Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
यदि \(a\geq 0\) है तो कम से कम ((0,0)) हल में आता है और क्षेत्र सीमित रहता है। (a<0) होने पर प्रथम चतुर्थांश में कोई हल नहीं मिलेगा। / If \(a\geq 0\), at least ((0,0)) is in the solution and the region remains bounded. If (a<0), there is no solution in the first quadrant.
एक ही राशि (x+y) एक साथ (3) से छोटी या बराबर और (5) से बड़ी या बराबर नहीं हो सकती। ऐसे विरोध को ग्राफ से पहले पहचानें। / The same expression (x+y) cannot be at most (3) and at least (5) at the same time. Identify such contradictions before graphing.
(y=0) पर \(4\leq x\leq 12\) संभव है और (x=0) पर अधिकतम (y=4) मिलता है। इसलिए \(0\leq y\leq 4\) है। / At (y=0), \(4\leq x\leq 12\) is possible, and at (x=0), the maximum is (y=4). Hence \(0\leq y\leq 4\).
(x) को अधिकतम करने के लिए (y) का न्यूनतम मान (1) लें। तब \(x+2\leq 8\) से \(x\leq 6\) मिलता है। / To maximize (x), take the minimum allowed value (y=1). Then \(x+2\leq 8\) gives \(x\leq 6\).
B. टूटी सीमा और मूल-बिंदु वाली ओर/Dashed boundary and toward the origin
Explanation
Simple Explanation
मूल-बिंदु रखने पर (0<10) सही है। कठोर असमानता के कारण सीमा टूटी होगी और छायांकन मूल-बिंदु वाली ओर होगा। / Substituting the origin gives (0<10), which is true. Because the inequality is strict, the boundary is dashed and shading is toward the origin.
दोनों समीकरण हल करने पर \(x=\frac{27}{7}\) और \(y=\frac{32}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में असमानताओं में जांचना चाहिए। / Solving the two equations gives \(x=\frac{27}{7}\) and \(y=\frac{32}{7}\). The intersection should then be checked in the inequalities.
(x)-अक्ष के ऊपर का अर्थ \(y\geq 0\) है। रेखा के नीचे या उसी पर होने से \(y\leq -x+5\) लगेगा। / Above the (x)-axis means \(y\geq 0\). Below or on the line gives \(y\leq -x+5\).
आयत में रेखा (x+y=4) के ऊपर का भाग बचता है। इसके शीर्ष ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), ((4,0)) हैं। / Inside the rectangle, the part above (x+y=4) remains. Its vertices are ((1,3)), ((5,3)), ((5,0)), and ((4,0)).
A. हल-क्षेत्र में और सीमा (x+y=5) पर/In the solution region and on the boundary (x+y=5)
Explanation
Simple Explanation
((2,3)) पर (x+y=5) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((2,3)), (x+y=5), and the remaining conditions also hold. Therefore it is a solution point on the boundary.
दोनों असमानताएं मिलकर बराबरी (x+3y=9) को मजबूर करती हैं। विपरीत दिशाओं की समान सीमा अक्सर केवल रेखा देती है। / Together the two inequalities force equality (x+3y=9). Opposite inequalities with the same boundary often give only the line.
C. दो समानांतर टूटी रेखाओं के बीच खुली पट्टी/Open strip between two parallel dashed lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाएं समानांतर हैं और ( -x+2<y<-x+6) मिलता है। कठोर असमानताओं के कारण दोनों सीमाएं शामिल नहीं होंगी। / The two lines are parallel and give ( -x+2<y<-x+6). Because the inequalities are strict, neither boundary is included.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/A closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(-4\leq x-y\leq 2\) दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी देती है। बराबरी होने से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The condition \(-4\leq x-y\leq 2\) gives a strip between two parallel lines. Equality includes both boundaries.
दोनों तिरछी सीमाएं ((2,2)) पर मिलती हैं। कोनों जैसे बिंदुओं पर जांचने से न्यूनतम (x+y=4) मिलता है। / The two slant boundaries meet at ((2,2)). Checking corner-like boundary points gives the minimum (x+y=4).
कोनों पर जांचने से ((0,6)) पर (2x+3y=18) सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर जांचें। / Checking the corners shows (2x+3y=18) at ((0,6)), which is largest. For a linear expression, check the corner points.
न्यूनतम (x+y) बिंदु ((3,4)) पर (7) है। इसलिए हल मिलने के लिए \(m\geq 7\) होना जरूरी है। / The minimum value of (x+y) at ((3,4)) is (7). Hence \(m\geq 7\) is required for a solution.
किसी भी (x) के लिए (x+4), (x+1) से बड़ा है। इसलिए (y) दोनों शर्तें साथ में पूरी नहीं कर सकता। / For every (x), (x+4) is greater than (x+1). Hence (y) cannot satisfy both conditions together.
\(\geq\) वाली शर्तें प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की ओर क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) conditions give an upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
((3,3)) रखने पर (2x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। बिंदु जांच में सभी असमानताओं को अलग-अलग जांचें। / Substituting ((3,3)) gives (2x+y=9) and (x+2y=9). In point testing, check every inequality separately.
C. \(\frac{25}{2}\) वर्ग इकाई/\(\frac{25}{2}\) square units
Explanation
Simple Explanation
शीर्ष ((2,1)), ((7,1)), ((2,6)) हैं। आधार और ऊंचाई (5) हैं इसलिए क्षेत्रफल \(\frac{25}{2}\) है। / The vertices are ((2,1)), ((7,1)), and ((2,6)). The base and height are (5), so the area is \(\frac{25}{2}\).
A. ((0,0)), ((4,0)), (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी सीमाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर सभी कोने चुनें। / The slant boundaries intersect at (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to list all corners.
शीर्ष ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), ((2,7)) हैं। शूलेस विधि या भागों में बांटकर क्षेत्रफल (20) मिलता है। / The vertices are ((2,0)), ((6,0)), ((3,6)), and ((2,7)). Using the shoelace method or splitting into parts gives area (20).
कोनों पर जांचने से ((0,5)) पर (10), ((4,0)) पर (12), और (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)) पर (16) मिलता है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर मिलता है। / Checking the corners gives (10) at ((0,5)), (12) at ((4,0)), and (16) at (\left\(\frac{14}{5},\frac{18}{5}\right\)). A linear expression attains its maximum at a corner.
न्यूनतम (x+y) बिंदु ((4,3)) पर (7) है। इसलिए हल मिलने के लिए \(m\geq 7\) होना चाहिए। / The minimum value of (x+y) at ((4,3)) is (7). Hence \(m\geq 7\) is required for a solution.
A. ((0,0)), ((6,0)), (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)), ((0,5))
Explanation
Simple Explanation
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)) है। अक्षों पर वैध अवरोध लेकर पूरे बहुभुज के कोने चुनें। / The intersection of the two slant lines is (\left\(\frac{21}{5},\frac{18}{5}\right\)). Use valid intercepts on the axes to choose all polygon corners.
दोनों सीमा समीकरण हल करने पर \(x=\frac{16}{5}\) और \(y=\frac{27}{5}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को सभी असमानताओं से जांचना अच्छा तरीका है। / Solving the two boundary equations gives \(x=\frac{16}{5}\) and \(y=\frac{27}{5}\). It is a good method to test the intersection in all inequalities.
मुख्य कोना दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((3,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (7) मिलता है। / The key corner is the intersection ((3,4)) of the two slant lines. Checking (x+y) at the corners gives the maximum (7).
C. दाएं अर्द्ध-तल में दो समानांतर टूटी रेखाओं के बीच खुली पट्टी/Open strip between two parallel dashed lines in the right half-plane
Explanation
Simple Explanation
पहली दो रेखाएं समानांतर हैं और कठोर असमानताएं खुली पट्टी देती हैं। (x>0) इसे दाएं अर्द्ध-तल तक सीमित करता है लेकिन क्षेत्र फिर भी अनंत है। / The first two lines are parallel and strict inequalities create an open strip. The condition (x>0) restricts it to the right half-plane, but the region remains unbounded.
कोनों में ((7,0)) पर (x-y=7) मिलता है जो सबसे बड़ा है। रैखिक व्यंजक का अधिकतम कोनों पर जांचें। / At the corner ((7,0)), (x-y=7), which is the largest value. For a linear expression, check the corner points.
(x)-अक्ष के ऊपर का अर्थ \(y\geq 0\) है और रेखा के नीचे या उसी पर का अर्थ \(y\leq 2x-5\) है। शब्दों को सीधे असमानता में बदलें। / Above the (x)-axis means \(y\geq 0\), and below or on the line means \(y\leq 2x-5\). Convert the words directly into inequalities.
आयत \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\) में रेखा (x+2y=10) के ऊपर का भाग बचता है। इसलिए शीर्ष ((2,4)), ((6,2)), ((6,4)) हैं। / Inside the rectangle \(0\leq x\leq 6\), \(0\leq y\leq 4\), the part above (x+2y=10) remains. Hence the vertices are ((2,4)), ((6,2)), and ((6,4)).
