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A. पूरा x-अक्ष (यानी रेखा \(y=0\))/The whole x-axis (i.e. the line \(y=0\))
Explanation
Simple Explanation
शून्य बहुपद \(p(x)=0\) का अर्थ है हर वास्तविक x के लिए \(y=p(x)=0\)। इसलिए ग्राफ उन सभी बिंदुओं का सेट है जिनके y‑निर्देशांक शून्य हैं, अर्थात् रेखा \(y=0\) (x-अक्ष) पूरी तरह शामिल है। विकल्प D गलत है क्योंकि यह केवल उद्गम को बताता है जबकि असल में अनन्त कई बिंदु (पूरे x-अक्ष) होते हैं। विकल्प B गलत है क्योंकि y-अक्ष वह लंबवत रेखा \(x=0\) है, जो अलग है। विकल्प C स्पष्टत: गलत है क्योंकि हर x के लिए एक y मान मौजूद है। परीक्षा टिप: किसी बहुपद का ग्राफ हमेशा y = p(x) होता है — शून्य बहुपद के लिए यही रेखा y=0 बनती है। / The zero polynomial \(p(x)=0\) yields \(y=p(x)=0\) for every real x. Thus the graph consists of all points whose y-coordinate is zero — the entire line \(y=0\), i.e. the x-axis. Option D is incorrect because the graph is not just the origin; it contains infinitely many points (every (x,0)). Option B is wrong since the y-axis is the vertical line \(x=0\), not \(y=0\). Option C is false because a value exists for every x. Exam tip: Remember the graph of a polynomial is the set of points \((x,p(x))\); plug in the definition to see the shape quickly.
A. डिग्री कम से कम (4) होगी/The degree is at least (4)
Explanation
Simple Explanation
चार अलग वास्तविक शून्यक के लिए डिग्री कम से कम चार चाहिए। शून्यकों की संख्या डिग्री से अधिक नहीं होती। / Four distinct real zeroes need degree at least four. The number of zeroes cannot exceed the degree.
A. इससे शून्यक निर्धारित नहीं होता/A zero cannot be determined from this information alone
Explanation
Simple Explanation
y-अक्ष पर प्रतिच्छेद बहुपद का मान p(0) देता है; यहाँ p(0)=−8 है। शून्यक वे x मान होते हैं जिनके लिये
\(p(x)=0\) (यानी x-अक्ष पर प्रतिच्छेद)। केवल y-अक्ष पर प्रतिच्छेद जानकर किसी x‑शून्यक का निर्धारण नहीं किया जा सकता क्योंकि y‑मान (यहाँ −8) एक x‑मान नहीं है। विकल्प B (शून्यक −8) प्रायः भ्रम से आता है — वह y‑मान को x‑मान समझने की गलती है और इसलिए गलत है। एक परीक्षीय टिप: किसी बिंदु के शून्यक होने की पुष्टि के लिए
\(p(x)=0\) पर रखकर जाँच करें या x‑अक्ष पर प्रतिच्छेद (y=0) देखें। / The y-intercept gives the value \(p(0)\); here \(p(0)=−8\). Zeros are x-values satisfying \(p(x)=0\), i.e. where the graph meets the x-axis. Knowing only the y-intercept does not determine any x-zero because the y-value (−8) is not an x-coordinate. Option B (zero = −8) is a common confusion that mistakes the y-value for an x-value and is therefore incorrect. Exam tip: to find zeros set \(p(x)=0\) or look for x-axis intersections (y=0).
x-अक्ष पर किसी भी बिंदु का y-निर्देशांक शून्य होता है। बिंदु (7, 0) का अर्थ है कि x=7 पर फलन का मान 0 है, यानी \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) और C (-7) गलत हैं क्योंकि वे x-निर्देशांक या उसका ऋण मान हैं, न कि फलन का मान; विकल्प D (1) भी असंगत है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु (a, b) पर पहुंचकर हमेशा याद रखें कि फलन का मान \(p(a)=b\) होता है। / Any point on the x-axis has y-coordinate 0. The point (7, 0) therefore means the polynomial's value at x=7 is 0, i.e. \(p(7)=0\). Options B (7) and C (-7) confuse the x-coordinate with the function value; option D (1) is also incorrect. Exam tip: for a point (a, b) on a graph, always use \(p(a)=b\).
A. (0) शून्यक है क्योंकि ग्राफ मूल बिंदु (0,0) पर जाता है; अतः \(p(0)=0\)/(0) is a zero because the graph passes through the origin (0,0); hence \(p(0)=0\)
Explanation
Simple Explanation
किसी फलन का शून्यक वह x-मूल्य होता है जिसके लिए फलन का मान शून्य हो, यानी ग्राफ x-अक्ष पर स्थित बिंदु (a,0) देता है। जब ग्राफ y-अक्ष को (0,0) पर काटता है तो उसी बिंदु पर x-अक्ष भी कटता है; अतः \(p(0)=0\) और x=0 शून्यक है। नज़दीकी भ्रमित विकल्प C गलत है क्योंकि सामान्यतः y-अक्ष का कटान शून्यक तभी नहीं होता जब तक कि वह (0,0) न हो — पर यहाँ कटान विशेष रूप से (0,0) है। परीक्षात्मक टिप: किसी बिंदु (a,0) को देखें — यदि y का मान 0 है तो x=a अवश्य शून्यक है। / A zero (root) is an x-value a for which the function value is zero, i.e. the graph passes through (a,0). If the graph meets the y-axis at (0,0), that point lies on the x-axis as well, so \(p(0)=0\) and x=0 is a root. The closest distractor (C) is wrong because although a generic y-intercept need not be a root, the specific y-intercept here is the origin, which is also an x-intercept. Exam tip: any point of the form (a,0) on the graph immediately tells you x=a is a zero of the polynomial.
स्पर्श बिंदु (4,0) का अर्थ है x=4 एक शून्य है और कटान बिंदु (-2,0) का अर्थ है x=-2 एक शून्य है। इसलिए शून्यकों का योग
\(4+(-2)=2\)। नज़दीकी भ्रमित करने वाला विकल्प: 6 तब गलत होगा जब कोई चिह्न भूलकर मात्राओँ को जोड़कर |4|+|2| = 6 लिख दे; यहाँ संकेत का चिह्न मायने रखता है। परीक्षा टिप: किसी बिंदु पर ग्राफ का 'स्पर्श' भी रूट (zero) होता है — यह अक्सर even multiplicity देता है, पर योग में वही मान जोड़ते हैं। / A touch at (4,0) means x=4 is a zero and a crossing at (-2,0) means x=-2 is a zero. Thus the sum of zeros is \(4+(-2)=2\). Closest distractor: 6 would result from incorrectly adding absolute values (4+2) and ignoring the sign; that is incorrect. Exam tip: a touch-point is still a root (often with even multiplicity), and you must include its value when summing zeros.
B. ग्राफ (0,0) से गुजरता है/The graph passes through (0,0)
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद p(x) का वास्तविक शून्यक a तब होता है जब p(a)=0। अतः 0 शून्यक तभी होगा जब
\(p(0)=0\)। ग्राफिकली इसका अर्थ है कि x=0 पर य‑मान शून्य होना चाहिए — यानी ग्राफ मूल बिंदु (0,0) से गुज़रना चाहिए। निकटतम विचलन (जैसे (5,0)) बताता है कि 5 शून्यक है, न कि 0; और (0,5) में x=0 है पर y≠0 इसलिए शून्यक नहीं। टिप: परीक्षा में सीधे \(p(0)\) की वैल्यू निकालें या ग्राफ पर x=0 का y‑मान चेक करें। / A number a is a real zero of a polynomial p(x) if and only if \(p(a)=0\). Therefore 0 is a zero exactly when \(p(0)=0\). On the graph this means the curve must pass through the origin (0,0). The point (5,0) would indicate 5 is a zero, not 0; the point (0,5) has x=0 but y≠0 so 0 is not a root there. Exam tip: compute \(p(0)\) or check the y‑coordinate at x=0 on the graph to decide quickly.
यदि \(p(a)=0\) हो तो बहुपद का ग्राफ बिंदु \((a,0)\) से गुजरता है। यहाँ शून्य मान \(2,5,9\) अलग‑अलग हैं, इसलिए तीन अलग‑अलग \(x\)-अक्ष अंतरबिंदु होंगे। सबसे निकटभ्रामक विकल्प 'दो' तब गलत होगा जब किसी दो शून्यों को एक जैसा मान लिया जाए; 'नौ' इस प्रश्न में गिनती की जगह किसी मान को गिनने की भूल है। परीक्षा टिप: दिए गए शून्य मानों की अलग‑अलगता जाँचें — किसी शून्य का गुणकता (multiplicity) होने पर भी वह एक ही इंटरसेप्ट देता है। / If \(p(a)=0\) then the graph passes through the point \((a,0)\). Since the zeros 2, 5 and 9 are distinct, there are three distinct x‑intercepts. The closest distractor 'Two' would only be correct if two of the zeros coincided; 'Nine' confuses the value 9 with the count of intercepts. Exam tip: always check whether zeros are distinct — repeated roots (multiplicity) still produce a single x‑intercept.
B. कैसे भी, \(-1\) और \(4\) के बीच कम से कम एक x-अक्ष पर अन्तरसन्निकटन होगा/There is at least one x-axis intersection between \(-1\) and \(4\)
Explanation
Simple Explanation
क्यों सही: बहुपद फलन हमेशा निरन्तर होता है। यदि किसी निरन्तर फलन के दो बिंदुओं पर मानों के चिह्न बदले हों (यहाँ \(p(-1)>0\) और \(p(4)<0\)), तो Intermediate Value Theorem के अनुसार उनके बीच किसी स्थान पर ऐसा मान होगा जहाँ \(p(x)=0\)। इसलिए कम से कम एक x-अक्ष कटान मौजूद होगा।
क्यों अन्य विकल्प गलत हैं: A गलत है क्योंकि केवल \(p(-1)>0\) और \(p(4)<0\) होना यह नहीं दर्शाता कि दोनों बिंदु खुद शून्य हैं। C गलत है क्योंकि संकेत परिवर्तन होने पर शून्य का होना असम्भव नहीं बल्कि अनिवार्य है। D गलत है क्योंकि y-अक्ष पर कटना x-अक्ष पर कटने से सम्बन्धित नहीं है और यहाँ उस बारे में कोई जानकारी नहीं दी गयी।
टिप: दो बिंदुओं पर फलन के चिह्न देखकर Intermediate Value Theorem लागू करें — संकेत बदलते हैं तो बीच में रूट जरूरी है। / Why correct: A polynomial is continuous everywhere. If a continuous function takes opposite signs at two points (here \(p(-1)>0\) and \(p(4)<0\)), the Intermediate Value Theorem guarantees at least one point in between where \(p(x)=0\). Hence there is at least one x-axis intersection in \((-1,4)\).
Why other options are wrong: A is wrong because positive at \(-1\) and negative at \(4\) does not mean those points themselves are zeros. C contradicts the sign change — a root must exist. D is irrelevant: cutting the y-axis is unrelated and not implied by the given values.
Exam tip: For polynomials check values at two x's — a sign change implies a root between them by the Intermediate Value Theorem.
B. एक (दोहरा) वास्तविक शून्यक/One (repeated) real zero
Explanation
Simple Explanation
बहुपद को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2+4x+4=(x+2)^2\)। इसलिए शून्यक \(x=-2\) मिला है पर वह द्वैतीय गुणांक (multiplicity) 2 के साथ आता है — मतलब केवल एक अलग वास्तविक शून्यक है। दूसरे तरीके से, विभेदक \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=16-16=0\) है, इसलिए एक द्वैतीय (repeated) वास्तविक मूल है। नज़दीकी ग़लत विकल्प (A) इसलिए गलत है क्योंकि \(\Delta>0\) नहीं है, अतः दो भिन्न वास्तविक शून्यक नहीं हैं। टिप: शीघ्र पहचान के लिए पूर्ण वर्ग या \(\Delta\) की जाँच करें। / The polynomial factors as \(x^2+4x+4=(x+2)^2\). Thus the only root is \(x=-2\), but it has multiplicity 2 — so there is one distinct real zero (a repeated root). Using the discriminant: \(\Delta=b^2-4ac=4^2-4\cdot1\cdot4=0\), which indicates a repeated real root. The closest distractor (A) is incorrect because \(\Delta\) is not positive, so there are not two distinct real zeros. Exam tip: check for a perfect square trinomial or compute \(\Delta\) to decide distinct/repeated/no real roots quickly.
A. (x)-अक्ष पर आने पर बहुपद का मान शून्य होता है, यानी \(p(x)=0\)/On the x-axis the polynomial's value is zero, i.e. \(p(x)=0\)
Explanation
Simple Explanation
x-अक्ष पर मिलने का अर्थ y=0 होना है; बहुपद का मान y होने पर y=0 पर आने का मतलब समीकरण \(p(x)=0\) का समाधान होना है—इसीलिए x-अक्ष के छेद बहुपद के शून्यक (roots) होते हैं। y-अक्ष पर मिलने का अर्थ x=0 होना है और उस बिंदु का y-अक्ष पर मान \(p(0)\) होता है; यह शून्य तभी होगा जब \(p(0)=0\)। इसलिए विकल्प B गलत है क्योंकि वह कहता है कि y-अक्ष पर हमेशा \(p(x)=0\) होता है। विकल्प C और D भी गलत हैं: C तभी सही होगा जब शून्यक x=0 भी हो (यानि \(p(0)=0\)), और D गलत है क्योंकि x-अक्ष पर मिलना स्पष्ट रूप से शून्यक दर्शाता है। परीक्षा टिप: शून्यक खोजने के लिए y=0 रखकर \(p(x)=0\) हल करें; y-अवरोध (y-intercept) पाने के लिए x=0 डालकर \(p(0)\) निकालें। / An intersection with the x-axis means y=0, so the x-coordinate satisfies \(p(x)=0\); hence x-axis intercepts are the polynomial's zeros (roots). An intersection with the y-axis occurs at x=0 and the y-value is \(p(0)\), which is not necessarily zero. Thus B is incorrect because it wrongly claims the y-axis always gives \(p(x)=0\). C is only true in the special case that \(p(0)=0\) (i.e. zero is a root); D is false because an x-axis intersection does indicate a zero. Exam tip: set y=0 and solve \(p(x)=0\) for roots; set x=0 to find the y-intercept \(p(0)\).
A. आलेख (-6,0) पर x-अक्ष को काटे/The graph cuts the x-axis at (-6,0)
Explanation
Simple Explanation
किसी बहुपद का शून्यक a होने का अर्थ है p(a)=0। जब ग्राफ x-अक्ष को बिंदु (-6,0) पर काटता है तो y-मान 0 होता है, अतः p(-6)=0 और -6 शून्यक है। विकल्प B गलत है क्योंकि (0,-6) y-अक्ष पर है जहाँ x=0, न कि x=-6; विकल्प C गलत है क्योंकि वहाँ x=6 है, न कि -6; विकल्प D में y=6 है इसलिए p(-6)=6≠0। टिप: शून्यक के लिए हमेशा बिंदु का दूसरा घटक (y) शून्य होना चाहिए और क्रम (x,y) का ध्यान रखें। / A number a is a zero (root) of a polynomial if p(a)=0. If the graph meets the x-axis at (-6,0) then the function value at x=-6 is 0, so p(-6)=0 and -6 is a zero. Option B is wrong because (0,-6) is a y-axis intercept (x=0), not x=-6. Option C gives x=6, the wrong sign. Option D has y=6, so p(-6)=6≠0. Exam tip: a root corresponds to an x-intercept, so check the coordinate is (-6,0) with y=0 and the correct sign for x.
किसी बहुपद का शून्य वह x‑मान है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, अर्थात् ग्राफ़ x‑अक्ष को काटता है। इस अर्थ में शून्य दर्शाने वाला बिंदु का y‑निर्देशांक \\(y=0\\) होना चाहिए। बिंदु (9,0) का y‑निर्देशांक 0 है, इसलिए यह बहुपद का शून्य दर्शाता है। सबसे नज़दीकी विचलन (0,9) गलत है क्योंकि इसका y‑निर्देशांक 0 नहीं है (यह y‑अक्ष पर है), इसी तरह (9,9) और (0,-9) भी x‑अक्ष पर नहीं हैं। परीक्षा टिप: किसी भी बिंदु में तुरंत देखें कि क्या y = 0 है — अगर हाँ, तो वह x‑value शून्य है। / A zero of a polynomial corresponds to an x‑intercept of its graph, i.e. a point whose y‑coordinate is zero. Thus the representing point must satisfy \(y=0\). The point (9,0) has y = 0, so x = 9 is a zero. The closest distractor (0,9) is incorrect because its y ≠ 0 (it lies on the y‑axis); similarly (9,9) and (0,-9) do not lie on the x‑axis. Exam tip: quickly check the y‑coordinate — zeros appear where y = 0.
x-अक्ष पर किसी बिंदु का y‑मान हमेशा 0 होता है, इसलिए यदि ग्राफ x‑अक्ष को (6, 0) पर काटता है तो p(6)=0 होगा। गलत विकल्प B (6) इसलिए भ्रामक है क्योंकि 6 केवल x‑निर्देशांक है, y‑मान नहीं। टिप: x‑अक्ष पर हमेशा y=0 होता है — कटान बिंदु से p(x) का मान सीधे पढ़ें। / Any point on the x‑axis has y = 0. Since the graph crosses the x‑axis at (6, 0), the function value p(6) is 0. Option B (6) is misleading because 6 is the x‑coordinate, not the y‑value. Exam tip: an intersection with the x‑axis always means the function value at that x is 0 (p(x)=0).
x-अक्ष पर कटान बिंदु वे बिंदु होते हैं जहाँ बहुपद का मान शून्य हो (यानी \(p(x)=0\)) और y‑निर्देशांक 0 होता है। \(p(x)=x+4\) को \(0\) के बराबर रखने पर \(x+4=0\) मिलता है जिससे \(x=-4\)। अतः कटान बिंदु \((-4,0)\) है। विकल्प B (4,0) गलत है क्योंकि संकेत उल्टा है; विकल्प C और D y-अक्ष (x=0) पर स्थित बिंदु हैं, x-अक्ष पर नहीं। परीक्षण-टिप: x-अक्ष का पता लगाने के लिए हमेशा फंक्शन को 0 के बराबर रखें। / An x-axis intersection (x-intercept) occurs where the polynomial equals zero (i.e. \(p(x)=0\)) so the y-coordinate is 0. For \(p(x)=x+4\), setting \(x+4=0\) gives \(x=-4\), hence the intercept is \((-4,0)\). Option B (4,0) is incorrect due to the wrong sign; options C and D are points on the y-axis (x=0), not x-axis intercepts. Exam tip: to find x-intercepts, set the function equal to zero and solve for x.
x-अक्ष पर कटाव वही बिंदु होता है जहाँ बहुपद का मान शून्य हो, यानी \(p(x)=0\)। \(p(x)=x-7\) में \(x-7=0\) से \(x=7\) मिलता है, इसलिए बिंदु (7, 0) है। विकल्प B (−7,0) गलत है क्योंकि वह \(x=-7\) को दर्शाता जो \(x-7=0\) से प्राप्त नहीं होता। परीक्षात्मक टिप: किसी भी बहुपद का x-अक्ष पर इंटरसेप्ट पाने के लिए उसे शून्य रखकर x का मान निकालें। / An x-intercept occurs where the polynomial equals zero, i.e. \(p(x)=0\). For \(p(x)=x-7\), solving \(x-7=0\) gives \(x=7\), so the point is (7, 0). Option B (−7, 0) is incorrect because that would correspond to \(x=-7\), not a root of this polynomial. Exam tip: set the polynomial equal to zero and solve for x to find x-axis intersections.
मूल बिंदु (0,0) का अर्थ है कि जब x=0 लिया जाए तो बहुपद का मान p(0)=0 होगा। इसलिए x=0 अवश्य एक शून्यक (root) है। अन्य विकल्प — जैसे 1 या -1 — तभी शून्यक होंगे जब p(1)=0 या p(-1)=0; लेकिन origin से गुजरने से इनके लिए कोई गारंटी नहीं मिलती। परीक्षात्मक सुझाव: किसी बिंदु से गुजरने की स्थिति में उस बिंदु के x‑मान को बहुपद में रखकर p(x) = 0 की जाँच करें। / Passing through the origin (0,0) means p(0)=0, so x=0 is necessarily a root of the polynomial. Other choices (1, -1, 2) would be roots only if p(1)=0, p(-1)=0, or p(2)=0 respectively; the graph passing through the origin does not guarantee those. Exam tip: substitute x=0 into the polynomial to check quickly whether 0 is a root.
A. \((4)\) बहुपद का शून्यक है/\((4)\) is a zero (root) of the polynomial
Explanation
Simple Explanation
बिंदु \((4,0)\) का अर्थ है कि \(x=4\) पर बहुपद की मान \(p(x)=0\) है, अतः \(4\) बहुपद का शून्यक (root) है। विकल्प B गलत है क्योंकि \((0)\) तभी शून्यक होगा जब बिंदु \((0,0)\) या \(p(0)=0\) हो — यहाँ \(x=4\) है, न कि 0। विकल्प C गलत है क्योंकि y-अक्ष पर कटान वह बिंदु होता है जहाँ \(x=0\)। विकल्प D गलत है क्योंकि एक बिंदु \((4,0)\) होने से बहुपद का स्थिर होना सिद्ध नहीं होता (स्थिर बहुपद के सभी बिंदु एक समान y देंगें)। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर कटान (a,0) हमेशा शून्यक a देता है; y-अक्ष पर कटान के लिए x=0 लगाएँ। / The point \((4,0)\) means the polynomial value is \(p(4)=0\), so 4 is a root (zero) of the polynomial. Option B is wrong because 0 would be a root only if \(x=0\) (i.e. point \((0,0)\) or \(p(0)=0\)); here x=4. Option C is incorrect because a y-intercept occurs at \(x=0\), not at \(x=4\). Option D is wrong since a single x-intercept does not imply the polynomial is constant. Exam tip: x-intercepts \((a,0)\) correspond to roots a; to find y-intercept set \(x=0\).
बिंदु \((7,0)\) का अर्थ है कि जब \(x=7\) है तो मूल्य \(y=0\) होता है। बहुपद का मान फ़ंक्शन के रूप में लिखा जाता है: \(y=p(x)\)। इसलिए \(p(7)=0\)। विकल्प B (7) भ्रमित करने वाला है क्योंकि 7 केवल x-निर्देशांक है, परन्तु प्रश्न में पूछा गया है पॉलिनोम का मान (y)। परीक्षात्मक टिप: किसी भी बिंदु \((a,0)\) पर बहुपद का मान हमेशा 0 होता है। / The point \((7,0)\) means that when \(x=7\), the function value \(y=0\). For a polynomial written as \(y=p(x)\), this gives \(p(7)=0\). Option B (7) is incorrect because 7 is the x-coordinate, not the value of the polynomial at that x. Short exam tip: any point \((a,0)\) on the x-axis is a root of the polynomial, so \(p(a)=0\).
एक बहुपद का शून्यक वह \(x\)-मान होता है जिस पर \(p(x)=0\) होता है. यहाँ दिया है कि \(p(-3)=0\), अतः \(-3\) पर बहुपद का मान शून्य है, यानी \(-3\) शून्यक (root) है. निकटतम भ्रामक विकल्प \(3\) गलत है क्योंकि केवल \(-3\) के लिए ही मूल्य शून्य होने का दावा किया गया है; \(3\) के लिए ऐसा होना आवश्यक नहीं है। परिक्षा-सुझाव: किसी दिए हुए मान के लिए \(p(मान)\) निकालकर चेक करें — यदि परिणाम शून्य हो तो वही शून्यक है। / A zero (root) of a polynomial is an x-value for which \(p(x)=0\). Since \(p(-3)=0\) is given, \(-3\) is a root of the polynomial. The closest distractor, 3, is incorrect because the condition is satisfied only at \(-3\) as stated; there is no information that \(p(3)=0\). Exam tip: To identify a root, substitute the candidate value into \(p(x)\) — if the result is zero, it is a root.
बिंदु \\( (8,0) \\) का अर्थ है कि उस x-अवस्थान पर गुणनफल (फंक्शन) का मान y=0 है। इसलिए \\(p(8)=0\\)। विकल्प \\(8\\) भ्रमित करने वाला है क्योंकि वह x-निर्देशांक है न कि फंक्शन का मान। परीक्षा-टिप: x-अक्ष पर किसी बिंदु पर हमेशा y=0 होता है, इसलिए उस x का प्रतिस्थापन करने पर फंक्शन शून्य होना चाहिए। / The point \\( (8,0) \\) means that at x=8 the function value y is 0. Hence \\(p(8)=0\\). Option \\(8\\) is a common trap — it is the x-coordinate, not the value of the polynomial. Exam tip: any intersection with the x-axis gives a root, so substitute the x-value to get zero.
किसी बहुपद का ग्राफ x-अक्ष पर तभी कटेगा जब उस बिंदु पर बहुपद का मान (y) शून्य हो। x=0 पर कटने का अर्थ है कि x में 0 डालने पर p(0)=0 होना चाहिए। विकल्प B में p(0)=5 है — y शून्य नहीं है इसलिए ग्राफ x-अक्ष पर नहीं कटेगा। विकल्प C में p(1)=0 है, पर वह x=1 पर कटता है, न कि x=0 पर। विकल्प D में p(-1)=1 है, जो न तो शून्य है और न ही x=0 का स्थान है। परीक्षा-सूत्र: किसी दिए x-वस्तु के लिए बहुपद में वह मान डालकर तुरंत जाँच करें कि मान शून्य है या नहीं। / A polynomial intersects the x-axis at a point only if its value (y) at that x is zero. To intersect at x = 0 we must have p(0) = 0. Option B gives p(0)=5 so the value is not zero and the graph does not meet the x-axis at x=0. Option C has a zero at x=1, so the intersection is at x=1, not x=0. Option D yields p(-1)=1, which is not zero. Exam tip: substitute the specified x into the polynomial — if the result is 0, the graph crosses the x-axis at that x-coordinate.
x-अक्ष पर स्पर्श करने का अर्थ है कि परवलय का शीर्षक (vertex) उसी बिंदु पर है और समीकरण के दोनों मूल समान होते हैं — यानि द्विघात समीकरण का एक ही वास्तविक विशिष्ट शून्य है (दोहऱा मूल)। गणितीय दृष्टि से यह स्थिति \\(\Delta=0\\) अर्थात विसंगति (discriminant) शून्य होने पर आती है। इसलिए शून्यकों की संख्या एक है (मूल 2, पर गुणनफल में दोहरान होना अलग बात है)। निकटतम ग़लत विकल्प: 'दो' तब होता जब परवलय x-अक्ष को दो बिंदुओं पर काटे; 'कोई नहीं' तब होता जब परवलय x-अक्ष से ऊपर पूरी तरह हो; 'अनंत' असम्भव है। परीक्षात्मक टिप: किसी द्विघात के एक ही शून्य के लिए विसंगति \\(\Delta=0\\) याद रखें। / Touching the x-axis means the parabola's vertex lies on the axis and the quadratic has a repeated root — one distinct real zero (a double root). In terms of discriminant, this corresponds to \\(\Delta=0\\). So there is exactly one real zero: x=2. Why other options are wrong: 'Two' would require the parabola to intersect the axis at two distinct points; 'None' applies when the parabola does not meet the axis at all; 'Infinite' is impossible for a polynomial of finite degree. Exam tip: for a double root of a quadratic check that \\(\Delta=0\\).
