\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) और (q) को सहअभाज्य लिखने का मुख्य कारण क्या है?
What is the main reason for writing (p) and (q) coprime in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 proof
#coprime
#lowest form
#class 10
A क्योंकि वे दोनों (2) हैं / Because both are (2)
B क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
C क्योंकि वे दोनों शून्य हैं / Because both are zero
D क्योंकि वे दोनों अपरिमेय हैं / Because both are irrational
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Correct Answer
B. क्योंकि \(\frac{p}{q}\) को सरलतम रूप में लिया गया है / Because \(\frac{p}{q}\) is taken in lowest form
Step 1
Concept
परिमेय संख्या को सरलतम भिन्न के रूप में लिया जाता है। / A rational number is taken as a fraction in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
सरलतम रूप में अंश और हर सहअभाज्य होते हैं। / In lowest form, numerator and denominator are coprime.
Step 3
Exam Tip
बाद में साझा गुणनखंड मिलना इसी शर्त से टकराता है। / Finding a common factor later contradicts this condition.
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यदि (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं, तो उनके सहअभाज्य होने पर क्या असर पड़ेगा?
If both (p) and (q) are divisible by (5), what happens to their being coprime?
#coprime
#divisible by 5
#sqrt5
#class 10
A वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे / They will not remain coprime
B वे अवश्य सहअभाज्य रहेंगे / They will definitely remain coprime
C वे दोनों शून्य बन जाएंगे / Both will become zero
D वे दोनों अपरिमेय बन जाएंगे / Both will become irrational
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Correct Answer
A. वे सहअभाज्य नहीं रहेंगे / They will not remain coprime
Step 1
Concept
दोनों (5) से विभाज्य हैं तो (5) साझा गुणनखंड है। / If both are divisible by (5), then (5) is a common factor.
Step 2
Why this answer is correct
सहअभाज्य संख्याओं में (1) के अलावा साझा गुणनखंड नहीं होना चाहिए। / Coprime numbers should not have a common factor other than (1).
Step 3
Exam Tip
इसलिए यह स्थिति सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / So this situation goes against being coprime.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता का सही छोटा कारण है?
Which option is the correct short reason for the irrationality of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 short reason
#irrationality
#class 10
A परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
B क्योंकि (2) ऋणात्मक है / Because (2) is negative
C क्योंकि \(\sqrt{2}=2\) है / Because \(\sqrt{2}=2\)
D क्योंकि हर वर्गमूल पूर्णांक होता है / Because every square root is an integer
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Correct Answer
A. परिमेय मानने पर सरलतम भिन्न के अंश और हर दोनों सम हो जाते हैं / Assuming rational makes numerator and denominator of a lowest-form fraction both even
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर सरलतम भिन्न में लिखते हैं। / Assume \(\sqrt{2}\) rational and write it in lowest form.
Step 2
Why this answer is correct
प्रमाण से अंश और हर दोनों सम मिलते हैं। / The proof gives both numerator and denominator even.
Step 3
Exam Tip
यह सरलतम रूप से विरोध करता है, इसलिए \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / This contradicts lowest form, so \(\sqrt{2}\) is irrational.
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कौन सा कथन \(\sqrt{3}\) के प्रमाण में गलत कदम है?
Which statement is a wrong step in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#common mistake
#sqrt3 proof
#class 10
A \(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3)
B \(p^2\) (3) से विभाज्य है, इसलिए (p) (3) से विभाज्य है / Since \(p^2\) is divisible by (3), (p) is divisible by (3)
C (p) (3) से विभाज्य है, इसलिए (p=3k) / Since (p) is divisible by (3), (p=3k)
D \(p^2=3q^2\) से (p=3q) / From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
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Correct Answer
D. \(p^2=3q^2\) से (p=3q) / From \(p^2=3q^2\), (p=3q)
Step 1
Concept
\(p^2=3q^2\) से \(p^2\) (3) से विभाज्य है। / From \(p^2=3q^2\), \(p^2\) is divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) (3) से विभाज्य है, लेकिन सीधे (p=3q) नहीं लिखा जा सकता। / This gives (p) divisible by (3), but we cannot directly write (p=3q).
Step 3
Exam Tip
सही तरीका है (p=3k) लिखना। / The correct way is to write (p=3k).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में (p) सम मिलने के बाद (p=2k) में (k) कैसा होता है?
In the proof of \(\sqrt{2}\), after (p) is found even, what type of number is (k) in (p=2k)?
#integer
#even form
#sqrt2
#class 10
A पूर्णांक / Integer
B अपरिमेय संख्या / Irrational number
C वर्गमूल / Square root
D ऋणात्मक ही / Necessarily negative
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Correct Answer
A. पूर्णांक / Integer
Step 1
Concept
सम पूर्णांक को (2) गुणा किसी पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है। / An even integer is written as (2) times an integer.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p=2k) में (k) पूर्णांक है। / Therefore in (p=2k), (k) is an integer.
Step 3
Exam Tip
(k) का प्रकार लिखना प्रमाण को स्पष्ट बनाता है। / Mentioning the type of (k) makes the proof clear.
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कौन सा विकल्प \(\sqrt{2}\) के प्रमाण का सही क्रम बताता है?
Which option gives the correct order of the proof of \(\sqrt{2}\)?
#proof order
#sqrt2
#class 10
A परिमेय मानना, वर्ग करना, दोनों सम मिलना, विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradiction
B दोनों सम मानना, फिर वर्गमूल निकालना / Assume both even, then find square root
C पहले दशमलव लिखना, फिर उत्तर मानना / Write decimal first, then assume answer
D पहले \(\sqrt{2}=2\) लिखना / First write \(\sqrt{2}=2\)
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Correct Answer
A. परिमेय मानना, वर्ग करना, दोनों सम मिलना, विरोधाभास / Assume rational, square, find both even, contradiction
Step 1
Concept
पहले \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानते हैं। / First assume \(\sqrt{2}\) is rational.
Step 2
Why this answer is correct
वर्ग करने के बाद (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / After squaring, both (p) and (q) are found even.
Step 3
Exam Tip
दोनों सम होना सहअभाज्य शर्त से विरोधाभास देता है। / Both being even contradicts the coprime condition.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में \(p^2=5q^2\) के बाद (p) के लिए सही रूप कौन सा है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after \(p^2=5q^2\), what is the correct form for (p)?
#sqrt5 proof
#divisibility form
#class 10
A (p=5k)
B (p=2k)
C (p=q)
D (p=k+1)
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Step 1
Concept
\(p^2=5q^2\) से \(p^2\) (5) से विभाज्य है। / From \(p^2=5q^2\), \(p^2\) is divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (p) भी (5) से विभाज्य है और (p=5k) लिखा जाता है। / So (p) is also divisible by (5) and is written as (p=5k).
Step 3
Exam Tip
संख्या के अनुसार सही गुणनखंड चुनें। / Choose the correct factor according to the number.
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यदि परिमेय मान्यता से विरोधाभास मिल जाए, तो मूल कथन के बारे में क्या निष्कर्ष होगा?
If the rational assumption leads to a contradiction, what is the conclusion about the original statement?
#contradiction logic
#proof
#class 10
A मूल कथन सही है / The original statement is true
B मूल कथन गलत है / The original statement is false
C कोई निष्कर्ष नहीं मिलता / No conclusion is obtained
D संख्या शून्य है / The number is zero
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Correct Answer
A. मूल कथन सही है / The original statement is true
Step 1
Concept
विरोधाभास विधि में उलटी मान्यता लेकर चलते हैं। / In contradiction, we work with the opposite assumption.
Step 2
Why this answer is correct
यदि वह मान्यता असंभव निकले, तो मूल कथन सही होता है। / If that assumption becomes impossible, the original statement is true.
Step 3
Exam Tip
इसलिए परिमेय मान्यता टूटने पर अपरिमेयता सिद्ध होती है। / So when rationality fails, irrationality is proved.
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किस प्रमाण में (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य मिलते हैं?
In which proof are both (p) and (q) found divisible by (2)?
#sqrt2 proof
#divisible by 2
#class 10
A \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{5}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{5}\)
D \(\sqrt{9}\) की परिमेयता में / In the rationality of \(\sqrt{9}\)
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Correct Answer
A. \(\sqrt{2}\) की अपरिमेयता के प्रमाण में / In the proof of irrationality of \(\sqrt{2}\)
Step 1
Concept
\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में \(p^2=2q^2\) मिलता है। / In the proof of \(\sqrt{2}\), we get \(p^2=2q^2\).
Step 2
Why this answer is correct
इससे (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य यानी सम मिलते हैं। / This makes both (p) and (q) divisible by (2), that is even.
Step 3
Exam Tip
(2) वाला साझा गुणनखंड विरोधाभास बनाता है। / The common factor (2) creates the contradiction.
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कौन सा कथन \(\sqrt{2}\) के प्रमाण के लिए सही है?
Which statement is correct for the proof of \(\sqrt{2}\)?
#even square
#proof rule
#class 10
A यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
B यदि \(p^2\) सम है, तो (p) विषम है / If \(p^2\) is even, then (p) is odd
C यदि \(p^2\) सम है, तो (p=1) / If \(p^2\) is even, then (p=1)
D यदि \(p^2\) सम है, तो (q=0) / If \(p^2\) is even, then (q=0)
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Correct Answer
A. यदि \(p^2\) सम है, तो (p) सम है / If \(p^2\) is even, then (p) is even
Step 1
Concept
सम संख्या का वर्ग सम होता है और विषम संख्या का वर्ग विषम होता है। / The square of an even number is even and the square of an odd number is odd.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(p^2\) सम होने पर (p) भी सम होगा। / So if \(p^2\) is even, (p) is also even.
Step 3
Exam Tip
यही नियम \(\sqrt{2}\) की सिद्धि में उपयोग होता है। / This rule is used in the proof of \(\sqrt{2}\).
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