Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
पहले विकल्प में ((1,2)) और ((2,3)) हैं। / In the first option, ((1,2)) and ((2,3)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
उनके लिए जरूरी ((1,3)) भी मौजूद है, इसलिए शर्त पूरी दिखती है। / The required pair ((1,3)) is also present, so the condition is satisfied.
Step 3
Exam Tip
बहुविकल्पीय प्रश्नों में पहले उस विकल्प को खोजें जहाँ कड़ी और उसका परिणाम दोनों हों। / In MCQs, first find the option containing both a chain and its result.
A. क्योंकि कोई ऐसी दूसरी कड़ी नहीं है जो नई शर्त बनाए/Because there is no second linked pair to create a new requirement
Step 1
Concept
संक्रामकता की शर्त के लिए दो जुड़े हुए युग्म चाहिए। / The transitivity condition needs two connected pairs.
Step 2
Why this answer is correct
केवल ((2,3)) होने पर ((3,c)) जैसा कोई युग्म नहीं है, इसलिए शर्त नहीं टूटती। / With only ((2,3)), there is no pair of the form ((3,c)), so no condition is violated.
Step 3
Exam Tip
एक युग्म वाले संबंधों में पहले देखें कि कोई कड़ी बन भी रही है या नहीं। / For one-pair relations, first check whether any chain exists at all.
यदि पहले छात्र की आयु दूसरे के बराबर है और दूसरे की आयु तीसरे के बराबर है, तो पहले और तीसरे की आयु भी बराबर होगी। / If the first student has the same age as the second, and the second has the same age as the third, then the first and third have the same age.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए संबंध संक्रामक है। / So the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
समान विशेषता वाले संबंधों में संक्रामकता जाँचने के लिए समानता की कड़ी बनाइए। / For same-property relations, connect equality through the middle object.
\(a\equiv b \pmod{2}\) का अर्थ है (a) और (b) की सम-विषम प्रकृति समान है। / \(a\equiv b \pmod{2}\) means (a) and (b) have the same parity.
Step 2
Why this answer is correct
यदि (b) और (c) की प्रकृति भी समान है, तो (a) और (c) भी समान प्रकृति के होंगे। / If (b) and (c) also have the same parity, then (a) and (c) have the same parity.
Step 3
Exam Tip
शेषफल समानता वाले संबंधों में संक्रामकता अक्सर मिलती है। / Congruence-type relations are usually transitive.
((1,2)) और ((2,2)) से फिर ((1,2)) चाहिए, जो है। / ((1,2)) and ((2,2)) require ((1,2)), which is present.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए, जो है। ((2,2)) और ((2,3)) से ((2,3)) भी है। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,2)) with ((2,3)) requires ((2,3)). Both are present.
Step 3
Exam Tip
आत्म युग्मों के साथ बने जुड़ाव भी ध्यान से जाँचें। / Also check chains involving self-pairs.
समानता में यदि पहला दूसरे के बराबर है और दूसरा तीसरे के बराबर है, तो पहला तीसरे के बराबर होगा। / In equality, if the first equals the second and the second equals the third, then the first equals the third.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए समानता संबंध संक्रामक होता है। / Therefore equality is transitive.
Step 3
Exam Tip
दैनिक भाषा वाले विकल्पों में गणितीय नियम को स्पष्ट रूप से जाँचें। / For real-life wording, translate it into the mathematical rule.
तुल्यता संबंध में केवल ((a,a)) जैसे युग्म होते हैं। / The identity relation contains only pairs of the form ((a,a)).
Step 2
Why this answer is correct
यदि ((a,a)) और ((a,a)) मिलें, तो आवश्यक ((a,a)) पहले से मौजूद है। / If ((a,a)) and ((a,a)) are used, the required pair ((a,a)) is already present.
Step 3
Exam Tip
पहचान संबंध को परावर्ती, सममित और संक्रामक तीनों के उदाहरण के रूप में याद रखें। / Remember the identity relation as reflexive, symmetric, and transitive.
संक्रामकता की शर्त तभी जाँची जाती है जब ((a,b)) और ((b,c)) जैसे युग्म मौजूद हों। / The transitivity condition is checked only when pairs like ((a,b)) and ((b,c)) exist.
Step 2
Why this answer is correct
रिक्त संबंध में ऐसे कोई युग्म नहीं होते, इसलिए शर्त टूटती नहीं है। / The empty relation has no such pairs, so the condition is never violated.
Step 3
Exam Tip
रिक्त संबंध को अक्सर आसानी से संक्रामक माना जाता है, इसे भूलें नहीं। / Remember that the empty relation is transitive by vacuous truth.
A. हाँ, क्योंकि जरूरी युग्म ((1,3)) मौजूद है/Yes, because the required pair ((1,3)) is present
Step 1
Concept
((1,2)) और ((2,3)) में बीच वाला तत्व (2) समान है। / The pairs ((1,2)) and ((2,3)) have the common middle element (2).
Step 2
Why this answer is correct
संक्रामकता के लिए ((1,3)) चाहिए, और यह (R) में है। / Transitivity needs ((1,3)), and it is in (R).
Step 3
Exam Tip
केवल उन्हीं युग्मों पर ध्यान दें जिनमें दूसरे युग्म का पहला तत्व पहले युग्म के दूसरे तत्व से मिलता है। / Check only pairs where the second element of the first pair matches the first element of the second pair.
A. यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) होने पर हमेशा \((a,c)\in R\) हो/If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always imply \((a,c)\in R\)
Step 1
Concept
संक्रामक संबंध में पहले और दूसरे युग्म को जोड़कर तीसरे युग्म की जाँच की जाती है। / In a transitive relation, two connected pairs force a third pair.
Step 2
Why this answer is correct
यदि \((a,b)\in R\) और \((b,c)\in R\) से हमेशा \((a,c)\in R\) मिलता है, तो संबंध संक्रामक है। / If \((a,b)\in R\) and \((b,c)\in R\) always give \((a,c)\in R\), the relation is transitive.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में बीच वाले तत्व को पहचानकर सीधे आवश्यक युग्म खोजें। / In exams, first spot the common middle element.
A. हर ((a,b)) और ((b,c)) की कड़ी बनाकर ((a,c)) जांचना/Make every ((a,b)) and ((b,c)) chain and check ((a,c))
Step 1
Concept
संक्रमणीयता युग्मों की कड़ी पर निर्भर करती है। / Transitivity depends on chains of ordered pairs.
Step 2
Why this answer is correct
इसलिए हर संभव ((a,b)), ((b,c)) से बनने वाले ((a,c)) को मूल संबंध में देखना चाहिए। / So for every possible ((a,b)), ((b,c)), check whether ((a,c)) is in the relation.
Step 3
Exam Tip
परीक्षा में सूची बनाकर जांचना सबसे कम गलती वाला तरीका है। / In exams, making a small list is the safest method.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)), ((2,3)) और ((3,4)) से ((2,4)) चाहिए। / ((1,2)) with ((2,3)) requires ((1,3)), and ((2,3)) with ((3,4)) requires ((2,4)).
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) और ((3,4)) से ((1,4)) भी मौजूद है। / ((1,3)) with ((3,4)) also requires ((1,4)), which is present.
Step 3
Exam Tip
सीढ़ी जैसे संबंधों में सभी छोटे और लंबे कदम जांचें। / In step-like relations, check both short and long jumps.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((2,2)) और ((3,3)) से बनने वाली जरूरतें भी मौजूद युग्मों में पूरी हैं। / Requirements involving ((2,2)) and ((3,3)) are also satisfied by existing pairs.
Step 3
Exam Tip
अपने-आप वाले युग्म संबंध को मजबूत कर सकते हैं, पर जांच फिर भी करें। / Self-pairs can support the relation, but still check the chains.
A. ((3,1)) जरूरी नहीं है, लेकिन ((3,*)) से कोई कड़ी नहीं बनती; वास्तव में यह संक्रमणीय है/((3,1)) is not required, and no chain starts from (3); actually it is transitive
Step 1
Concept
दिए संबंध में बनने वाली कड़ियों को देखें। / Check the chains formed in the relation.
Step 2
Why this answer is correct
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) मिलता है; ((2,1)) और ((1,2)) से ((2,2)) मिलता है; शर्तें पूरी हैं। / ((1,2)) and ((2,3)) require ((1,3)), and ((2,1)) and ((1,2)) require ((2,2)); these are present.
Step 3
Exam Tip
अनुपस्थित युग्म तभी गलती है जब वह सच में जरूरी हो। / A missing pair matters only when it is actually required.
A. (R) संक्रमणीय माना जा सकता है/(R) can be considered transitive
Step 1
Concept
संक्रमणीयता की शर्त तभी सक्रिय होती है जब ((a,b)) और ((b,c)) दोनों हों। / The transitivity condition becomes relevant only when both ((a,b)) and ((b,c)) are present.
Step 2
Why this answer is correct
यदि ऐसी कोई कड़ी नहीं है, तो शर्त का उल्लंघन नहीं होता। / If no such chain exists, the condition is not violated.
Step 3
Exam Tip
बिना कड़ी वाले संबंधों में जल्दी से गलत निष्कर्ष न निकालें। / Do not quickly call a relation non-transitive when no chain exists.
A. ऐसे युग्म ढूंढना जिनमें पहले का दूसरा तत्व और दूसरे का पहला तत्व समान हो/Finding pairs where the second element of the first pair equals the first element of the second pair
Step 1
Concept
संक्रमणीयता दो युग्मों की कड़ी पर आधारित है। / Transitivity is based on a chain of two pairs.
Step 2
Why this answer is correct
कड़ी तभी बनती है जब एक युग्म का दूसरा तत्व दूसरे युग्म का पहला तत्व हो। / A chain is formed when the second element of one pair equals the first element of another pair.
Step 3
Exam Tip
संख्या नहीं, सही कड़ी पहचानना जरूरी है। / Identifying the correct chain matters more than counting pairs.
((1,2)) और ((2,3)) से ((1,3)) चाहिए। / From ((1,2)) and ((2,3)), ((1,3)) is required.
Step 2
Why this answer is correct
((1,3)) मौजूद है; ((2,2)) के साथ बनने वाली जरूरतें भी मौजूद युग्मों से पूरी हैं। / ((1,3)) is present, and the requirements involving ((2,2)) are also satisfied.
Step 3
Exam Tip
हर युग्म को दूसरे युग्म से जोड़कर जांचना सुरक्षित तरीका है। / Checking each possible chain is the safest method.
