\(\sqrt{5}\) के प्रमाण में \(25k^2=5q^2\) से क्या सही निष्कर्ष मिलता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), what correct conclusion follows from \(25k^2=5q^2\)?
#sqrt5 proof
#substitution
#class 10
A \(q^2=25k^2\)
B \(q^2=5k^2\)
C (q=5)
D (q=k)
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Correct Answer
B. \(q^2=5k^2\)
Step 1
Concept
\(25k^2=5q^2\) के दोनों ओर (5) से भाग करें। / Divide both sides of \(25k^2=5q^2\) by (5).
Step 2
Why this answer is correct
\(5k^2=q^2\), यानी \(q^2=5k^2\) मिलता है। / We get \(5k^2=q^2\), that is \(q^2=5k^2\).
Step 3
Exam Tip
इससे (q) के (5) से विभाज्य होने की बात आगे आती है। / This later shows that (q) is divisible by (5).
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कौन सा वर्गमूल परिमेय है, इसलिए उस पर \(\sqrt{2}\) जैसी अपरिमेयता सिद्धि लागू नहीं होती?
Which square root is rational, so an irrationality proof like \(\sqrt{2}\) does not apply to it?
#perfect square
#rational square root
#class 10
A \(\sqrt{2}\)
B \(\sqrt{3}\)
C \(\sqrt{4}\)
D \(\sqrt{5}\)
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Correct Answer
C. \(\sqrt{4}\)
Step 1
Concept
(4) पूर्ण वर्ग है। / (4) is a perfect square.
Step 2
Why this answer is correct
\(\sqrt{4}=2\), जो परिमेय संख्या है। / \(\sqrt{4}=2\), which is rational.
Step 3
Exam Tip
पूर्ण वर्गों के वर्गमूल परिमेय होते हैं। / Square roots of perfect squares are rational.
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\(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) को पूर्णांक क्यों नहीं माना जाता?
Why are \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), and \(\sqrt{5}\) not taken as integers?
#non perfect square
#irrational roots
#class 10
A क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं / Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
B क्योंकि ये सभी सम हैं / Because all of them are even
C क्योंकि ये सभी ऋणात्मक हैं / Because all of them are negative
D क्योंकि ये सभी शून्य हैं / Because all of them are zero
Explanation opens after your attempt
Correct Answer
A. क्योंकि (2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं / Because (2), (3), and (5) are not perfect squares
Step 1
Concept
किसी पूर्ण वर्ग का वर्गमूल पूर्णांक होता है। / The square root of a perfect square is an integer.
Step 2
Why this answer is correct
(2), (3), और (5) पूर्ण वर्ग नहीं हैं। / (2), (3), and (5) are not perfect squares.
Step 3
Exam Tip
इसलिए इनके वर्गमूलों की अपरिमेयता सिद्ध की जाती है। / Therefore their square roots are proved irrational.
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यदि \(\sqrt{2}\) परिमेय हो, तो उसे किस रूप में लिखा जा सकता है?
If \(\sqrt{2}\) is rational, in which form can it be written?
#rational number definition
#sqrt2
#class 10
A दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
B केवल पूर्णांक के रूप में / Only as an integer
C केवल ऋणात्मक संख्या के रूप में / Only as a negative number
D केवल शून्य के रूप में / Only as zero
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Correct Answer
A. दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में / As a ratio of two integers
Step 1
Concept
परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में लिखी जा सकती है। / A rational number can be written as a ratio of two integers.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(\sqrt{2}\) को परिमेय मानकर \(\frac{p}{q}\) लिखा जाता है। / So assuming \(\sqrt{2}\) rational, we write it as \(\frac{p}{q}\).
Step 3
Exam Tip
परिभाषा से प्रमाण की शुरुआत करें। / Start the proof from the definition.
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यदि \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), तो वर्ग करने पर दाईं ओर क्या बनेगा?
If \(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\), what does the right side become after squaring?
#fraction square
#sqrt3 proof
#class 10
A \(p^2q^2\)
B \(\frac{p}{q^2}\)
C \(\frac{p^2}{q^2}\)
D \(\frac{3p}{q}\)
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Correct Answer
C. \(\frac{p^2}{q^2}\)
Step 1
Concept
भिन्न का वर्ग करते समय अंश और हर दोनों का वर्ग होता है। / While squaring a fraction, both numerator and denominator are squared.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए (\left\(\frac{p}{q}\right\)2 =\frac{p-2 }{q-2 })। / Hence (\left\(\frac{p}{q}\right\)2 =\frac{p-2 }{q-2 }).
Step 3
Exam Tip
केवल अंश का वर्ग करना सामान्य गलती है। / Squaring only the numerator is a common mistake.
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\(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) को वर्ग करने पर बाईं ओर क्या बनेगा?
When \(\sqrt{5}=\frac{p}{q}\) is squared, what does the left side become?
#sqrt5 proof
#squaring
#class 10
A \(\sqrt{5}\)
B (5)
C (25)
D \(\frac{5}{q}\)
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Step 1
Concept
\(\sqrt{5}\) का वर्ग (5) होता है। / The square of \(\sqrt{5}\) is (5).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए बाईं ओर (\(\sqrt{5}\)2 =5) मिलेगा। / So the left side becomes (\(\sqrt{5}\)2 =5).
Step 3
Exam Tip
वर्ग और वर्गमूल एक-दूसरे को हटाते हैं। / A square and square root cancel each other.
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कौन सा कथन अभाज्य गुणनखंड के नियम को सही बताता है?
Which statement correctly states the prime factor rule?
#prime factor rule
#irrationality proof
#class 10
A यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
B हर अभाज्य संख्या पूर्ण वर्ग होती है / Every prime number is a perfect square
C हर वर्गमूल परिमेय होता है / Every square root is rational
D यदि संख्या धनात्मक है, तो वह अभाज्य है / If a number is positive, it is prime
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Correct Answer
A. यदि अभाज्य संख्या किसी वर्ग को विभाजित करे, तो वह मूल संख्या को भी विभाजित करती है / If a prime divides a square, it also divides the original number
Step 1
Concept
अभाज्य गुणनखंड वर्ग में जोड़े में आते हैं। / Prime factors in a square occur in pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि कोई अभाज्य \(p^2\) को विभाजित करता है, तो वह (p) को भी विभाजित करेगा। / If a prime divides \(p^2\), it also divides (p).
Step 3
Exam Tip
\(\sqrt{3}\) और \(\sqrt{5}\) के प्रमाण में यह नियम जरूरी है। / This rule is needed in the proofs of \(\sqrt{3}\) and \(\sqrt{5}\).
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\(\sqrt{2}\) के प्रमाण में अंत में कौन सी बात सिद्ध होती है?
What is proved at the end in the proof of \(\sqrt{2}\)?
#sqrt2 conclusion
#irrationality
#class 10
A \(\sqrt{2}\) परिमेय है / \(\sqrt{2}\) is rational
B \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
C \(\sqrt{2}=2\)
D \(\sqrt{2}=0\)
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Correct Answer
B. \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है / \(\sqrt{2}\) is irrational
Step 1
Concept
परिमेय मानने से (p) और (q) दोनों सम मिलते हैं। / Assuming rationality makes both (p) and (q) even.
Step 2
Why this answer is correct
यह उनके सहअभाज्य होने के विरुद्ध है। / This contradicts their being coprime.
Step 3
Exam Tip
इसलिए आरंभिक मान्यता गलत और \(\sqrt{2}\) अपरिमेय है। / Therefore the initial assumption is false and \(\sqrt{2}\) is irrational.
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\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में अंतिम विरोधाभास को सही ढंग से कौन सा विकल्प बताता है?
Which option correctly states the final contradiction in the proof of \(\sqrt{3}\)?
#sqrt3 contradiction
#coprime
#class 10
A (p) और (q) दोनों (2) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (2)
B (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
C (p) और (q) दोनों (5) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (5)
D (p) और (q) दोनों (9) के बराबर हैं / Both (p) and (q) are equal to (9)
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Correct Answer
B. (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य हैं / Both (p) and (q) are divisible by (3)
Step 1
Concept
\(\sqrt{3}\) के प्रमाण में (p) और (q) दोनों (3) से विभाज्य मिलते हैं। / In the proof of \(\sqrt{3}\), both (p) and (q) are found divisible by (3).
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन शुरुआत में वे सहअभाज्य माने गए थे। / But they were assumed coprime at the beginning.
Step 3
Exam Tip
यही अंतिम विरोधाभास है। / This is the final contradiction.
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\(\sqrt{5}\) की सिद्धि में यदि (p=5k) लिख दिया गया, तो अगला उद्देश्य क्या होता है?
In the proof of \(\sqrt{5}\), after writing (p=5k), what is the next aim?
#sqrt5 proof
#next step
#class 10
A यह दिखाना कि (q) भी (5) से विभाज्य है / To show that (q) is also divisible by (5)
B यह दिखाना कि (q=1) है / To show that (q=1)
C यह दिखाना कि (p=q) है / To show that (p=q)
D यह दिखाना कि \(\sqrt{5}=5\) है / To show that \(\sqrt{5}=5\)
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Correct Answer
A. यह दिखाना कि (q) भी (5) से विभाज्य है / To show that (q) is also divisible by (5)
Step 1
Concept
पहले (p) (5) से विभाज्य मिलता है। / First, (p) is found divisible by (5).
Step 2
Why this answer is correct
(p=5k) को समीकरण में रखने पर (q) के लिए भी (5) से विभाज्यता मिलती है। / Substituting (p=5k) gives divisibility by (5) for (q) too.
Step 3
Exam Tip
दोनों में साझा गुणनखंड मिलना विरोधाभास है। / A common factor in both creates the contradiction.
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