( (b,c) ) require ( (a,c) ). Here the needed pair is ( (2,4) ).
