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रेखीय समीकरण में \(x\) का गुणांक ढाल या वृद्धि-दर बताता है। यहाँ ढाल \(k-9\) है। रेखीय वृद्धि के लिए यह धनात्मक होनी चाहिए: \(k-9>0\), इसलिए \(k>9\)। \(k=9\) होने पर ढाल शून्य होती है और \(y=72\) एक स्थिर रेखा बनती है, वृद्धि नहीं। परीक्षा टिप: वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक और क्षय के लिए ढाल ऋणात्मक जाँचें। / In a linear equation, the coefficient of \(x\) is the slope or rate of change. Here, the slope is \(k-9\). For linear growth, it must be positive: \(k-9>0\), so \(k>9\). If \(k=9\), the slope is zero and \(y=72\) is a constant line, not growth. Exam tip: check whether the slope is positive for growth and negative for decay.
दिया है कि \(L(t)=6t+31\)। अतः \(L(5t)=6(5t)+31=30t+31\) और \(L(2t)=6(2t)+31=12t+31\)। इसलिए \(L(5t)-L(2t)=(30t+31)-(12t+31)=18t\)। \(30t\) केवल \(L(5t)\) का रैखिक पद है; इसमें से \(L(2t)\) घटाना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: फलन के इनपुट में मान रखने के बाद पूरे व्यंजक को कोष्ठक में रखकर घटाएँ। / Given \(L(t)=6t+31\), we get \(L(5t)=6(5t)+31=30t+31\) and \(L(2t)=6(2t)+31=12t+31\). Hence, \(L(5t)-L(2t)=(30t+31)-(12t+31)=18t\). \(30t\) is only the linear term in \(L(5t)\); \(L(2t)\) must also be subtracted. Exam tip: substitute each input first, then use brackets while subtracting the complete expressions.
दिया है P(n)=a+25n और P(4)=210। अतः a+25(4)=210, यानी a+100=210, इसलिए a=110। अब P(12)=110+25(12)=110+300=410। इसलिए सही उत्तर 410 है। 385 तब मिल सकता है जब 4 से 12 तक की वृद्धि को गलत तरीके से 7 चरण मान लिया जाए, जबकि सही अंतर 12−4=8 चरण है। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक व्यंजकों में पहले दिए गए मान से स्थिरांक a ज्ञात करें। / Given P(n)=a+25n and P(4)=210, we get a+25(4)=210. Thus, a+100=210, so a=110. Now P(12)=110+25(12)=110+300=410. Therefore, 410 is the correct answer. The value 385 may result from incorrectly counting 7 steps from 4 to 12; the correct difference is 12−4=8 steps. Exam tip: In a linear expression, first use the given value to find the constant a.
प्रति चरण 11 की वृद्धि के लिए समीकरण का ढाल 11 होना चाहिए, अर्थात \(y=a+11x\)। शर्त \(y(5)=82\) रखने पर \(a+11(5)=82\), इसलिए \(a=27\) मिलता है। अतः \(y=27+11x\) सही है। विकल्प C में 11 की कमी होती है, क्योंकि उसका ढाल \(-11\) है। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को हर विकल्प में रखकर भी शर्त जल्दी जाँची जा सकती है। / An increase of 11 per step requires a slope of 11, so the model must be \(y=a+11x\). Using \(y(5)=82\) gives \(a+11(5)=82\), hence \(a=27\). Therefore, \(y=27+11x\) is correct. Option C represents a decrease of 11 because its slope is \(-11\). Exam tip: Substitute the given \(x\)-value into each option to check the condition quickly.
दिया है कि \(P(t)=p+14t\)। अतः \(P(3)=p+14\times3=p+42=96\), इसलिए \(p=54\)। अब \(P(s)=180\) रखने पर \(54+14s=180\) मिलता है। इसलिए \(14s=126\) और \(s=9\)। विकल्प 8 लेने पर मान 166 आएगा, 180 नहीं। परीक्षा टिप: पहले दिए गए मान से स्थिर पद \(p\) ज्ञात करें, फिर दूसरे मान के लिए चर का समीकरण हल करें। / Given \(P(t)=p+14t\), we have \(P(3)=p+14\times3=p+42=96\), so \(p=54\). Now using \(P(s)=180\), \(54+14s=180\). Thus, \(14s=126\) and \(s=9\). If \(s=8\), the model gives 166, not 180. Exam tip: first find the constant term \(p\) from the known value, then solve for the required input.
दिया है कि \(A(x)=45+8x\)। अतः \(A(x+6)=45+8(x+6)\) और \(A(x-2)=45+8(x-2)\)। दोनों का अंतर \(8[(x+6)-(x-2)]=8\times8=64\) है। स्थिर पद 45 घटाने पर निरस्त हो जाता है। विकल्प 72 तब मिलता यदि इनपुटों का अंतर 9 होता, जबकि यहाँ अंतर 8 है। परीक्षा टिप: रैखिक फलन \(mx+c\) के लिए \(A(p)-A(q)=m(p-q)\) का सीधे उपयोग करें। / Given \(A(x)=45+8x\), \(A(x+6)=45+8(x+6)\) and \(A(x-2)=45+8(x-2)\). Their difference is \(8[(x+6)-(x-2)]=8\times8=64\). The constant term 45 cancels on subtraction. Option 72 would result only if the difference between the inputs were 9; here it is 8. Exam tip: for a linear function \(mx+c\), use \(A(p)-A(q)=m(p-q)\) directly.
\(y=8-3x\) में x का गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए x बढ़ने पर y समान दर से घटता है; यही रैखिक क्षय है। \(8+3x\) रैखिक वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा में x के गुणांक का चिन्ह देखें। / In \(y=8-3x\), the coefficient of x is negative, so y decreases at a constant rate as x increases; this is linear decay. \(8+3x\) shows growth. Exam tip: check the sign of the x-coefficient.
दोनों व्यंजकों को बराबर रखने पर \(70+5t=190-10t\) मिलता है। \(10t\) को बाईं ओर लाने पर \(15t=120\), अतः \(t=8\) होगा। \(t=6\) रखने पर दोनों मान बराबर नहीं आते, इसलिए वह निकट दिखने वाला विकल्प भी गलत है। परीक्षा टिप: ऐसे प्रश्नों में पहले दोनों फलनों को बराबर रखें, फिर \(t\) वाले पदों को एक ही पक्ष में लाएँ। / Equating the two expressions gives \(70+5t=190-10t\). Moving \(10t\) to the left gives \(15t=120\), so \(t=8\). Substituting \(t=6\) does not make the two values equal, so that nearby option is incorrect. Exam tip: first equate both functions, then collect all terms containing \(t\) on one side.
रेखीय क्षय में \(t\) का घात 1 और उसका गुणांक ऋणात्मक होता है। \(Q(t)=240-8t\) में हर समय-इकाई पर मात्रा 8 घटती है। \(240-8t^2\) क्षय दर्शाता है, पर रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: \(t\) के गुणांक का चिन्ह जाँचें। / In linear decay, the power of \(t\) is 1 and its coefficient is negative. In \(Q(t)=240-8t\), the quantity falls by 8 per time unit. \(240-8t^2\) shows decay but is not linear. Exam tip: check the sign and power of \(t\).
A. समान समयांतरालों में मात्रा समान निश्चित मान से घटती है।/The quantity decreases by the same fixed amount in equal time intervals.
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में हर समान समयांतराल पर कमी का अंतर स्थिर रहता है, इसलिए मॉडल का ढाल स्थिर और ऋणात्मक होता है। समान प्रतिशत की कमी घातीय क्षय है। परीक्षा टिप: निश्चित अंतर जाँचें, प्रतिशत नहीं। / In linear decay, the decrease over every equal time interval is a constant difference, so the model has a constant negative slope. A constant percentage decrease indicates exponential decay. Exam tip: check fixed differences, not percentages.
योग ((a+14)+(a+42)+(a+70)=3a+126) है। (3a+126=225) से (a=33) नहीं बल्कि विकल्पों में नहीं है। / The sum is ((a+14)+(a+42)+(a+70)=3a+126). From (3a+126=225), (a=33), which is not in the options.
शर्त है कि \(A(t)=B(t)+9\)। अतः \(40+6t=76+3t+9\), जिससे \(3t=45\) और \(t=15\) मिलता है। जाँच करने पर \(A(15)=130\) तथा \(B(15)=121\), इसलिए अंतर \(9\) है। \(t=14\) पर अंतर केवल \(6\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: “से 9 अधिक” को हमेशा \(A=B+9\) के रूप में लिखें। / The condition is \(A(t)=B(t)+9\). So, \(40+6t=76+3t+9\), which gives \(3t=45\) and hence \(t=15\). Checking: \(A(15)=130\) and \(B(15)=121\), so the difference is \(9\). At \(t=14\), the difference is only \(6\), so it is not correct. Exam tip: translate “9 more than” as \(A=B+9\).
A. हर चरण में 5 बढ़ता है/It increases by 5 at each step
Explanation
Simple Explanation
B(t)-A(t)=(70+11t)-(44+6t)=26+5t। यहाँ t का गुणांक 5 है, इसलिए t में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 5 बढ़ता है। 26 केवल प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; इसलिए विकल्प D गलत है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों का अंतर निकालते समय स्थिर पदों और t वाले पदों को अलग-अलग घटाएँ। / B(t)-A(t)=(70+11t)-(44+6t)=26+5t. The coefficient of t is 5, so the difference increases by 5 for every increase of 1 in t. Here, 26 is only the initial difference, not the rate of increase, so option D is incorrect. Exam tip: when subtracting linear expressions, subtract constant terms and t-terms separately.
यहां (R(0)=90) सीधे आरंभिक मान है। अंतर से (m=13) मिलता है पर आरंभिक मान वही रहता है। / Here (R(0)=90) is directly the initial value. The difference gives (m=13), but the initial value remains the same.
रेखीय समीकरण में \(x\) का गुणांक वृद्धि या ह्रास की दर बताता है। यहाँ ढाल \(k-7\) है। रेखीय वृद्धि के लिए यह धनात्मक होनी चाहिए: \(k-7>0\), अतः \(k>7\)। \(k=7\) पर ढाल शून्य होती है, इसलिए \(y=55\) एक स्थिर मान है, वृद्धि नहीं। परीक्षा टिप: वृद्धि के लिए ढाल धनात्मक और ह्रास के लिए ढाल ऋणात्मक जाँचें। / In a linear equation, the coefficient of \(x\) represents the rate of increase or decrease. Here the slope is \(k-7\). For linear growth, it must be positive: \(k-7>0\), so \(k>7\). If \(k=7\), the slope is zero and \(y=55\) is constant, not growth. Exam tip: check whether the slope is positive for growth and negative for decay.
दिया है \(L(t)=5t+23\)। इसलिए \(L(4t)=5(4t)+23=20t+23\)। अब \(L(4t)-L(t)=(20t+23)-(5t+23)=15t\)। अतः सही उत्तर \(15t\) है। \(20t\) केवल \(L(4t)\) का रैखिक पद है; इसमें से \(L(t)\) घटाना अभी बाकी होता है। परीक्षा टिप: फलन में \(4t\) रखने पर \(t\) के प्रत्येक स्थान पर \(4t\) प्रतिस्थापित करें। / Given \(L(t)=5t+23\), we get \(L(4t)=5(4t)+23=20t+23\). Therefore, \(L(4t)-L(t)=(20t+23)-(5t+23)=15t\). Hence, \(15t\) is correct. \(20t\) is only the linear term in \(L(4t)\); \(L(t)\) still has to be subtracted. Exam tip: when evaluating a function at \(4t\), replace every occurrence of \(t\) by \(4t\).
प्रत्येक 1 इकाई की वृद्धि पर कीमत 20 बढ़ती है। 6 से 13 तक 7 इकाइयों की वृद्धि है, इसलिए कीमत में वृद्धि \(7\times20=140\) होगी। अतः \(P(13)=230+140=370\)। विकल्प 350 तब मिलता है जब 7 के स्थान पर गलत तरीके से 6 अंतराल लिए जाएँ। परीक्षा टिप: रैखिक फलन में दो मानों के बीच परिवर्तन के लिए \(P(13)-P(6)=20(13-6)\) लिखना सबसे तेज़ तरीका है। / The price increases by 20 for every increase of 1 in \(n\). From 6 to 13, there are 7 steps, so the increase is \(7\times20=140\). Therefore, \(P(13)=230+140=370\). Option 350 can result from incorrectly using 6 steps instead of 7. Exam tip: for a linear function, use \(P(13)-P(6)=20(13-6)\) to find the change quickly.
प्रति चरण 9 की वृद्धि होने पर रैखिक व्यंजक का गुणांक 9 होना चाहिए, अर्थात \(y=a+9x\)। शर्त \(y(4)=61\) रखने पर \(a+9(4)=61\), इसलिए \(a=25\) मिलता है। अतः \(y=25+9x\) सही विकल्प है। \(y=61+9x\) में वृद्धि 9 है, लेकिन \(y(4)=97\) होता है, 61 नहीं। परीक्षा टिप: दिए गए \(x\)-मान को विकल्प में रखकर शर्त तुरंत जाँचें। / An increase of 9 per step requires a linear expression with coefficient 9, so \(y=a+9x\). Using \(y(4)=61\), we get \(a+9(4)=61\), hence \(a=25\). Therefore, \(y=25+9x\) is correct. Although \(y=61+9x\) also has rate 9, it gives \(y(4)=97\), not 61. Exam tip: substitute the given \(x\)-value into an option to check the condition quickly.
दिया है कि P(t)=p+10t। पहले P(4)=92 रखने पर p+10(4)=92, अर्थात p+40=92 और p=52 मिलता है। अब P(s)=152 के लिए 52+10s=152। अतः 10s=100, इसलिए s=10। विकल्प 9 लेने पर P(9)=52+90=142 होगा, 152 नहीं। परीक्षा टिप: ऐसे रैखिक मॉडल में पहले दिए गए मान से स्थिर पद p ज्ञात करें, फिर दूसरे मान में चर रखें। / Given P(t)=p+10t, substitute P(4)=92 first: p+10(4)=92, so p+40=92 and p=52. Now use P(s)=152: 52+10s=152. Thus 10s=100, giving s=10. If s were 9, then P(9)=52+90=142, not 152. Exam tip: In a linear model, first find the constant term from one known value, then substitute the second value to solve for the variable.
\(t=0\) रखने पर \(15-7t\) का मान 15 मिलता है और \(t\) का गुणांक \(-7\) है, इसलिए हर इकाई समय पर 7 की कमी होती है। \(15+7t\) वृद्धि दर्शाता है। परीक्षा टिप: रैखिक परिवर्तन में \(t\) की घात 1 होती है। / Putting \(t=0\) in \(15-7t\) gives 15, and the coefficient of \(t\) is \(-7\), so the quantity falls by 7 per unit time. \(15+7t\) indicates growth. Exam tip: in a linear model, the variable has power 1.
प्रारम्भिक मान स्थिर पद होता है, इसलिए वह 50 है। प्रत्येक समय-इकाई में 4 की कमी के कारण \(t\) का गुणांक \(-4\) होगा; अतः \(Q(t)=50-4t\)। \(50-4t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: समान परिवर्तन का अर्थ प्रथम घात है। / The initial value is the constant term, so it is 50. A decrease of 4 per time unit gives the coefficient of \(t\) as \(-4\), hence \(Q(t)=50-4t\). \(50-4t^2\) is not linear. Exam tip: constant change means degree 1.
दिया है कि \(C(t)=28+kt\)। अतः \(C(10)=28+10k\) और \(C(4)=28+4k\)। इसलिए \(C(10)-C(4)=(28+10k)-(28+4k)=6k\)। प्रश्नानुसार \(6k=72\), इसलिए \(k=12\)। विकल्प 14 लेने पर अंतर \(6\times14=84\) आता, जो दिया गया 72 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक के दो मानों का अंतर लेने पर स्थिर पद 28 कट जाता है। / Given \(C(t)=28+kt\), we have \(C(10)=28+10k\) and \(C(4)=28+4k\). Hence, \(C(10)-C(4)=(28+10k)-(28+4k)=6k\). As the difference is 72, \(6k=72\), so \(k=12\). For example, choosing 14 would give a difference of \(6\times14=84\), not 72. Exam tip: when subtracting two values of a linear expression, the constant term cancels out.
A. राशि के क्रमागत मानों का अंतर समान होना चाहिए/The differences between consecutive values of the quantity must be constant
Explanation
Simple Explanation
रैखिक वृद्धि में x को समान मात्रा से बढ़ाने पर y में हर बार समान परिवर्तन होता है। जैसे x में 1 की वृद्धि पर y के अंतर 5, 5, 5 हों। समान अनुपात घातीय वृद्धि का संकेत है। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें। / In linear growth, equal increases in x produce the same change in y each time. For example, when x rises by 1, y-differences may be 5, 5, 5. A constant ratio indicates exponential growth. Exam tip: check first differences first.
दिया है कि f(x)=a+12x और f(4)=95। अतः a+12(4)=95, यानी a+48=95, जिससे a=47 मिलता है। अब f(10)=47+12(10)=47+120=167। इसलिए सही विकल्प C है। 155 एक संभावित गलती है, जो स्थिरांक a का सही मान निकाले बिना प्राप्त हो सकता है। परीक्षा टिप: पहले दी गई फलन-मान की शर्त से अज्ञात स्थिरांक ज्ञात करें, फिर अपेक्षित x का मान रखें। / Given f(x)=a+12x and f(4)=95, we get a+12(4)=95. Thus, a+48=95, so a=47. Now, f(10)=47+12(10)=47+120=167. Therefore, option C is correct. The value 155 can result from not determining the constant a correctly. Exam tip: first use the given function value to find the unknown constant, then substitute the required value of x.
बराबरी के लिए \(52+4t=148-8t\) लिखते हैं। \(8t\) को बाईं ओर लाने पर \(12t=96\) मिलता है, इसलिए \(t=8\)। जाँच करने पर \(P(8)=52+32=84\) और \(Q(8)=148-64=84\) हैं। \(t=10\) पर दोनों मान बराबर नहीं होते। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजकों को बराबर करते समय \(t\) वाले पद एक ओर और नियत पद दूसरी ओर रखें। / For equality, set \(52+4t=148-8t\). Moving \(8t\) to the left gives \(12t=96\), so \(t=8\). On checking, \(P(8)=52+32=84\) and \(Q(8)=148-64=84\). At \(t=10\), the two values are not equal. Exam tip: while equating linear expressions, collect all terms containing \(t\) on one side and constants on the other.
A. समान समयांतरालों में मात्रा समान निरपेक्ष मान से घटती है/The quantity decreases by the same absolute amount in equal time intervals
Explanation
Simple Explanation
रैखिक क्षय में प्रति समान समयांतराल कमी स्थिर होती है, इसलिए ग्राफ की ढाल नियत ऋणात्मक रहती है। दो क्रमिक मानों का अंतर जाँचें; समान प्रतिशत की कमी घातांकीय क्षय है। / In linear decay, the decrease per equal time interval is constant, so the graph has a fixed negative slope. Check differences between consecutive values; equal percentage decrease indicates exponential decay.
निम्नलिखित में से कौन-सा बहुपद समय \(t\) के साथ किसी राशि के रैखिक क्षय को दर्शाता है, जहाँ \(t\) का गुणांक प्रत्येक इकाई समय में होने वाली कमी बताता है?
\(P(t)=120-5t\) में \(t\) की घात 1 है और उसका गुणांक ऋणात्मक है, इसलिए मान हर इकाई समय में 5 घटता है। \(120-5t^2\) रैखिक नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक मॉडल की घात सदैव 1 होती है। / In \(P(t)=120-5t\), the power of \(t\) is 1 and its coefficient is negative, so the value decreases by 5 per unit time. \(120-5t^2\) is not linear. Exam tip: a linear model always has degree 1.
शर्त है कि \(A(t)=B(t)+6\)। अतः \(30+5t=54+3t+6\)। दोनों पक्षों को सरल करने पर \(2t=30\), इसलिए \(t=15\) मिलता है। \(t=14\) पर \(A(t)-B(t)=4\) होगा, 6 नहीं। परीक्षा टिप: “से 6 अधिक” को हमेशा \(A=B+6\) के रूप में लिखें। / The condition is \(A(t)=B(t)+6\). Thus, \(30+5t=54+3t+6\). Simplifying gives \(2t=30\), so \(t=15\). At \(t=14\), \(A(t)-B(t)=4\), not 6. Exam tip: Translate “6 more than” as \(A=B+6\).
यहाँ \(y=120+ax\) में \(a\), \(x\) के प्रति \(y\) के परिवर्तन की दर है। \(x\) का परिवर्तन \(14-6=8\) है, इसलिए \(y\) का परिवर्तन \(8a\) होगा। दिया है \(8a=88\), अतः \(a=11\)। \(10\) लेने पर वृद्धि \(8\times10=80\) होती, जो 88 नहीं है। परीक्षा टिप: रैखिक व्यंजक में स्थिर पद \(120\) परिवर्तन ज्ञात करते समय कट जाता है। / In \(y=120+ax\), \(a\) is the rate of change of \(y\) with respect to \(x\). The change in \(x\) is \(14-6=8\), so the change in \(y\) is \(8a\). Given \(8a=88\), we get \(a=11\). If \(a=10\), the increase would be \(8\times10=80\), not 88. Exam tip: while finding a change in a linear expression, the constant term \(120\) cancels out.
A. यह प्रत्येक एकक समय में 4 बढ़ता है/It increases by 4 per unit time
Explanation
Simple Explanation
अंतर ज्ञात करें: \(B(t)-A(t)=(55+9t)-(34+5t)=21+4t\)। यहाँ \(t\) का गुणांक 4 है, इसलिए \(t\) में प्रत्येक 1 की वृद्धि पर अंतर 4 बढ़ता है। 21 प्रारम्भिक अंतर है, वृद्धि की दर नहीं; इसलिए विकल्प D सही नहीं है। परीक्षा टिप: दो रैखिक व्यंजकों के अंतर की वृद्धि-दर उनके \(t\)-गुणांकों का अंतर होती है। / Find the difference: \(B(t)-A(t)=(55+9t)-(34+5t)=21+4t\). The coefficient of \(t\) is 4, so the difference increases by 4 whenever \(t\) increases by 1. Here, 21 is the initial difference, not the rate of increase; therefore, option D is incorrect. Exam tip: The rate of change of the difference of two linear expressions is the difference of their \(t\)-coefficients.
