Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
उपलब्ध युग्मों की कड़ी देखें। / Check all possible chains in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,2)) से ((1,2)) चाहिए, जो मौजूद है; अपने-आप वाले युग्म भी शर्त नहीं तोड़ते। / From ((1,2)) and ((2,2)), ((1,2)) is required and it is present; self-pairs do not break the condition.
Step 3
Exam Tip
हर संभावित कड़ी को शांत मन से जांचें। / Check each possible chain carefully.
A. हाँ, क्योंकि कोई विरोधी स्थिति नहीं बनती/Yes, because no violating case occurs
Step 1
Concept
संक्रमणीयता तभी जांची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों मौजूद हों। / Transitivity is checked only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
खाली संबंध में ऐसे कोई दो युग्म हैं ही नहीं, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। / In an empty relation, no such pair chain exists, so the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
खाली संबंध को संक्रमणीय मानना एक सामान्य परीक्षा तथ्य है। / The empty relation is commonly considered transitive in exams.
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\), तो \((a,c)\in R\)/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रमणीयता में दो युग्मों की कड़ी देखी जाती है। / Transitivity checks a chain of two related pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि पहला युग्म (a) से (b) और दूसरा (b) से (c) ले जाता है, तो (a) से (c) भी होना चाहिए। / If one pair takes (a) to (b) and another takes (b) to (c), then (a) must relate to (c).
Step 3
Exam Tip
सममित और स्वतुल्य की शर्तों से इसे अलग याद रखें। / Keep this separate from symmetry and reflexivity.
((1,2)) और ((2,3)) को जोड़कर ((1,3)) की जरूरत बनती है। / From ((1,2)) and ((2,3)), the pair ((1,3)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
दिए गए संबंध में ((1,3)) नहीं है, इसलिए शर्त टूट गई। / The relation does not contain ((1,3)), so the condition fails.
Step 3
Exam Tip
संक्रमणीयता में उल्टे युग्म नहीं, बल्कि पहले और तीसरे तत्व का युग्म देखें। / For transitivity, check the first and third elements, not the reverse pair.
((1,2)) और ((2,3)) के कारण ((1,3)) होना जरूरी है। / Since ((1,2)) and ((2,3)) are present, ((1,3)) must be present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) संबंध में पहले से मौजूद है, इसलिए संक्रमणीयता की मुख्य शर्त पूरी है। / ((1,3)) is already in the relation, so the key transitivity condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
ऐसे प्रश्नों में बीच वाले तत्व को ध्यान से मिलाइए। / In such questions, match the middle element carefully.
A. हाँ, क्योंकि हर तत्व अपने आप से जुड़ा है/Yes, because every element is related to itself
Step 1
Concept
संक्रमणीयता में देखें कि यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) हों तो \((a,c)\in R\) होना चाहिए। / In transitivity, if \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\), then \((a,c)\in R\) must also be present.
Step 2
Why this answer is correct
यहां केवल ((1,1)), ((2,2)), ((3,3)) जैसे अपने-आप वाले युग्म हैं, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। / Here only self-pairs are present, so the condition is never violated.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में पहचान संबंध हमेशा संक्रमणीय होता है। / In exams, remember that the identity relation is transitive.
A. ऐसे ((a,b)) और ((b,c)) दिखाइए जिनके बावजूद ((a,c)) संबंध में न हो/Show ((a,b)) and ((b,c)) present but ((a,c)) absent
Step 1
Concept
संक्रामीता की शर्त दो जुड़े हुए युग्मों पर आधारित है। / The condition of transitivity is based on two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
यदि दोनों युग्म मौजूद हों पर उनसे बनने वाला ((a,c)) मौजूद न हो, तो संबंध संक्रामी नहीं होगा। / If both pairs are present but the required ((a,c)) is absent, the relation is not transitive.
Step 3
Exam Tip
प्रतिवाद लिखते समय तीनों युग्मों की स्थिति साफ बताइए। / When writing a counterexample, clearly state the status of all three pairs.
((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((2,3)) and ((3,4)) require ((2,4)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी ((2,2)) या ((2,3)) जैसे मौजूद युग्म देती हैं। / Chains involving ((2,2)) give pairs such as ((2,2)) or ((2,3)), which are already present.
Step 3
Exam Tip
हर संभावित श्रृंखला को अलग-अलग मिलाकर देखें। / Check each possible chain separately.
((1,3)) और ((3,2)) में बीच का तत्व (3) समान है। / The common middle element in ((1,3)) and ((3,2)) is (3).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता के लिए ((1,2)) जरूरी है। / Transitivity requires ((1,2)).
Step 3
Exam Tip
पहले युग्म का पहला और दूसरे युग्म का दूसरा तत्व लेकर जरूरी युग्म बनता है। / The required pair is formed from the first element of the first pair and the second element of the second pair.
यदि (a) और (b) का शेषफल समान है, और (b) और (c) का भी शेषफल समान है, तो (a) और (c) का शेषफल भी समान होगा। / If (a) and (b) have the same remainder, and (b) and (c) also have the same remainder, then (a) and (c) have the same remainder.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए ((a,c)) संबंध में आएगा। / So ((a,c)) belongs to the relation.
Step 3
Exam Tip
समान शेषफल वाले संबंध संक्रामीता में मजबूत उदाहरण हैं। / Same-remainder relations are strong examples of transitivity.
किसी समुच्चय पर (R) संक्रामी है। यदि \((a,b) \in R\) और कोई ((b,c)) प्रकार का युग्म (R) में नहीं है, तो क्या केवल ((a,b)) से कोई नया ((a,c)) युग्म अनिवार्य होगा?
((1,2)) और ((2,1)) से ((1,1)) चाहिए, जो मौजूद है। / ((1,2)) and ((2,1)) require ((1,1)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) चाहिए, वह भी मौजूद है। / ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)), which is also present.
Step 3
Exam Tip
उल्टे युग्मों के साथ विकर्ण युग्म भी हों तो संक्रामीता बच सकती है। / Reverse pairs can still be transitive when the needed diagonal pairs are included.
यदि ((a,b)) और ((b,c)) दोनों \(R\cap S\) में हैं, तो वे (R) और (S) दोनों में हैं। / If ((a,b)) and ((b,c)) are both in \(R\cap S\), then they are in both (R) and (S).
Step 2
Why this answer is correct
दोनों संक्रामी हैं, इसलिए ((a,c)) दोनों में होगा, अतः प्रतिच्छेद में भी होगा। / Since both are transitive, ((a,c)) is in both, hence in the intersection.
Step 3
Exam Tip
संक्रामी संबंधों का प्रतिच्छेद संक्रामी रहता है। / The intersection of transitive relations remains transitive.
दो अलग संक्रामी संबंधों का संघ नई श्रृंखला बना सकता है। / The union of two transitive relations can create a new chain.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए \(R=\{(1,2)\}\) और \(S=\{(2,3)\}\) दोनों संक्रामी हैं, पर संघ में ((1,3)) नहीं है। / For example, \(R=\{(1,2)\}\) and \(S=\{(2,3)\}\) are both transitive, but their union lacks ((1,3)).
Step 3
Exam Tip
संघ के लिए संक्रामीता अलग से जाँचें। / Always check transitivity of a union separately.
(a+b) सम होने का अर्थ है कि (a) और (b) की समता समान है। / (a+b) being even means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b) और (c) की समता भी समान है, तो (a) और (c) की समता समान होगी, इसलिए (a+c) सम होगा। / If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity, so (a+c) is even.
Step 3
Exam Tip
समान समता वाला संबंध संक्रामी होता है। / Same-parity relations are transitive.
यदि ((a,b)) संबंध में है, तो (a) और (b) दोनों सम हैं। / If ((a,b)) is in the relation, then both (a) and (b) are even.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((b,c)) भी संबंध में है, तो (c) भी सम है, इसलिए (a) और (c) दोनों सम होंगे। / If ((b,c)) is also in the relation, then (c) is even too, so (a) and (c) are both even.
Step 3
Exam Tip
समान वर्ग या समूह में रहने वाली शर्तें अक्सर संक्रामी होती हैं। / Conditions based on belonging to the same group often give transitivity.
परावर्तकता में सभी ((a,a)) युग्म चाहिए। / Reflexivity requires all ((a,a)) pairs.
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामीता में ((a,b)) और ((b,c)) से ((a,c)) चाहिए। ये अलग शर्तें हैं। / Transitivity requires ((a,c)) whenever ((a,b)) and ((b,c)) are present. These are different conditions.
Step 3
Exam Tip
परावर्तक देखकर संक्रामी मान लेना परीक्षा में सामान्य गलती है। / Assuming transitivity from reflexivity is a common exam mistake.
सममितता और संक्रामीता अलग गुण हैं। / Symmetry and transitivity are different properties.
Step 2
Why this answer is correct
उदाहरण के लिए ({(1,2),(2,1)}) सममित है, लेकिन ((1,1)) और ((2,2)) न होने से संक्रामी नहीं है। / For example, ({(1,2),(2,1)}) is symmetric, but it is not transitive because ((1,1)) and ((2,2)) are missing.
Step 3
Exam Tip
संबंधों के गुणों को अलग-अलग जाँचना चाहिए। / Always check each property separately.
