यदि \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) सबसे सरल रूप में माना जाए, तो \(p^2=2q^2\) से पहले कौन सा निष्कर्ष लेना चाहिए?
If \(\sqrt{2}=\frac{p}{q}\) is assumed in lowest form, what should be concluded first from \(p^2=2q^2\)?
#sqrt2 proof
#irrationality
#real numbers
#class 10
A (q) सम है / (q) is even
B \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
C (p=q)
D (q=2p)
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Correct Answer
B. \(p^2\) सम है / \(p^2\) is even
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) में दाईं ओर (2) का गुणन है। / In \(p^2=2q^2\), the right side has a factor (2).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए सबसे पहले \(p^2\) को सम कहा जाता है, फिर (p) सम निकाला जाता है। / So first we say \(p^2\) is even, then conclude (p) is even.
Step 3
Exam Tip
प्रमाण में निष्कर्षों का क्रम सही रखना जरूरी है। / Keep the order of conclusions correct in the proof.
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\(\sqrt{3}\) को परिमेय मानकर \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\) लिखा गया है। यदि (a) और (b) सहअभाज्य हैं, तो प्रमाण में विरोधाभास कब बनेगा?
Assume \(\sqrt{3}\) is rational and \(\sqrt{3}=\frac{a}{b}\). If (a) and (b) are coprime, when will a contradiction occur in the proof?
#sqrt3 proof
#coprime
#contradiction
#class 10
A जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
B जब (a) और (b) दोनों पूर्णांक हों / When both (a) and (b) are integers
C जब \(b\neq 0\) हो / When \(b\neq 0\)
D जब \(\sqrt{3}\) धनात्मक हो / When \(\sqrt{3}\) is positive
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Correct Answer
A. जब (a) और (b) दोनों (3) से विभाज्य मिलें / When both (a) and (b) are found divisible by (3)
Step 1
Concept
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होता। / Coprime numbers have no common factor other than (1).
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों (3) से विभाज्य मिलें, तो साझा गुणनखंड (3) होगा। / If both are divisible by (3), the common factor is (3).
Step 3
Exam Tip
यही विरोधाभास \(\sqrt{3}\) को अपरिमेय सिद्ध करता है। / This contradiction proves \(\sqrt{3}\) irrational.
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यदि \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) मानकर वर्ग करने पर \(m^2=5n^2\) मिला, तो (m) के लिए सही अगला रूप कौन सा है?
If assuming \(\sqrt{5}=\frac{m}{n}\) and squaring gives \(m^2=5n^2\), what is the correct next form for (m)?
#sqrt5 proof
#prime divisibility
#class 10
A (m=2k)
B (m=3k)
C (m=5k)
D (m=n)
Explanation opens after your attempt
Step 1
Concept
\(m^2=5n^2\) से \(m^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(m^2=5n^2\), \(m^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(5) अभाज्य है, इसलिए (m) भी (5) से विभाज्य होगा। / Since (5) is prime, (m) is also divisible by (5).
Step 3
Exam Tip
इसलिए (m=5k) लिखना सही अगला कदम है। / Therefore (m=5k) is the correct next step.
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p=2r) रखने पर \(p^2=2q^2\) किस रूप में बदलेगा?
In the proof of \(\sqrt{2}\), if (p=2r), how does \(p^2=2q^2\) change?
#sqrt2 proof
#substitution
#algebra
#class 10
A \(2r^2=2q^2\)
B \(4r^2=2q^2\)
C \(p^2=4q^2\)
D \(r^2=q^2\)
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Correct Answer
B. \(4r^2=2q^2\)
Step 1
Concept
(p=2r) है, इसलिए (p-2 =(2r)2 =4r-2 )। / Since (p=2r), (p-2 =(2r)2 =4r-2 ).
Step 2
Why this answer is correct
इसे \(p^2=2q^2\) में रखने पर \(4r^2=2q^2\) मिलता है। / Substituting in \(p^2=2q^2\) gives \(4r^2=2q^2\).
Step 3
Exam Tip
गुणांक का वर्ग करना न भूलें। / Do not forget to square the coefficient.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (a=3t) रखने पर \(a^2=3b^2\) से \(b^2\) का कौन सा रूप मिलेगा?
In the proof of \(\sqrt{3}\), after putting (a=3t), which form of \(b^2\) follows from \(a^2=3b^2\)?
#sqrt3 proof
#substitution
#class 10
A \(b^2=3t^2\)
B \(b^2=9t^2\)
C \(b^2=t^2\)
D \(b^2=6t^2\)
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Correct Answer
A. \(b^2=3t^2\)
Step 1
Concept
(a=3t) रखने पर \(a^2=9t^2\) होगा। / If (a=3t), then \(a^2=9t^2\).
Step 2
Why this answer is correct
\(9t^2=3b^2\) से दोनों ओर (3) से भाग करने पर \(b^2=3t^2\) मिलेगा। / From \(9t^2=3b^2\), divide by (3) to get \(b^2=3t^2\).
Step 3
Exam Tip
भाग करने के चरण में जल्दबाजी न करें। / Do not rush the division step.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में गलत कदम है?
Which statement is a wrong step in the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#common mistake
#sqrt2 proof
#class 10
A \(p^2=2q^2\) से \(p^2\) सम है / From \(p^2=2q^2\), \(p^2\) is even
B \(p^2\) सम है, इसलिए (p) सम है / Since \(p^2\) is even, (p) is even
C (p=2r) रखने पर \(p^2=4r^2\) / If (p=2r), then \(p^2=4r^2\)
D \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
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Correct Answer
D. \(p^2=2q^2\) से सीधे (p=2q) / From \(p^2=2q^2\), directly (p=2q)
Step 1
Concept
\(p^2=2q^2\) से \(p^2\) के सम होने का निष्कर्ष निकलता है। / From \(p^2=2q^2\), we conclude \(p^2\) is even.
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) सम है, लेकिन सीधे (p=2q) नहीं लिख सकते। / This gives (p) even, but not directly (p=2q).
Step 3
Exam Tip
सही रूप (p=2r) होता है, जहां (r) पूर्णांक है। / The correct form is (p=2r), where (r) is an integer.
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यदि (r) अभाज्य है और \(r\mid x^2\), तो अपरिमेयता के प्रमाणों में कौन सा नियम प्रयोग किया जाता है?
If (r) is prime and \(r\mid x^2\), which rule is used in irrationality proofs?
#prime divisibility
#proof rule
#class 10
A \(r\mid x\)
B \(x\mid r\)
C \(x=r^2\)
D (r=x+1)
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Correct Answer
A. \(r\mid x\)
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े के रूप में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि अभाज्य (r), \(x^2\) को विभाजित करता है, तो (x) को भी विभाजित करेगा। / If prime (r) divides \(x^2\), then it also divides (x).
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में काम आता है। / This rule is used in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में (m=5k) रखने पर \(m^2=5n^2\) से कौन सा समीकरण बनेगा?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after putting (m=5k), which equation follows from \(m^2=5n^2\)?
#sqrt5 proof
#algebra error
#class 10
A \(5k^2=5n^2\)
B \(25k^2=5n^2\)
C \(10k^2=5n^2\)
D \(k^2=5n^2\)
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Correct Answer
B. \(25k^2=5n^2\)
Step 1
Concept
(m=5k) रखने पर \(m^2=25k^2\) होगा। / If (m=5k), then \(m^2=25k^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(m^2=5n^2\) में \(25k^2=5n^2\) मिलेगा। / So \(m^2=5n^2\) becomes \(25k^2=5n^2\).
Step 3
Exam Tip
((5k)2 ) को \(5k^2\) लिखना गलती है। / Writing ((5k)2 ) as \(5k^2\) is a mistake.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), \(\sqrt{5}\) के प्रमाणों में सहअभाज्य मानने की भूमिका क्या है?
What is the role of assuming coprime numbers in the proofs of \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\)?
#coprime
#contradiction
#irrationality proof
#class 10
A साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
B वर्गमूल का दशमलव निकालना / To find the decimal of the square root
C हर को शून्य बनाना / To make the denominator zero
D संख्या को पूर्ण वर्ग बनाना / To make the number a perfect square
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Correct Answer
A. साझा गुणनखंड मिलने पर विरोधाभास दिखाना / To show contradiction when a common factor is found
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न में लिखा जाता है। / A rational number is written as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम भिन्न में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से विरोधाभास बनाता है। / Later, a common factor contradicts this condition.
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यदि \(\sqrt{3}\) को परिमेय मानने पर \(a^2=3b^2\) मिला, तो (a) और (b) के बारे में अंत में क्या दिखाना होता है?
If assuming \(\sqrt{3}\) rational gives \(a^2=3b^2\), what must be shown about (a) and (b) at the end?
#sqrt3 proof
#common factor
#class 10
A दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (2)
B दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3)
C दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (5)
D दोनों शून्य हैं / Both are zero
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Correct Answer
B. दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both are divisible by (3)
Step 1
Concept
\(a^2=3b^2\) से (a) (3) से विभाज्य निकलता है। / From \(a^2=3b^2\), (a) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
फिर (a=3k) रखने पर (b) भी (3) से विभाज्य मिलता है। / Then substituting (a=3k) shows (b) is also divisible by (3).
Step 3
Exam Tip
दोनों में (3) साझा होना विरोधाभास है। / Common factor (3) gives the contradiction.
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