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A. (A) के हर तत्व का (B) में ठीक एक प्रतिबिंब हो/Each element of (A) has exactly one image in (B)
Explanation
Simple Explanation
फलन में (A) के प्रत्येक तत्व से (B) का ठीक एक तत्व जुड़ता है। परीक्षा में ठीक एक शब्द पर ध्यान दें। / In a function each element of (A) is related to exactly one element of (B). In exams focus on the phrase exactly one.
यहां (1) और (2) दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। फलन जांचते समय पहले अवयवों को देखें। / Here both (1) and (2) have exactly one image. To test a function check the first components.
A. क्योंकि (1) के दो प्रतिबिंब हैं/Because (1) has two images
Explanation
Simple Explanation
एक ही प्रथम अवयव (1) दो अलग द्वितीय अवयवों से जुड़ा है। ऐसी स्थिति फलन नहीं बनाती। / The same first component (1) is related to two different second components. Such a relation is not a function.
(a), (b), और (c) में से हर एक का ठीक एक प्रतिबिंब है। दो अलग तत्वों का समान प्रतिबिंब होना फलन में मान्य है। / Each of (a), (b), and (c) has exactly one image. Two different elements may have the same image in a function.
A. प्रत्येक इनपुट का ठीक एक आउटपुट होता है/Every input has exactly one output
Explanation
Simple Explanation
फलन में इनपुट को एक ही आउटपुट मिलना जरूरी है। आउटपुट अलग हों यह जरूरी नहीं। / A function requires each input to have one output. The outputs need not be distinct.
\(f:A\to B\) में (A) फलन का प्रांत होता है। संकेत \(f:A\to B\) को ध्यान से पढ़ें। / In \(f:A\to B\), (A) is the domain of the function. Read the notation \(f:A\to B\) carefully.
\(f:A\to B\) में (B) सहप्रांत कहलाता है। परिसर सहप्रांत का उपसमुच्चय हो सकता है। / In \(f:A\to B\), (B) is called the codomain. The range may be a subset of the codomain.
परिसर में केवल प्राप्त मान आते हैं इसलिए (5) और (6) हैं। दोहराए गए मान को एक बार लिखते हैं। / The range contains only the obtained values, so it is (5) and (6). A repeated value is written once.
क्रमित युग्मों के प्रथम अवयव प्रांत बनाते हैं। इसलिए प्रांत ({2,3,4}) है। / The first components of ordered pairs form the domain. Hence the domain is ({2,3,4}).
(x=2) रखने पर (f(2)=2+2=4) मिलता है। फलन मान में दिए गए इनपुट को सावधानी से रखें। / Putting (x=2), we get (f(2)=2+2=4). Substitute the given input carefully.
A. प्रत्येक प्रांत तत्व से केवल एक तीर निकले/Only one arrow leaves each domain element
Explanation
Simple Explanation
फलन में हर प्रांत तत्व से ठीक एक तीर निकलना चाहिए। सहप्रांत के हर तत्व पर तीर आना आवश्यक नहीं। / In a function exactly one arrow must leave every domain element. It is not necessary that every codomain element receives an arrow.
हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब है। समान प्रतिबिंब होना गलती नहीं है। / Every domain element has exactly one image. Having the same image is not an error.
A. हर फलन एक संबंध है/Every function is a relation
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध का विशेष प्रकार है। हर संबंध फलन नहीं होता क्योंकि शर्तें अतिरिक्त हैं। / A function is a special type of relation. Every relation is not a function because extra conditions are required.
युग्म ((1,2)) से (1) का प्रतिबिंब (2) है। (f(x)) में प्रथम अवयव इनपुट होता है। / From the pair ((1,2)), the image of (1) is (2). In (f(x)), the first component is the input.
((0,1)) दिखाता है कि (0) का प्रतिबिंब (1) है। युग्म की दिशा बदलकर उत्तर न निकालें। / ((0,1)) shows that the image of (0) is (1). Do not reverse the ordered pair while answering.
पहले विकल्प में (1) के दो अलग प्रतिबिंब (5) और (6) हैं। इसलिए यह फलन नहीं है। / In the first option, (1) has two different images (5) and (6). Hence it is not a function.
(2) और (4) दोनों का ठीक एक प्रतिबिंब है। बाकी विकल्पों में कोई इनपुट छूटा है या दो बार आया है। / Both (2) and (4) have exactly one image. In the other options an input is missing or repeated with different images.
A. सहप्रांत के एक ही निश्चित तत्व से/The same fixed element of the codomain
Explanation
Simple Explanation
स्थिर फलन में प्रत्येक इनपुट का मान समान रहता है। यह भी वैध फलन है। / In a constant function every input has the same value. It is still a valid function.
हर इनपुट पर फलन का मान (7) है इसलिए यह स्थिर फलन है। स्थिर फलन में सभी प्रतिबिंब समान होते हैं। / The function value is (7) for every input, so it is a constant function. In a constant function all images are the same.
तत्समक फलन में हर तत्व स्वयं से जुड़ता है। इसलिए सभी युग्म ((x,x)) रूप में हैं। / In the identity function each element maps to itself. Therefore all pairs are of the form ((x,x)).
A. क्रमित युग्म ((x,f(x)))/Ordered pairs ((x,f(x)))
Explanation
Simple Explanation
फलन का ग्राफ सभी ((x,f(x))) युग्मों से बनता है। इसमें पहला अवयव इनपुट और दूसरा आउटपुट होता है। / The graph of a function is made of all pairs ((x,f(x))). The first component is input and the second is output.
\(1^2=1\), \(2^2=4\), और \(3^2=9\) हैं। इसलिए सही युग्म (\(x,x^2\)) हैं। / Since \(1^2=1\), \(2^2=4\), and \(3^2=9\), the correct pairs are (\(x,x^2\)).
(2,3,4) पर नियम लगाने से (1,2,3) मिलते हैं। प्राप्त मानों का समुच्चय (f(A)) है। / Applying the rule to (2,3,4) gives (1,2,3). The set of obtained values is (f(A)).
एक ही इनपुट (2) दो आउटपुट (5) और (6) से जुड़ा है। यह फलन की शर्त तोड़ता है। / The same input (2) is related to two outputs (5) and (6). This breaks the condition of a function.
(A) से (B) में संबंध हमेशा \(A\times B\) का उपसमुच्चय होता है। फलन उसी संबंध का विशेष रूप है। / A relation from (A) to (B) is always a subset of \(A\times B\). A function is a special form of such a relation.
फलन में प्रांत (A) के हर तत्व के लिए एक युग्म होता है। इसलिए युग्मों की संख्या (|A|=2) है। / A function has one ordered pair for each element of the domain (A). Hence the number of pairs is (|A|=2).
फलन में प्रत्येक प्रांत तत्व के लिए ठीक एक युग्म होता है। इसलिए कुल युग्म (4) होंगे। / A function has exactly one pair for every domain element. Therefore there will be (4) pairs.
हर तत्व (p) और (q) के लिए (2) विकल्प हैं इसलिए कुल \(2^2=4\) फलन हैं। गिनती में \(|B|^{|A|}\) प्रयोग करें। / Each element (p) and (q) has (2) choices, so total functions are \(2^2=4\). Use \(|B|^{|A|}\) for counting.
(A) के प्रत्येक तत्व के लिए (B) में (2) विकल्प हैं। इसलिए संख्या \(|B|^{|A|}=2^3\) है। / Each element of (A) has (2) choices in (B). Therefore the number is \(|B|^{|A|}=2^3\).
सूत्र \(|B|^{|A|}\) लगाने पर \(3^2\) मिलता है। आधार सहप्रांत की संख्या होती है। / Using the formula \(|B|^{|A|}\), we get \(3^2\). The base is the number of elements in the codomain.
दो अलग इनपुट (1) और (2) एक ही आउटपुट (a) से जुड़ते हैं। फिर भी हर इनपुट का ठीक एक प्रतिबिंब है। / Two different inputs (1) and (2) map to the same output (a). Still each input has exactly one image.
A. एक इनपुट के दो अलग आउटपुट हो सकते हैं/One input can have two different outputs
Explanation
Simple Explanation
एक इनपुट के दो अलग आउटपुट फलन में स्वीकार नहीं होते। यही सबसे सामान्य गलती है। / One input cannot have two different outputs in a function. This is the most common mistake.
युग्म ((c,2)) से (c) का प्रतिबिंब (2) है। फलन मान के लिए संबंधित युग्म खोजें। / From the pair ((c,2)), the image of (c) is (2). Find the corresponding pair for the function value.
तीनों प्रांत तत्व (1,2,3) ठीक एक-एक बार आए हैं। यही फलन की मुख्य जांच है। / All three domain elements (1,2,3) appear exactly once. This is the main test for a function.
\(f:A\to B\) में हर फलन मान (B) में होता है। इसलिए \(f(x)\in B\) लिखा जा सकता है। / In \(f:A\to B\), every function value lies in (B). Hence we can write \(f(x)\in B\).
फलन में एक ही इनपुट के दो अलग आउटपुट नहीं हो सकते। इसलिए (b=c) होना चाहिए। / In a function the same input cannot have two different outputs. Therefore (b=c) must hold.
A. एक (x) के लिए केवल एक (f(x))/For one (x), only one (f(x))
Explanation
Simple Explanation
अद्वितीयता का अर्थ है कि एक इनपुट का केवल एक मान हो। यह फलन की मूल शर्त है। / Uniqueness means one input has only one value. This is the basic condition of a function.
हर प्रांत तत्व के लिए (B) में केवल (0) एक ही विकल्प है। इसलिए कुल फलन \(1^3=1\) है। / For each domain element, (B) has only one choice (0). Hence the total number of functions is \(1^3=1\).
रिक्त प्रांत से एक रिक्त फलन माना जाता है। गिनती से भी \(|B|^0=1\) मिलता है। / From an empty domain, one empty function is considered. Counting also gives \(|B|^0=1\).
एक प्रांत तत्व के लिए (B) में (3) विकल्प हैं। इसलिए कुल \(3^1=3\) फलन हैं। / One domain element has (3) choices in (B). Therefore the total number of functions is \(3^1=3\).
पहले विकल्प में (1) और (2) दोनों एक-एक बार प्रथम अवयव हैं। इसलिए यह फलन है। / In the first option, both (1) and (2) appear once as first components. Therefore it is a function.
A. क्योंकि इसमें हर प्रांत तत्व का ठीक एक प्रतिबिंब होता है/Because every domain element has exactly one image
Explanation
Simple Explanation
फलन संबंध है लेकिन उस पर ठीक एक प्रतिबिंब की अतिरिक्त शर्त लगती है। इसलिए इसे विशेष संबंध कहते हैं। / A function is a relation with the extra condition of exactly one image. Hence it is called a special relation.
