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A. यह दोनों तिरछी सीमाओं के प्रतिच्छेद पर स्थित हल है/It is a solution at the intersection of both slant boundaries
Explanation
Simple Explanation
((6,4)) पर (x+y=10) और (x-y=2) दोनों बराबरी देते हैं। इसलिए यह दोनों सीमा-रेखाओं का वैध प्रतिच्छेद है। / At ((6,4)), both (x+y=10) and (x-y=2) hold as equalities. So it is the valid intersection of both boundary lines.
((1,4)) पर (x+2y=9) और (2x+y=6) है। यह सभी शर्तें पूरी करता है और सीमा सहित क्षेत्र में आता है। / At ((1,4)), (x+2y=9) and (2x+y=6). It satisfies all conditions and lies in the region including the boundary.
B. सीमा रेखा ठोस होगी और ऊपर का भाग लिया जाएगा/The boundary line is solid and the upper part is taken
Explanation
Simple Explanation
\(\geq\) होने से सीमा शामिल होती है और (y) रेखा से बड़ा या बराबर है। इसलिए रेखा के ऊपर का भाग छायांकित होगा। / Since the sign is \(\geq\), the boundary is included, and (y) is greater than or equal to the line. So the region above the line is shaded.
दोनों समीकरणों को हल करने पर \(x=\frac{44}{7}\) और \(y=\frac{24}{7}\) मिलता है। प्रतिच्छेद को बाद में सभी असमानताओं से जरूर जांचें। / Solving the two equations gives \(x=\frac{44}{7}\) and \(y=\frac{24}{7}\). Always test the intersection in all inequalities afterward.
एक ही सीमा के लिए \(\leq\) और (>) साथ-साथ कोई बिंदु नहीं देते। ऐसे प्रश्नों में पहले तार्किक विरोध देखें। / For the same boundary, \(\leq\) and (>) give no common point. In such questions, first check logical contradiction.
A. दोनों समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/Closed strip between the two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(3x-4\leq y\leq 3x+2\) है। बराबरी होने से दोनों सीमा रेखाएं शामिल होंगी। / The condition is \(3x-4\leq y\leq 3x+2\). Since equality is allowed, both boundary lines are included.
A. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं/Triangle with vertices ((2,5)), ((5,2)), ((5,5))
Explanation
Simple Explanation
वर्ग \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\) में रेखा (x+y=7) के ऊपर का कोना बचता है। उसके शीर्ष ((2,5)), ((5,2)), ((5,5)) हैं। / Inside the square \(0\leq x\leq 5\), \(0\leq y\leq 5\), the part above (x+y=7) remains. Its vertices are ((2,5)), ((5,2)), and ((5,5)).
दोनों असमानताएं मिलकर बराबरी (x+2y=12) को मजबूर करती हैं। विपरीत दिशाओं की समान सीमा अक्सर रेखा देती है। / Together the two inequalities force equality (x+2y=12). Opposite inequalities with the same boundary often give the boundary line.
((2,4)) तीनों शर्तें पूरी करता है और दो सीमाओं का प्रतिच्छेद है। शीर्ष पहचानने के लिए पहले सीमा-रेखाओं के प्रतिच्छेद जांचें। / The point ((2,4)) satisfies all conditions and is the intersection of two boundaries. To identify vertices, first test boundary intersections.
D. आंशिक रूप से खुला सीमित त्रिभुज/Partly open bounded triangle
Explanation
Simple Explanation
क्षेत्र सीमित त्रिभुज है लेकिन (x+y=6) वाली सीमा शामिल नहीं है। मिश्रित असमानताओं में हर सीमा का अलग व्यवहार देखें। / The region is a bounded triangle, but the boundary (x+y=6) is not included. In mixed inequalities, check each boundary separately.
((2,3)) पर (2x+5y=19) सही है लेकिन (x-y=-1) भी सही है इसलिए इसे हटाया नहीं जा सकता। विकल्प जांच में गलत विकल्प पहचानने के लिए सभी शर्तें सावधानी से जांचें। / At ((2,3)), (2x+5y=19) and (x-y=-1), so it cannot be rejected. For such questions, test all conditions carefully.
मुख्य कोना दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((3,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (7) मिलता है। / The key corner is the intersection ((3,4)) of the two slant lines. Checking (x+y) at the corners gives the maximum (7).
बिंदु रखने पर \(k+6\leq 11\) और (3k-3>6) मिलता है। इसलिए \(k\leq 5\) और (k>3) होगा। / Substitution gives \(k+6\leq 11\) and (3k-3>6). Hence \(k\leq 5\) and (k>3).
\(\geq\) वाली असमानताएं प्रथम चतुर्थांश में ऊपर की दिशा का क्षेत्र देती हैं। सीमाएं शामिल हैं और क्षेत्र अनंत तक जाता है। / The \(\geq\) inequalities give the upper-side region in the first quadrant. Boundaries are included and the region extends infinitely.
B. टूटी रेखा और मूल-बिंदु वाली ओर/Dashed line and toward the origin
Explanation
Simple Explanation
कठोर असमानता में सीमा शामिल नहीं होती इसलिए रेखा टूटी होगी। मूल-बिंदु शर्त पूरी करता है इसलिए उसी ओर छायांकन होगा। / In a strict inequality, the boundary is excluded, so the line is dashed. The origin satisfies the condition, so shade its side.
एक ही राशि (2x-y) एक साथ (4) से कम या बराबर और (8) से अधिक नहीं हो सकती। विरोधी शर्तें दिखें तो ग्राफ बनाने से पहले जांच लें। / The same expression (2x-y) cannot be at most (4) and greater than (8) at the same time. Check contradictions before drawing the graph.
शीर्ष ((2,1)), (\left\(\frac{15}{2},1\right\)), (\(2,\frac{14}{3}\)) हैं। आधार \(\frac{11}{2}\) और ऊंचाई \(\frac{11}{3}\) से क्षेत्रफल \(\frac{121}{12}\) नहीं बल्कि सही गणना के लिए अक्षों के समांतर दूरी जांचें। / The vertices are ((2,1)), (\left\(\frac{15}{2},1\right\)), and (\(2,\frac{14}{3}\)). Check parallel distances carefully before using triangle area.
दोनों सीमा समीकरण हल करने पर \(x=\frac{16}{5}\) और \(y=\frac{27}{5}\) मिलता है। कोना निकालते समय केवल वैध प्रतिच्छेद लें। / Solving the two boundary equations gives \(x=\frac{16}{5}\) and \(y=\frac{27}{5}\). While finding corners, keep only feasible intersections.
((0,4)) रेखा (2x+y=4) पर है लेकिन क्षेत्र का कोना नहीं बनता। वास्तविक कोने ((0,5)), ((5,0)), ((2,0)), ((0,4)) में जांच से ((0,4)) भी वैध कोना है इसलिए विकल्पों में भ्रम है। / The point ((0,4)) lies on (2x+y=4), but checking the feasible polygon shows it is a valid corner, so this option set is inconsistent.
C. केवल (x+y=6) सीमा पर/Only on the boundary (x+y=6)
Explanation
Simple Explanation
((4,2)) पर (x+y=6) है और बाकी शर्तें भी पूरी हैं। इसलिए यह एक सीमा पर स्थित हल-बिंदु है। / At ((4,2)), (x+y=6), and the remaining conditions also hold. So it is a solution point on one boundary.
कोने ((0,0)), ((6,0)), ((5,1)), ((0,4)) हैं। इसलिए कुल (4) कोने बनते हैं। / The corner points are ((0,0)), ((6,0)), ((5,1)), and ((0,4)). Hence there are (4) corners.
((2,2)) पर (2<3) और (2>1) दोनों सही हैं। कठोर असमानता में सीमा-बिंदु शामिल नहीं होते। / At ((2,2)), both (2<3) and (2>1) are true. Boundary points are not included in strict inequalities.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/A closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
शर्त \(-3\leq x-y\leq 1\) दो समानांतर रेखाओं के बीच की पट्टी देती है। बराबरी होने से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The condition \(-3\leq x-y\leq 1\) gives a strip between two parallel lines. Equality includes both boundaries.
नीचे या उसी पर होने से \(\leq\) लगेगा और प्रथम चतुर्थांश के लिए \(x\geq 0\), \(y\geq 0\) चाहिए। ठोस सीमा रेखा बनती है। / Below or on the line means \(\leq\), and the first quadrant needs \(x\geq 0\), \(y\geq 0\). The boundary line is solid.
B. त्रिभुज जिसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं/Triangle with vertices ((2,3)), ((4,1)), ((4,3))
Explanation
Simple Explanation
आयत \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\) से रेखा (x+y=5) के ऊपर का छोटा भाग बचता है। उसके शीर्ष ((2,3)), ((4,1)), ((4,3)) हैं। / From the rectangle \(0\leq x\leq 4\), \(0\leq y\leq 3\), the part above (x+y=5) remains. Its vertices are ((2,3)), ((4,1)), and ((4,3)).
दोनों तिरछी रेखाओं का प्रतिच्छेद ((4,4)) है। कोनों पर (x+y) जांचने से अधिकतम (8) मिलता है। / The two slant lines intersect at ((4,4)). Checking (x+y) at the corner points gives maximum (8).
A. यह हल है और सीमा पर है/It is a solution and lies on a boundary
Explanation
Simple Explanation
((9,0)) पर (x+y=9) और (x+2y=9) मिलता है। यह दोनों शर्तें पूरी करता है और एक सीमा पर है। / At ((9,0)), (x+y=9) and (x+2y=9). It satisfies both conditions and lies on a boundary.
((2,4)) रखने पर तीनों असमानताएं सही मिलती हैं। विकल्प जांच में हर असमानता अलग से जांचें। / Substituting ((2,4)) satisfies all three inequalities. In option checking, test every inequality separately.
A. दो समानांतर रेखाओं के बीच की बंद पट्टी/Closed strip between two parallel lines
Explanation
Simple Explanation
दोनों रेखाएं समानांतर हैं और \(x-2\leq y\leq x+4\) मिलता है। बराबरी वाले चिन्हों से दोनों सीमाएं शामिल हैं। / The lines are parallel and give \(x-2\leq y\leq x+4\). Equality signs include both boundaries.
