कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में समानता दिखाता है?
Which option shows a similarity between the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\)?
#sqrt3 sqrt5
#similarity
#prime rule
#class 10
A दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है / Both use the prime factor divisibility rule
B दोनों में केवल सम संख्या का नियम प्रयोग होता है / Both use only the even number rule
C दोनों में हर शून्य माना जाता है / In both, denominator is assumed zero
D दोनों में वर्गमूल को पूर्णांक मानते हैं / In both, the square root is assumed integer
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Correct Answer
A. दोनों में अभाज्य गुणनखंड का नियम प्रयोग होता है / Both use the prime factor divisibility rule
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में (3) और \(\sqrt{5}\) में (5) अभाज्य हैं। / In \(\sqrt{3}\), (3) is prime; in \(\sqrt{5}\), (5) is prime.
Step 2
Why this answer is correct
दोनों प्रमाणों में वर्ग से मूल संख्या पर विभाज्यता लाने का नियम उपयोग होता है। / Both proofs use divisibility from square to original number.
Step 3
Exam Tip
यही दोनों का मुख्य समान तर्क है। / This is their main common logic.
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एक छात्र \(\sqrt{2}\) के प्रमाण में लिखता है कि \(p^2\) सम है इसलिए (p) सम है। यह कदम क्यों सही है?
A student writes in the proof of \(\sqrt{2}\) that \(p^2\) is even so (p) is even. Why is this step correct?
#even square
#logical reasoning
#sqrt2
#class 10
A क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
B क्योंकि हर संख्या सम होती है / Because every number is even
C क्योंकि (p=q) है / Because (p=q)
D क्योंकि (q=0) है / Because (q=0)
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Correct Answer
A. क्योंकि विषम संख्या का वर्ग विषम होता है / Because the square of an odd number is odd
Step 1
Concept
यदि (p) विषम होता, तो \(p^2\) भी विषम होता। / If (p) were odd, then \(p^2\) would also be odd.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन \(p^2\) सम मिला है, इसलिए (p) विषम नहीं हो सकता। / But \(p^2\) is even, so (p) cannot be odd.
Step 3
Exam Tip
इस तरह (p) सम होना तय है। / Thus (p) must be even.
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यदि \(\sqrt{5}\) को परिमेय मानने पर अंत में विरोधाभास मिलता है, तो सही निष्कर्ष कौन सा है?
If assuming \(\sqrt{5}\) rational finally gives a contradiction, which conclusion is correct?
#sqrt5 conclusion
#contradiction
#class 10
A \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
B \(\sqrt{5}\) परिमेय है / \(\sqrt{5}\) is rational
C \(\sqrt{5}=5\)
D (5) पूर्ण वर्ग है / (5) is a perfect square
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Correct Answer
A. \(\sqrt{5}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{5}\) is irrational
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता ली जाती है। / In contradiction, the opposite assumption is taken.
Step 2
Why this answer is correct
यदि परिमेय मान्यता असंभव निकले, तो वह गलत है। / If the rational assumption becomes impossible, it is false.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(\sqrt{5}\) अपरिमेय सिद्ध होता है। / Therefore \(\sqrt{5}\) is proved irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (b) के बारे में अंतिम निष्कर्ष को सही बताता है?
Which statement correctly tells the final conclusion about (b) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#b divisibility
#class 10
A (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
B (b) (2) से विभाज्य है / (b) is divisible by (2)
C (b=1) है / (b=1)
D (b) शून्य है / (b) is zero
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Correct Answer
A. (b) (3) से विभाज्य है / (b) is divisible by (3)
Step 1
Concept
(a=3k) रखने के बाद \(b^2=3k^2\) मिलता है। / After substituting (a=3k), we get \(b^2=3k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(b^2\) (3) से विभाज्य है। / Hence \(b^2\) is divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
अभाज्य नियम से (b) भी (3) से विभाज्य होगा। / By the prime rule, (b) is also divisible by (3).
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\(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के दोनों सम होने पर भिन्न \(\frac{p}{q}\) के बारे में क्या कहा जा सकता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if both (p) and (q) are even, what can be said about the fraction \(\frac{p}{q}\)?
#sqrt2 proof
#fraction lowest form
#class 10
A यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
B यह अवश्य (1) है / It is necessarily (1)
C यह हर हाल में पूर्णांक है / It is always an integer
D यह शून्य है / It is zero
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Correct Answer
A. यह सरलतम रूप में नहीं है / It is not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों सम होने का अर्थ है कि अंश और हर में (2) साझा गुणनखंड है। / Both even means numerator and denominator have common factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को (2) से घटाया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced by (2).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह सरलतम रूप में नहीं हो सकती। / So it cannot be in lowest form.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में \(q\neq 0\) की जरूरत को सही बताता है?
Which statement correctly explains why \(q\neq 0\) is needed in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#denominator
#rational form
#sqrt2
#class 10
A भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
B (q) हमेशा (2) होना चाहिए / (q) must always be (2)
C (q) हमेशा सम होना चाहिए / (q) must always be even
D (q) अपरिमेय होना चाहिए / (q) must be irrational
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Correct Answer
A. भिन्न \(\frac{p}{q}\) में हर शून्य नहीं हो सकता / The denominator in \(\frac{p}{q}\) cannot be zero
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को \(\frac{p}{q}\) के रूप में लिखा जाता है। / A rational number is written as \(\frac{p}{q}\).
Step 2
Why this answer is correct
भिन्न का हर शून्य नहीं हो सकता। / The denominator of a fraction cannot be zero.
Step 3
Exam Tip
इसलिए \(q\neq 0\) लिखना आवश्यक है। / Therefore \(q\neq 0\) must be written.
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एक प्रमाण में \(p^2=3q^2\) मिला। यह किस वर्गमूल की अपरिमेयता सिद्धि से जुड़ा है?
In a proof, \(p^2=3q^2\) is obtained. This is related to the irrationality proof of which square root?
#identify proof
#sqrt3
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
B. \(\sqrt{3}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) मानने पर वर्ग करने से \(p^2=nq^2\) मिलता है। / Assuming \(\sqrt{n}=\frac{p}{q}\) and squaring gives \(p^2=nq^2\).
Step 2
Why this answer is correct
यहां (n=3) है, इसलिए यह \(\sqrt{3}\) से जुड़ा है। / Here (n=3), so it relates to \(\sqrt{3}\).
Step 3
Exam Tip
समीकरण में गुणनखंड देखकर मूल संख्या पहचानें। / Identify the square root from the factor in the equation.
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एक प्रमाण में \(p^2=2q^2\) से (p=2r) और फिर (q=2s) मिला। यह कौन सा विरोधाभास देता है?
In a proof, from \(p^2=2q^2\), we get (p=2r) and then (q=2s). What contradiction does this give?
#sqrt2 contradiction
#proof reasoning
#class 10
A (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
B (p) और (q) पूर्णांक नहीं हैं / (p) and (q) are not integers
C \(\sqrt{2}\) ऋणात्मक है / \(\sqrt{2}\) is negative
D (q=0) है / (q=0)
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Correct Answer
A. (p) और (q) सहअभाज्य नहीं हैं / (p) and (q) are not coprime
Step 1
Concept
(p=2r) और (q=2s) से दोनों (2) से विभाज्य हैं। / (p=2r) and (q=2s) mean both are divisible by (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए वे सहअभाज्य नहीं हो सकते। / So they cannot be coprime.
Step 3
Exam Tip
जबकि शुरुआत में उन्हें सहअभाज्य माना गया था, यही विरोधाभास है। / But they were assumed coprime at the start, which is the contradiction.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य मिला। अब (p=5k) रखने का उद्देश्य क्या है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), (p) is found divisible by (5) from \(p^2=5q^2\). What is the purpose of putting (p=5k)?
#sqrt5 proof
#p substitution
#class 10
A (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (5)
B (p=q) दिखाना / To show (p=q)
C \(\sqrt{5}=5\) दिखाना / To show \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0) दिखाना / To show (q=0)
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Correct Answer
A. (q) को भी (5) से विभाज्य दिखाना / To show (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
पहले (p) में (5) का गुणनखंड मिला। / First (p) is found to have factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) को समीकरण में रखने से \(q^2=5k^2\) मिलता है। / Substituting (p=5k) in the equation gives \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) भी (5) से विभाज्य सिद्ध होता है। / This proves (q) is also divisible by (5).
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में कौन सा कथन प्रमाण को अधूरा छोड़ देता है?
Which statement leaves the proof of \(\sqrt{3}\) incomplete?
#incomplete proof
#sqrt3
#class 10
A केवल \(p^2=3q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=3q^2\)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाना / Showing both (p) and (q) divisible by (3)
C सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास लिखना / Writing contradiction with coprime condition
D अंत में \(\sqrt{3}\) अपरिमेय लिखना / Finally writing \(\sqrt{3}\) is irrational
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Correct Answer
A. केवल \(p^2=3q^2\) लिखकर रुक जाना / Stopping after only writing \(p^2=3q^2\)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) प्रमाण का मध्य चरण है, अंतिम नहीं। / \(p^2=3q^2\) is a middle step, not the end.
Step 2
Why this answer is correct
इसके बाद (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य दिखाने होते हैं। / After this, both (p) and (q) must be shown divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
विरोधाभास और निष्कर्ष लिखे बिना प्रमाण पूरा नहीं होता। / The proof is incomplete without contradiction and conclusion.
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