कौन सा विकल्प \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3k) लिखने का सही कारण है?
Which option gives the correct reason for writing (a=3k) in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 proof
#reasoning
#class 10
A क्योंकि \(a^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(a^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
B क्योंकि (a=3) है / Because (a=3)
C क्योंकि \(\sqrt{3}=3\) है / Because \(\sqrt{3}=3\)
D क्योंकि (b=3k) पहले से है / Because (b=3k) already
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Correct Answer
A. क्योंकि \(a^2\) (3) से विभाज्य है और (3) अभाज्य है / Because \(a^2\) is divisible by (3) and (3) is prime
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से \(a^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(a^2=3b^2\), \(a^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(3) अभाज्य है, इसलिए (a) भी (3) से विभाज्य होगा। / Since (3) is prime, (a) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (a=3k) लिखना उचित है। / Therefore writing (a=3k) is valid.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में सामान्य अंतिम विचार है?
Which option is the common final idea in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#common proof idea
#irrationality
#class 10
A सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
B वर्गमूल को दशमलव में बदलना / Converting the square root to decimal
C हर को शून्य सिद्ध करना / Proving denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग मानना / Assuming the number is a perfect square
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Correct Answer
A. सरलतम भिन्न के अंश और हर में साझा गुणनखंड मिलना / Finding a common factor in numerator and denominator of a lowest-form fraction
Step 1
Concept
तीनों में संख्या को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न लिखते हैं। / In all three, the number is assumed rational and written in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
अंत में अंश और हर में (2), (3), या (5) साझा गुणनखंड मिलता है। / At the end, numerator and denominator share (2), (3), or (5).
Step 3
Exam Tip
यही सामान्य विरोधाभास है। / This is the common contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में सही है?
Which statement is correct in the proof of \(\sqrt{5}\)?
#sqrt5 proof
#correct statement
#class 10
A (5) पूर्ण वर्ग है, इसलिए \(\sqrt{5}\) परिमेय है / (5) is a perfect square, so \(\sqrt{5}\) is rational
B \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
C \(p^2=5q^2\) से (p=5q) सीधे मिलता है / From \(p^2=5q^2\), directly (p=5q)
D \(\sqrt{5}=25\)
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Correct Answer
B. \(p^2=5q^2\) से (p) (5) से विभाज्य है / From \(p^2=5q^2\), (p) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (p) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
सीधे (p=5q) लिखना सही नहीं है। / Directly writing (p=5q) is not correct.
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\(\sqrt{3}\) की सिद्धि में (p=3r) और (q=3s) मिलना क्या दिखाता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), what does getting (p=3r) and (q=3s) show?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
A (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have (3) as a common factor
B (p) और (q) दोनों शून्य हैं / Both (p) and (q) are zero
C \(\sqrt{3}\) परिमेय है / \(\sqrt{3}\) is rational
D (p=q) है / (p=q)
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Correct Answer
A. (p) और (q) में (3) साझा गुणनखंड है / (p) and (q) have (3) as a common factor
Step 1
Concept
(p=3r) से (p) (3) से विभाज्य है। / (p=3r) means (p) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
(q=3s) से (q) भी (3) से विभाज्य है। / (q=3s) means (q) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) साझा गुणनखंड है, इसलिए सहअभाज्य शर्त टूटती है। / Both have common factor (3), so the coprime condition breaks.
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यदि \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानने से अंत में (q=2s) मिले, तो प्रमाण में यह क्यों महत्वपूर्ण है?
If assuming \(\sqrt{2}\) rational finally gives (q=2s), why is this important in the proof?
#sqrt2 proof
#q even
#class 10
A क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
B क्योंकि इससे (q=0) सिद्ध होता है / Because it proves (q=0)
C क्योंकि इससे \(\sqrt{2}=2\) सिद्ध होता है / Because it proves \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि इससे (p=q) सिद्ध होता है / Because it proves (p=q)
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Correct Answer
A. क्योंकि इससे (q) सम सिद्ध होता है और (p) पहले ही सम था / Because it proves (q) even and (p) was already even
Step 1
Concept
प्रमाण में पहले (p) सम सिद्ध किया जाता है। / First (p) is proved even in the proof.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (q=2s) मिल गया, तो (q) भी सम है। / If (q=2s), then (q) is also even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होने से (2) साझा गुणनखंड मिलता है और विरोधाभास बनता है। / Both even gives common factor (2) and creates a contradiction.
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कौन सा कथन \(p^2=5q^2\) से सीधे सही है?
Which statement is directly correct from \(p^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#direct conclusion
#class 10
A \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
B \(q^2\) (5) से विभाज्य है / \(q^2\) is divisible by (5)
C (p=q)
D (q=5p)
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Correct Answer
A. \(p^2\) (5) से विभाज्य है / \(p^2\) is divisible by (5)
Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) में \(p^2\) \(5q^2\) के बराबर है। / In \(p^2=5q^2\), \(p^2\) equals \(5q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) में (5) का गुणनखंड निश्चित है। / So \(p^2\) definitely has factor (5).
Step 3
Exam Tip
\(q^2\) की विभाज्यता बाद के चरण में आती है। / Divisibility of \(q^2\) comes in a later step.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में (p) और (q) के सहअभाज्य होने की शर्त का सही अर्थ देता है?
Which option gives the correct meaning of the coprime condition for (p) and (q) in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#coprime meaning
#sqrt2 proof
#class 10
A (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
B (p) और (q) दोनों सम हैं / Both (p) and (q) are even
C (p=q) है / (p=q)
D (p) और (q) दोनों (2) हैं / Both (p) and (q) are (2)
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Correct Answer
A. (p) और (q) का साझा गुणनखंड केवल (1) है / The only common factor of (p) and (q) is (1)
Step 1
Concept
सहअभाज्य का अर्थ है कि दो संख्याओं में (1) के अलावा कोई साझा गुणनखंड न हो। / Coprime means two numbers have no common factor except (1).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दोनों सम मिलना इस अर्थ को तोड़ता है। / So finding both even breaks this meaning.
Step 3
Exam Tip
परिभाषा साफ समझने से प्रमाण सरल होता है। / Understanding the definition makes the proof easier.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में कौन सा चरण वर्गमूल हटाने के लिए किया जाता है?
In the proof of \(\sqrt{3}\), which step is done to remove the square root?
#sqrt3 proof
#squaring
#class 10
A दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
B दोनों ओर (3) जोड़ना / Adding (3) to both sides
C दोनों ओर (q) घटाना / Subtracting (q) from both sides
D दोनों ओर शून्य से गुणा करना / Multiplying both sides by zero
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Correct Answer
A. दोनों ओर वर्ग करना / Squaring both sides
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) में वर्गमूल मौजूद है। / \(\sqrt{3}\) contains a square root.
Step 2
Why this answer is correct
उसे हटाने के लिए दोनों ओर वर्ग किया जाता है, जिससे \(3=\frac{p^2}{q^2}\) मिलता है। / To remove it, we square both sides and get \(3=\frac{p^2}{q^2}\).
Step 3
Exam Tip
वर्गमूल हटाने के लिए सही बीजगणितीय क्रिया चुनें। / Choose the correct algebraic operation to remove the radical.
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यदि \(\sqrt{5}\) की सिद्धि में (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य सिद्ध होते हैं, तो इसका अर्थ क्या है?
If in the proof of \(\sqrt{5}\), both (p) and (q) are proved divisible by (5), what does it mean?
#sqrt5 proof
#lowest form
#class 10
A \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
B \(\frac{p}{q}\) अवश्य पूर्णांक है / \(\frac{p}{q}\) is necessarily an integer
C \(\sqrt{5}=5\)
D (q=0)
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Correct Answer
A. \(\frac{p}{q}\) सरलतम रूप में नहीं था / \(\frac{p}{q}\) was not in lowest form
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य होने पर भिन्न में साझा गुणनखंड (5) है। / If both are divisible by (5), the fraction has common factor (5).
Step 2
Why this answer is correct
ऐसी भिन्न को और सरल किया जा सकता है। / Such a fraction can be reduced further.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप मानने के विरुद्ध है। / This contradicts the assumption of lowest form.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में अंतर को सही दिखाता है?
Which option correctly shows a difference between the proofs of \(\sqrt{2}\) and \(\sqrt{5}\)?
#proof comparison
#sqrt2 sqrt5
#class 10
A \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
B दोनों में कोई साझा गुणनखंड नहीं मिलता / No common factor is found in either
C \(\sqrt{2}\) में (5), \(\sqrt{5}\) में (2) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), (5) is found; in \(\sqrt{5}\), (2) is found
D दोनों में (q=0) मिलता है / In both, (q=0) is found
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) में साझा गुणनखंड (2) मिलता है, \(\sqrt{5}\) में साझा गुणनखंड (5) मिलता है / In \(\sqrt{2}\), common factor (2) is found; in \(\sqrt{5}\), common factor (5) is found
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में संख्या (2) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), (2) is the key factor.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में संख्या (5) मुख्य गुणनखंड बनती है। / In the proof of \(\sqrt{5}\), (5) is the key factor.
Step 3
Exam Tip
अलग-अलग प्रमाणों में मूल के अंदर की संख्या पर ध्यान दें। / Pay attention to the number under the root in each proof.
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