Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
विकल्प में ((1,2)) और ((2,1)) दोनों हैं, इसलिए यह सममित है। / The option contains both ((1,2)) and ((2,1)), so it is symmetric.
Step 2
Why this answer is correct
लेकिन ((1,2)) और ((2,1)) से संक्रामकता के लिए ((1,1)) चाहिए, जो नहीं है। / But ((1,2)) and ((2,1)) would require ((1,1)) for transitivity, which is absent.
Step 3
Exam Tip
सममिति और संक्रामकता अलग गुण हैं; उल्टे युग्म होने से संक्रामकता अपने आप नहीं मिलती। / Symmetry and transitivity are different properties; reverse pairs do not automatically give transitivity.
C. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता के लिए दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संघ में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In a union, one pair may come from (R) and another from (S).
Step 3
Exam Tip
ऐसा होने पर जरूरी तीसरा युग्म संघ में न हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Then the required third pair may be absent, so the union is not always transitive.
यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R\cap S\) में हैं, तो दोनों युग्म (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), both pairs are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) की संक्रामकता से ((a,c)) (R) में और (S) की संक्रामकता से (S) में होगा। / Transitivity of (R) puts ((a,c)) in (R), and transitivity of (S) puts it in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) प्रतिच्छेद में होगा। / Hence ((a,c)) is in the intersection.
A. \(R^{-1}\) भी संक्रामक होगा/\(R^{-1}\) will also be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) \(R^{-1}\) में हैं, तो ((b,a)) और ((c,b)) (R) में होंगे। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R^{-1}\), then ((b,a)) and ((c,b)) are in (R).
Step 2
Why this answer is correct
(R) की संक्रामकता से ((c,a)) (R) में होगा। / By transitivity of (R), ((c,a)) is in (R).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R^{-1}\) में होगा और \(R^{-1}\) संक्रामक है। / Therefore ((a,c)) is in \(R^{-1}\), so \(R^{-1}\) is transitive.
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में जुड़े हुए दो युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity needs a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S).
Step 3
Exam Tip
तब जरूरी तीसरा युग्म संघ में न भी हो, इसलिए संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / The required third pair may be missing, so the union need not be transitive.
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) और (S) दोनों की संक्रामकता से ((a,c)) दोनों में होगा। / Transitivity of both (R) and (S) gives ((a,c)) in both.
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में भी होगा। / Hence ((a,c)) is also in \(R\cap S\).
A. \(R\cap S\) संक्रामक होगा/\(R\cap S\) will be transitive
Step 1
Concept
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
(R) के संक्रामक होने से ((a,c)) (R) में होगा और (S) के संक्रामक होने से (S) में भी होगा। / Since (R) is transitive, ((a,c)) is in (R); since (S) is transitive, it is also in (S).
Step 3
Exam Tip
इसलिए ((a,c)) \(R\cap S\) में होगा। / Therefore ((a,c)) is in \(R\cap S\).
A. यह हमेशा संक्रामक नहीं होता/It is not always transitive
Step 1
Concept
संक्रामकता में दो जुड़े युग्मों से तीसरा युग्म चाहिए। / Transitivity requires a third pair from two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
\(R\cup S\) में पहला युग्म (R) से और दूसरा (S) से आ सकता है, इसलिए तीसरा युग्म जरूरी नहीं मिलेगा। / In \(R\cup S\), one pair may come from (R) and the other from (S), so the required third pair may be missing.
Step 3
Exam Tip
इसलिए संक्रामक संबंधों का संघ हमेशा संक्रामक नहीं होता। / Hence the union of transitive relations is not always transitive.
मुख्य जुड़े युग्म ((1,2)) और ((2,3)) हैं, जिनसे ((1,3)) चाहिए। / The main linked pairs are ((1,2)) and ((2,3)), requiring ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) मौजूद है और ((3,3)) से कोई नई कमी नहीं बनती। / ((1,3)) is present, and ((3,3)) does not create a missing requirement.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणीयता के लिए अपने सभी युग्म होना जरूरी नहीं, जरूरी जुड़े निष्कर्ष पूरे होने चाहिए। / Transitivity does not require all self-pairs, only required linked conclusions.
A. संक्रमणीय है, पर स्वसम नहीं/Transitive but not reflexive
Step 1
Concept
कोई समुच्चय स्वयं का वास्तविक उपसमुच्चय नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। / No set is a proper subset of itself, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \(A\subset B\) और \(B\subset C\), तो \(A\subset C\), इसलिए संक्रमणीयता है। / If \(A\subset B\) and \(B\subset C\), then \(A\subset C\), so it is transitive.
Step 3
Exam Tip
वास्तविक उपसमुच्चय और उपसमुच्चय में अंतर ध्यान से रखें। / Carefully distinguish proper subset from subset.
कोई व्यक्ति स्वयं से लंबा नहीं होता, इसलिए स्वसमता नहीं है। / A person is not taller than themselves, so it is not reflexive.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (a), (b) से लंबा है, तो (b), (a) से लंबा नहीं होगा। / If (a) is taller than (b), then (b) is not taller than (a).
Step 3
Exam Tip
यदि (a), (b) से और (b), (c) से लंबा है, तो (a), (c) से लंबा होगा, इसलिए संक्रमणीयता है। / If (a) is taller than (b) and (b) is taller than (c), then (a) is taller than (c), so it is transitive.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
दूसरे विकल्प में यह जरूरी युग्म मौजूद है। / The second option contains this required pair.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणीयता में केवल जुड़े हुए युग्मों से बनने वाले युग्मों को जाँचें। / In transitivity, check only pairs that can be linked through a middle element.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) संबंध में मौजूद है। / ((1,3)) is present in the relation.
Step 3
Exam Tip
इसलिए कम-से-कम मुख्य शृंखला संक्रामकता को पूरा करती है और संबंध संक्रामी है। / Thus the main chain satisfies transitivity, and the relation is transitive.
