Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
संक्रामी नियम सीधे ((a,b)) और ((b,c)) पर लागू होता है। / The transitive rule applies directly to ((a,b)) and ((b,c)).
Step 2
Why this answer is correct
इन दोनों से ((a,c)) का होना अनिवार्य है। / These two pairs require ((a,c)).
Step 3
Exam Tip
उत्तर में क्रम न बदलें, पहले का पहला और दूसरे का दूसरा तत्व लें। / Do not reverse the order; take the first element of the first pair and the second element of the second pair.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो पहले से है। / ((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), which is already present.
Step 3
Exam Tip
जब सभी संभावित श्रृंखलाएँ सही युग्म देती हैं, संबंध संक्रामी होता है। / When all possible chains give pairs already in the relation, the relation is transitive.
दोनों युग्मों में बीच का तत्व (4) समान है। / The common middle element in the two pairs is (4).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी नियम के अनुसार ((1,6)) होना जरूरी है। / By the transitive rule, ((1,6)) must be present.
Step 3
Exam Tip
पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व मिलाकर उत्तर बनाइए। / Form the answer using the first element of the first pair and the second element of the second pair.
यदि \(A\subseteq B\) और \(B\subseteq C\), तो (A) का हर तत्व (C) में भी होगा। / If \(A\subseteq B\) and \(B\subseteq C\), then every element of (A) is also in (C).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(A\subseteq C\) मिल जाता है। / Hence \(A\subseteq C\).
Step 3
Exam Tip
उपसमुच्चय संबंध संक्रामी संबंध का मानक उदाहरण है। / The subset relation is a standard example of a transitive relation.
यदि \(a\ge b\) और \(b\ge c\), तो \(a\ge c\) होगा। / If \(a\ge b\) and \(b\ge c\), then \(a\ge c\).
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए दो जुड़े हुए युग्म तीसरे जरूरी युग्म को भी संबंध में रखते हैं। / Therefore two connected pairs force a third pair that also belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
\(\ge\) और \(\le\) दोनों क्रम संबंध संक्रामी होते हैं। / Both \(\ge\) and \(\le\) are transitive order relations.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) है, और ((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी है। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), and ((1,3)) and ((3,4)) require ((1,4)); both are present.
Step 3
Exam Tip
सभी जरूरी शृंखला युग्म मौजूद हों तो संबंध संक्रामी होता है। / A relation is transitive when all required chain pairs are present.
\(a \equiv b \pmod{3}\) और \(b \equiv c \pmod{3}\) का अर्थ है कि तीनों का शेषफल समान दिशा में जुड़ा है। / \(a \equiv b \pmod{3}\) and \(b \equiv c \pmod{3}\) mean the remainders are linked through the same middle number.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए \(a \equiv c \pmod{3}\) होगा। / Therefore \(a \equiv c \pmod{3}\).
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाला संबंध संक्रामी होता है। / Same-remainder relations are transitive.
संक्रामी जाँच के लिए दो युग्म चाहिए जिनमें बीच का तत्व समान हो। / To check transitivity, we need two pairs with a common middle element.
Step 2
Why this answer is correct
यहाँ केवल एक युग्म है, इसलिए ऐसी कोई श्रृंखला नहीं बनती जो शर्त तोड़े। / Here there is only one pair, so no chain exists to violate the condition.
Step 3
Exam Tip
एक अकेला युग्म वाला संबंध अक्सर संक्रामी हो सकता है, यदि कोई जरूरी अगला युग्म न बने। / A relation with a single pair can be transitive when no required next pair is formed.
((1,2)) और ((2,4)) जुड़े हुए हैं क्योंकि बीच वाला तत्व (2) समान है। / ((1,2)) and ((2,4)) are connected because the middle element (2) is common.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामी होने के लिए ((1,4)) होना चाहिए। / Transitivity requires ((1,4)).
Step 3
Exam Tip
जोड़ने वाले युग्म में पहले युग्म का पहला तत्व और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व रखें। / The required pair uses the first element of the first pair and the second element of the second pair.
संक्रामी शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों संबंध में हों। / The transitive condition is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त तोड़ने वाला कोई उदाहरण नहीं मिलता। / The empty relation has no pair, so no example violates the condition.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को संक्रामी मानना एक महत्वपूर्ण मूल बात है। / Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth.
इस संबंध में केवल ((a,a)) जैसे विकर्ण युग्म हैं। / This relation contains only diagonal pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) लिए जाएँ, तो जरूरी युग्म फिर ((a,a)) ही है, जो मौजूद है। / If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair is again ((a,a)), which is present.
Step 3
Exam Tip
केवल विकर्ण युग्मों वाला संबंध संक्रामी होता है। / A relation containing only diagonal pairs is transitive.
((1,2)) और ((2,3)) संबंध में हैं, इसलिए संक्रामी होने के लिए ((1,3)) चाहिए। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are in the relation, transitivity requires ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है। / The pair ((1,3)) is not present.
Step 3
Exam Tip
एक ही कमी संबंध को संक्रामी न मानने के लिए पर्याप्त होती है। / One missing required pair is enough to show that a relation is not transitive.
यहाँ ((1,2)) और ((2,3)) जुड़े हुए युग्म हैं। / Here ((1,2)) and ((2,3)) are connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इनके कारण ((1,3)) होना चाहिए, और वह संबंध में मौजूद है। / They require ((1,3)), and it is already present in the relation.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी जाँच में जरूरी बने युग्म को सूची में ढूँढना सबसे आसान तरीका है। / For transitivity checks, find the pair that is forced and then look for it in the list.
A. यदि \((a,b) \in R\) और \((b,c) \in R\), तो \((a,c) \in R\)
Step 1
Concept
संक्रामी संबंध में दो जुड़े हुए क्रमित युग्मों को देखा जाता है। / A transitive relation is checked using two connected ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला युग्म (a) से (b) तक और दूसरा (b) से (c) तक है, तो (a) से (c) तक का युग्म भी होना चाहिए। / If one pair goes from (a) to (b) and the next goes from (b) to (c), then the pair from (a) to (c) must also be present.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बीच वाले तत्व के समान होने पर ही संक्रामी जाँच करें। / In exams, check transitivity only when the middle element is common.
