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एक चर के बहुपद में चर की घात केवल अशून्य पूर्णांक या शून्य होती है। परीक्षा में ऋणात्मक घात और मूल से बचें। / In a polynomial in one variable, powers of the variable are non-negative integers. In exams, reject negative powers and roots of the variable.
प्रमुख पद \(3x^2\) है इसलिए प्रमुख गुणांक (3) है। सबसे बड़ी घात वाले पद का गुणांक प्रमुख गुणांक कहलाता है। / The leading term is \(3x^2\), so the leading coefficient is (3). The coefficient of the highest degree term is the leading coefficient.
A. हाँ क्योंकि \(\sqrt{2}\) वास्तविक गुणांक है/Yes because \(\sqrt{2}\) is a real coefficient
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) वास्तविक संख्या है और चर की घातें पूर्ण संख्याएँ हैं। वास्तविक गुणांक बहुपद में मान्य होते हैं। / \(\sqrt{2}\) is a real number and the powers of the variable are whole numbers. Real coefficients are allowed in polynomials.
पद \(4x^3\), \(x^2\), (-7x) और (1) हैं। पदों को जोड़ या घटाव के चिह्नों से अलग करें। / The terms are \(4x^3\), \(x^2\), (-7x), and (1). Separate terms by plus or minus signs.
\(q(t)=0\) का अर्थ है कि \(q(x)\) में \(x=t\) रखने पर समीकरण सत्य हो जाता है। इसलिए \(t\) उस द्विघात समीकरण का मूल कहलाता है। घात बहुपद की उच्चतम घात होती है, जबकि अचर पद और गुणांक समीकरण के पदों से संबंधित होते हैं। परीक्षा-टिप: किसी समीकरण \(q(x)=0\) का मूल जाँचने के लिए उस मान को \(x\) के स्थान पर रखकर देखें कि \(q(x)=0\) मिलता है या नहीं। / The condition \(q(t)=0\) means that substituting \(x=t\) into \(q(x)\) makes the equation true. Therefore, \(t\) is called a root of the quadratic equation. The degree is the highest power of the polynomial, while the constant term and coefficient are parts of its terms. Exam tip: To verify whether a number is a root of \(q(x)=0\), substitute it for \(x\) and check whether the result is zero.
किसी संख्या के मूल होने की जाँच करने के लिए उसे समीकरण में रखकर देखना चाहिए कि बायाँ पक्ष शून्य आता है या नहीं। x = -2 रखने पर 3(-2)² + 2(-2) - 8 = 12 - 4 - 8 = 0 प्राप्त होता है। इसलिए x = -2 इस समीकरण का मूल है। विकल्प C गलत है, क्योंकि x = 2 रखने पर मान 12 + 4 - 8 = 8 आता है, जो शून्य नहीं है। परीक्षा-युक्ति: ऋणात्मक मूल का वर्ग धनात्मक होता है, लेकिन रैखिक पद में ऋणात्मक चिन्ह बना रहता है। / To check whether a number is a root, substitute it into the equation and verify whether the left-hand side becomes zero. For x = -2, 3(-2)² + 2(-2) - 8 = 12 - 4 - 8 = 0. Therefore, x = -2 is a root of the equation. Option C is incorrect because substituting x = 2 gives 12 + 4 - 8 = 8, not zero. Exam tip: the square of a negative number is positive, but its linear term remains negative.
मूल की जाँच करने के लिए \(x=4\) को समीकरण में रखें: \(4^2-9(4)+20=16-36+20=0\)। क्योंकि बहुपद का मान शून्य आता है, इसलिए \(x=4\) इस समीकरण का मूल है। वास्तव में, \(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\), इसलिए दोनों मूल \(4\) और \(5\) हैं। परीक्षा-युक्ति: किसी संख्या के मूल होने की जाँच के लिए उसे समीकरण में रखकर बहुपद का मान शून्य होना चाहिए। / To check whether a number is a root, substitute \(x=4\) into the equation: \(4^2-9(4)+20=16-36+20=0\). Since the value of the polynomial is zero, \(x=4\) is a root. In fact, \(x^2-9x+20=(x-4)(x-5)\), so the two roots are \(4\) and \(5\); therefore, the statement that only \(x=5\) is a root is incorrect. Exam tip: a number is a root of a polynomial equation exactly when substitution gives zero.
किसी समीकरण का 0 मूल होने का अर्थ है कि \(x=0\) रखने पर समीकरण सत्य हो। रखने पर \(5(0)^2+k(0)+c=0\), अतः \(c=0\) होना आवश्यक है। \(k=0\) होना आवश्यक नहीं है। परीक्षा में 0 मूल की शर्त के लिए सीधे \(p(0)=0\) का उपयोग करें। / For 0 to be a root, substituting \(x=0\) must satisfy the equation: \(5(0)^2+k(0)+c=0\). Hence, \(c=0\) is necessary. The coefficient \(k\) need not be zero. Exam tip: for a zero root, evaluate the polynomial at \(x=0\).
जब \(p(a)=0\) होता है, तो \(x=a\) रखने पर समीकरण \(p(x)=0\) संतुष्ट होता है। इसलिए \(a\) उस समीकरण का मूल कहलाता है। गुणांक पदों के संख्यात्मक कारक होते हैं, जबकि अचर स्थिर पद और घात उच्चतम घातांक को दर्शाता है। परीक्षा-युक्ति: किसी मान के मूल होने की जाँच के लिए उसे बहुपद में रखकर परिणाम \(0\) होना चाहिए। / When \(p(a)=0\), substituting \(x=a\) satisfies the equation \(p(x)=0\). Therefore, \(a\) is called a root of the equation. Coefficients are numerical factors of terms, a constant is a fixed term, and the degree is the highest exponent. Exam tip: to check whether a value is a root, substitute it into the polynomial and verify that the result is \(0\).
यदि कोई संख्या \(\alpha\) समीकरण का मूल है तो उसे स्थान पर रखने पर \(p(\alpha)=0\) होगा। इसलिए किसी द्विघात (या किसी भी बहुपद) का मूल वह संख्या है जिससे बहुपद का मान शून्य बन जाता है। विकल्प A और C केवल विशेष बहुपदों के लिए सत्य हो सकते हैं — सामान्य परिभाषा में वे सही उत्तर नहीं हैं। विकल्प D (\(p(x)\)) बहुपद का नाम/अभिव्यक्ति है, मूल्य नहीं। परीक्षा टिप: किसी दिये गए अंक को जाँचने के लिए उसे स्थान पर रखकर \(p(\text{that value})\) निकालें — अगर परिणाम 0 आये तो वह मूल है। / If a number \(\alpha\) is a root, then substituting it gives \(p(\alpha)=0\). Thus the value of the polynomial must become zero. Options A and C (1 and -1) could be roots for some specific polynomials but are not the general definition. Option D (\(p(x)\)) is the polynomial expression itself, not the numeric value it attains. Exam tip: always verify a claimed root by substitution — compute \(p(\text{the value})\) and check if it equals 0.
क्षेत्रफल की परिभाषा से \((x+10)(x-7)=160\)। बाएँ भुजा का विस्तार करने पर \(x^2+3x-70=160\) मिलेगा। दाएँ तरफ के 160 को बाएँ स्थानांतरित करने पर \(x^2+3x-70-160=0\) अर्थात् \(x^2+3x-230=0\) आता है, इसलिए विकल्प A सही है। सबसे नज़दीकी ग़लत विकल्प B है, जिसमें केवल स्थायी पद गलत रखा गया है (\(-160\) के बजाय \(-230\)) — यह उस चरण में त्रुटि दिखाता है जहाँ आप संख्या को दूसरी ओर ले जाते हैं। परीक्षा-सुझाव: द्विघात समीकरण बनाते समय पहले गुणा (expand) करें, फिर सभी पदों को एक तरफ लाकर शून्य के रूप में व्यवस्थित करें और संकेतों (signs) की जाँच करें। / Area gives \((x+10)(x-7)=160\). Expanding the left side yields \(x^2+3x-70=160\). Bringing 160 to the left gives \(x^2+3x-70-160=0\), i.e. \(x^2+3x-230=0\), so option A is correct. The closest wrong option is B, which has the constant term \(-160\) instead of \(-230\) — a typical mistake from not moving the right-hand term across correctly. Exam tip: first expand, then move all terms to one side to form the quadratic and carefully check signs and arithmetic.
क्योंकि \(x=-1\) समीकरण का मूल है, इसलिए इसे समीकरण में रखने पर \((-1)^2+(4k-1)(-1)+3k=0\) मिलता है। अतः \(1-4k+1+3k=0\), यानी \(2-k=0\), इसलिए \(k=2\)। परीक्षा-युक्ति: दिए गए मूल को सीधे समीकरण में रखकर प्राप्त रैखिक समीकरण हल करें। / Since \(x=-1\) is a root, substitute it into the equation: \((-1)^2+(4k-1)(-1)+3k=0\). This gives \(1-4k+1+3k=0\), or \(2-k=0\), so \(k=2\). Exam tip: When a root is given, substitute it directly into the polynomial to form an equation in the parameter.
पहले बाएँ भाग का विस्तार करें: \((x-6)^2 = x^2 - 12x + 36\). अब दाएँ भाग \(4x+5\) को बाएँ भाग में ले जाकर घटाएँ: \(x^2-12x+36-(4x+5)=x^2-16x+31\). इसलिए मानक रूप \(x^2-16x+31=0\) है। निकटभ्रामक विकल्प C (\(x^2-12x+41=0\)) में मध्यवर्ती पद का मान सही है पर स्थिर पद गलत है — यह तब होता है जब स्थिर पद की घटाकर-समीक्षा में अंक गलती हो। परीक्षा-सुझाव: सभी पदों को एक तरफ लाकर समान प्रकार के पद जोड़ें/घटाएँ और अंक पर विशेष ध्यान दें। / Expand the left side: \((x-6)^2 = x^2 - 12x + 36\). Move the right side \(4x+5\) to the left and combine like terms: \(x^2-12x+36-(4x+5)=x^2-16x+31\). Thus the standard form is \(x^2-16x+31=0\). The closest distractor C (\(x^2-12x+41=0\)) keeps the middle term but has an incorrect constant — a typical arithmetic slip when subtracting the constant. Exam tip: always bring all terms to one side and simplify carefully, checking signs and arithmetic.
यदि \(x=5\) रखते हैं तो बायाँ पक्ष \(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\) बनता है, अतः उत्तर \(0\) है और \(x=5\) समीकरण का मूल है। नज़दीकी विकल्प गलत इसलिए हैं क्योंकि वे केवल परिवर्तनात्मक मान (जैसे 5) या गलत जमा/घटाव के परिणाम हैं — substitution करके ही सत्यापित करें। परीक्षा सुझाव: हर बार मूल सत्यापित करने के लिए वैल्यू सब्स्टीट्यूट कर के सरल अंकगणित करें। / Substitute \(x=5\): the left-hand side becomes \(5^2-12\cdot5+35=25-60+35=0\). Thus the value is 0 and \(x=5\) is a root. Closest distractors are incorrect because they are either the substituted value (5) or give nonzero results when substituted; always verify by direct substitution and careful arithmetic. Exam tip: perform the arithmetic step-by-step to avoid sign mistakes.
मूलों का गुणनफल सीधे गुणा करके मिलता है:
(-3)×(-8)=24। दो नकारात्मक संख्याओं का गुणनफल धनात्मक होता है इसलिए उत्तर 24 सही है। निकटतम भ्रामक विकल्प -24 इसीलिए गलत है क्योंकि वह केवल चिह्न में त्रुटि दर्शाता है (नकारात्मक बनाना) — मान भली-भांति गुणा किया गया नहीं। विकल्प 11 और -11 भी गलत हैं क्योंकि वे गणना से मेल नहीं खाते। परीक्षा-सुझाव: द्विघात समीकरण \\(ax^2+bx+c=0\\) के लिए मूलों का गुणनफल \\c/a\\ होता है; संख्यात्मक मानों पर सीधे गुणा करके सत्यापित कर लें। / Compute the product directly: (-3)×(-8)=24. The product of two negative numbers is positive, so 24 is correct. The closest distractor -24 is wrong due to sign error (making the result negative). The options 11 and -11 are incorrect because they do not match the multiplication. Exam tip: For a quadratic \(ax^2+bx+c=0\), the product of roots equals \(c/a\); for simple numeric roots just multiply them and check the sign rule for negatives.
बहुपद की घात उस चर के सबसे बड़े घातांक से निर्धारित होती है जिसका गुणक शून्य न हो। समीकरण के बाएँ पक्ष में बहुपद \(x^2+1\) है जिसकी x की सबसे बड़ी घात 2 है। इसलिए घात 2 है। विकल्प A (1) गलत है क्योंकि वहाँ x का घात 1 होना चाहिए था; विकल्प C (0) केवल स्थिर बहुपद के लिए सही होगा; विकल्प D (4) गलत है क्योंकि x-4 का कोई पद मौजूद नहीं है। परीक्षा टिप: किसी समीकर्ण की घात जानने के लिए बाएँ ओर का बहुपद मानें और स्थिर पदों को अनदेखा करके सबसे बड़ा घातांक देखें। / The degree of a polynomial is the highest exponent of the variable with a nonzero coefficient. The left-hand side polynomial x-2+1 has highest power 2, so the degree is 2. Option A (1) is incorrect because that would require a highest power of x to be 1; option C (0) would apply only to a nonzero constant polynomial; option D (4) is wrong since there is no x-4 term. Exam tip: To find the degree of an equation, look at the polynomial on the left side in standard form and ignore constant terms—take the largest exponent of the variable.
द्विघात समीकरण वह होता है जिसका उच्चतम घात‑क्रम \(x^2\) हो और उसका गुणांक शून्य न हो। यदि \(a=0\) हो जाए तो पद \(x^2\) समाप्त होकर समीकरण \(bx+c=0\) बनकर रेखीय हो जाएगा, इसलिए आवश्यक शर्त \(a\neq 0\) है। विकल्प B (\(a<0\)) गलत है क्योंकि \(a\) को ऋण होना अनिवार्य नहीं है — \(a\) धनात्मक भी हो सकता है; विकल्प D (\(a=1\)) गलत है क्योंकि वह केवल एक विशेष मामला है, पर आवश्यक नहीं। परीक्षा-सूत्र: किसी बहुपद की डिग्री तय करने से पहले हमेशा ऊँचे घात के पद का गुणांक \(\neq 0\) जांचें। / A quadratic must have a nonzero coefficient for the highest power \(x^2\). If \(a=0\), the \(x^2\) term disappears and the equation reduces to the linear form \(bx+c=0\). Thus the required condition is \(a\neq 0\). Option B (\(a<0\)) is incorrect because \(a\) need not be negative; it can be positive. Option D (\(a=1\)) is only a special case, not a necessity. Exam tip: to confirm the degree of a polynomial, always check that the coefficient of the highest-power term is nonzero.
D. इसमें हमेशा \\(c\ne0\\) होना चाहिए/It must always have \\(c\ne0\\)
Explanation
Simple Explanation
परिभाषा के अनुसार द्विघात समीकरण की सर्वोच्च घात \\(2\\) होती है और इसे मानक रूप में \\(ax^2+bx+c=0\\) लिखा जाता है जहाँ आवश्यक शर्त यही है कि \\(a\ne0\\)। परंतु \\(c\\) का मान शून्य भी हो सकता है — उदाहरण के लिए \\(ax^2+bx=0\\) या \\(ax^2=0\\) भी द्विघात समीकरण के रूप में गिने जाते हैं। इसलिए विकल्प D गलत है। निकट का भ्रामक विकल्प C नहीं है क्योंकि \\(a=0\\) होने पर घात घटकर 1 हो जाएगा। परीक्षा-सुझाव: किसी कथन की सत्यता पर संदेह होने पर एक सरल उदाहरण लेकर जाँचें, जैसे \\(x^2+2x=0\\)। / By definition a quadratic equation has degree \\(2\\) and is written in standard form \\(ax^2+bx+c=0\\) with the necessary condition \\(a\ne0\\). The constant term \\(c\\) can be zero (e.g. \\(ax^2+bx=0\\) or \\(ax^2=0\\)), so it is not required that \\(c\ne0\\). Hence option D is false. The common misconception is thinking every coefficient must be nonzero; that would make it not generally quadratic. Exam tip: verify statements by substituting a simple example such as \\(x^2+2x=0\\).
वर्ग का क्षेत्रफल भुजा का वर्ग होता है, इसलिए यदि भुजा \\(x+2)\\ है तो क्षेत्रफल \\ (x+2)^2 \\ होगा। दिया गया क्षेत्रफल 49 है, अतः समीकरण \\ (x+2)^2 = 49 \\ बनेगा। इसे मानक रूप में लाने पर विस्तार करके \\ x^2+4x+4=49 \\ और फिर सभी पद एक तरफ लाकर \\ x^2+4x-45=0 \\ मिलता है। विकल्प B (\\x+2=49\\) गलत है क्योंकि उसने भुजा को सीधे क्षेत्रफल मान लिया है; विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि वे भुजा का वर्ग लेने में त्रुटि दर्शाते हैं। परीक्षा सुझाव: शब्दों को सीधे सूत्र "क्षेत्रफल = (भुजा)2" से जोड़ें और बराबर के बाद सभी पदों को एक तरफ लाकर मानक द्विघात रूप \\ax-2+bx+c=0\\ बना लें। / Area of a square equals the square of its side. With side \\(x+2)\\ the area is \\(x+2)^2\\, and since the area is 49 the equation is \\( (x+2)^2 = 49)\\. Expanding gives \\x^2+4x+4=49\\ and rearranging yields the quadratic \\x^2+4x-45=0\\. Option B (\\x+2=49\\) is incorrect because it treats the side as if it were the area. Options C and D are wrong because they show incorrect algebraic manipulation (missing the square or misplacing terms). Exam tip: directly apply Area = (side)2 and then bring terms to one side to get the standard quadratic form before solving.
मानक रूप से एक द्विघात समीकरण को \(ax^2+bx+c=0\) के रूप में लिखा जाता है; इसलिए यदि समीकरण के दाहिने पक्ष पर संख्या है तो उसे बाएँ लाकर साइन बदलनी होगी। विकल्प A में \(x^2+2x=8\) को बाएँ लाने पर 8 बदल कर -8 होगा और हमें \(x^2+2x-8=0\) मिलता है — इसलिए A सही है। विकल्प B गलत है क्योंकि \(x^2+2x=-8\) को बाएँ लाने पर यह \(x^2+2x+8=0\) बनेगा (संकेत उल्टा)। विकल्प C और D गलत हैं क्योंकि उनमें मध्य पद का गुणांक \(-2x)\) है, जबकि लक्ष्य समीकरण में \(+2x\) है। परीक्षा टिप: हमेशा सभी पदों को एक ही तरफ (आम तौर पर बाएँ) लाकर \(ax^2+bx+c=0\) फॉर्म बनाएं। / Standard form for a quadratic is \(ax^2+bx+c=0\); to convert, bring the RHS term(s) to the left and change their signs. In option A, moving 8 to the left gives \(-8\), so \(x^2+2x=8\) becomes \(x^2+2x-8=0\) — correct. Option B is wrong because \(x^2+2x=-8\) would become \(x^2+2x+8=0\). Options C and D are incorrect because they have \(-2x\) (different sign for the linear term) not \(+2x\). Exam tip: always move all terms to one side to match \(ax^2+bx+c=0\) before comparing coefficients.
A. वास्तविक गुणांकों वाला द्विघात बहुपद/Quadratic polynomial with real coefficients
Explanation
Simple Explanation
\(\sqrt{2}\) वास्तविक लेकिन अपरिमेय है, इसलिए गुणांक वास्तविक हैं पर सभी परिमेय नहीं। घात (2) होने से यह द्विघात है। / \(\sqrt{2}\) is real but irrational, so the coefficients are real but not all rational. Since the degree is (2), it is quadratic.
योग (10) और गुणनफल (25-6=19) है। परीक्षा में संयुग्मी शून्यकों के लिए योग और गुणनफल जल्दी निकालें। / The sum is (10) and the product is (25-6=19). In exams quickly find sum and product for conjugate zeroes.
(p\(1+\sqrt{3}\)=0), इसलिए \(1+\sqrt{3}\) शून्यक है। किसी संख्या को शून्यक सिद्ध करने के लिए बहुपद का मान (0) दिखाएँ। / Since (p\(1+\sqrt{3}\)=0), \(1+\sqrt{3}\) is a zero. To prove a number is a zero, show that the polynomial value is (0).
B. एक गुणांक अपरिमेय है/One coefficient is irrational
Explanation
Simple Explanation
स्थिर पद \(-\sqrt{2}\) अपरिमेय है, जबकि बाकी गुणांक परिमेय हैं। शून्यक नियम लागू करने से पहले गुणांकों का प्रकार देखें। / The constant term \(-\sqrt{2}\) is irrational, while the other coefficients are rational. Check coefficient type before applying root rules.
(p\(\sqrt{2}\)=\(\sqrt{2}\)2-2\sqrt{2}-2=2-2\sqrt{2}-2=-2\sqrt{2}) है। मान रखते समय (\(\sqrt{2}\)2=2) लिखें। / (p\(\sqrt{2}\)=\(\sqrt{2}\)2-2\sqrt{2}-2=2-2\sqrt{2}-2=-2\sqrt{2}). When substituting, write (\(\sqrt{2}\)2=2).
दो शून्यक दिए होने पर हम द्विघात बहुपद मान सकते हैं। अग्रगुणांक 1 (monic) होने पर स्थिर पद शून्यकों के गुणनफल के बराबर होता है। गणना: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\times3\times(\sqrt{2}\times\sqrt{2})=6\times2=12\)。 विकल्प C (\(6\sqrt{2}\)) गलत है क्योंकि वहाँ \(\sqrt{2}\times\sqrt{2}=2\) को शामिल नहीं किया गया। परीक्षा टिप: सामान्यतः एक मोनिक (leading coefficient = 1) डिग्री \(n\) बहुपद का स्थिर पद = \((-1)^n\)×(सभी शून्यकों का गुणनफल) होता है; द्विघात के लिए यह सीधे शून्यकों का गुणनफल है। / With two zeros we treat the polynomial as a quadratic. For a monic polynomial (leading coefficient 1) the constant term equals the product of the zeros. Compute: \((2\sqrt{2})(3\sqrt{2})=2\cdot3\cdot(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2})=6\cdot2=12\). Option C (\(6\sqrt{2}\)) is a common mistake where the factor \(\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}=2\) was not applied. Exam tip: For a monic polynomial of degree \(n\), the constant term = \((-1)^n\) times the product of the roots; for quadratics this equals the product directly.
सामान्य द्विघात बहुपद \(ax^2+bx+c\) में शून्यकों (zeros) का गुणनफल \(\dfrac{c}{a}\) होता है। यहाँ \(a=1\) और \(c=-2\) है, अतः गुणनफल \(\dfrac{-2}{1}=-2\) होगा। विकल्प B (2) गलत है क्योंकि उसने संकेत उल्टा लिया है; विकल्प C (-1) और D (4) भी संख्यात्मक रूप से गलत हैं। परिक्षा युक्ति: क्वांटिटी सीधे \(c/a\) से निकालें और संकेत पर खास ध्यान दें। / For a quadratic \(ax^2+bx+c\) the product of the zeroes equals \(\dfrac{c}{a}\). Here \(a=1\) and \(c=-2\), so the product is \(\dfrac{-2}{1}=-2\). Option B (2) is incorrect due to wrong sign; options C (-1) and D (4) are numerically incorrect. Exam tip: remember product = \(c/a\) and always check the sign of \(c\).
A. दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) हैं/Both zeroes are \(\sqrt{5}\)
Explanation
Simple Explanation
यह द्विघात बहुपद पूर्ण वर्ग के रूप में लिखा जा सकता है: \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\)। इसलिए गुणनखंड के दोनों रूप एक जैसे हैं और शून्यक दोहरा है, अर्थात् दोनों शून्यक \(\sqrt{5}\) ही हैं। निकटतम विक्षेप (option C) गलत इसलिए कि बहुपद का भिन्न-भिन्न शून्यक नहीं है; विकल्प D भी गलत क्योंकि वास्तविक शून्यक मौजूद हैं। परीक्षा-सुझाव: द्विघात का द्विघातम (discriminant) \(b^2-4ac\) निकालें — यदि शून्य आए तो पुनरावर्ती शून्यक मिलेगा। / The quadratic factors as \(x^2-2\sqrt{5}x+5=(x-\sqrt{5})^2\). Hence the root \(\sqrt{5}\) has multiplicity two and both zeroes equal \(\sqrt{5}\). The closest distractor (option C) is wrong because the polynomial does not have two distinct roots; option D is wrong because the discriminant is zero, so a real repeated root exists. Exam tip: compute the discriminant \(b^2-4ac\); if it equals zero, the quadratic has a repeated real root.
\(x^2=5+2\sqrt{6}\) और संयुग्मी के साथ गुणन से \(x^4-10x^2+1=0\) मिलता है। दिए विकल्प में \(x^0=1\) इसलिए पहला रूप सही नहीं दिखता, ध्यान से पढ़ें। / Actually \(x=\sqrt{2}+\sqrt{3}\) satisfies \(x^4-10x^2+1=0\), not a simple quadratic here. Read powers carefully in such trick questions.
शून्यक किसी फलन का वह x-मान है जहाँ y = 0 अर्थात् ग्राफ x-अक्ष को काटता है। प्रश्न के अनुसार ग्राफ केवल x = -6 पर x-अक्ष को काट रहा है, इसलिए शून्यक -6 है। विकल्प B (6) गलत है क्योंकि ग्राफ वहां नहीं मिला; विकल्प C (0) तब तक गलत है जब तक ग्राफ x = 0 पर अक्ष को काटे — जो यहाँ नहीं कहा गया; विकल्प D (कोई नहीं) गलत है क्योंकि एक स्पष्ट रूप से दिया हुआ इंटरसेक्शन (x = -6) मौजूद है। परीक्षा टिप: शून्यक खोजते समय सीधे उस बिंदु का x‑निर्देश पढ़ें जहाँ ग्राफ x‑अक्ष को काटता या स्पर्श करता—काटना होने पर वह निश्चित रूप से एक root है। / A zero (root) is an x-value where the function's value is 0, i.e., the graph meets the x-axis. The graph meets the x-axis only at x = -6, so the root is -6. Option B (6) is incorrect because the graph does not intersect at x = 6; option C (0) is wrong unless the graph intersects at x = 0, which it does not here; option D (none) is false because an intersection at x = -6 is given. Exam tip: read the x-coordinate of the point where the graph crosses or touches the x-axis—any intersection gives a root (crossing usually indicates odd multiplicity, touching indicates even multiplicity).
