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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
हर बार (2) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(56\times2=112\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2) so the next term is \(56\times2=112\). In exams first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(12\div4=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(12\div4=3\). In exams divide the second term by the first term.
पहले चार पद (16,8,4,2) हैं और योग (30) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (16,8,4,2), and the sum is (30). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
दी गई गुणोत्तर श्रेणी में तीसरा पद \(a_3=18\) और चौथा पद \(a_4=54\) है। अतः \(a_3+a_4=18+54=72\)। विकल्प 66 तब मिलता यदि किसी पद को गलत पढ़ लिया जाए; यहाँ दोनों दिए गए पदों का सही योग 72 है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती पहले पद से शुरू करके सावधानी से करें। / In the given geometric progression, the third term is \(a_3=18\) and the fourth term is \(a_4=54\). Therefore, \(a_3+a_4=18+54=72\). A value such as 66 results from misreading one of the terms; the correct sum of the two given terms is 72. Exam tip: Count term positions carefully, starting with the first term.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 1 और सार्व अनुपात 4 है। इसका सामान्य पद \(a_n=4^{n-1}\) होगा। \(4^{n-1}=256=4^4\) से \(n-1=4\), अतः \(n=5\)। 4 घात है, पद-संख्या नहीं; क्योंकि पहला पद \(4^0\) है। परीक्षा टिप: यदि श्रेणी 1 से शुरू हो, तो घात में 1 जोड़कर पद-संख्या प्राप्त करें। / This is a geometric progression with first term 1 and common ratio 4. Its nth term is \(a_n=4^{n-1}\). Since \(4^{n-1}=256=4^4\), we get \(n-1=4\), so \(n=5\). Although 4 is the exponent, it is not the term number because the first term is \(4^0\). Exam tip: When a sequence starts with 1, add 1 to the exponent to obtain the term position.
B. यह \(r=\frac{1}{2}\) वाली गुणोत्तर श्रेढ़ी है/It is a geometric progression with \(r=\frac{1}{2}\)
Explanation
Simple Explanation
हर पद पिछले पद का आधा है, इसलिए \(r=\frac{1}{2}\) है। अनुपात जांचने के लिए अगला पद पिछले पद से भाग दें। / Each term is half of the previous term, so \(r=\frac{1}{2}\). To check the ratio divide the next term by the previous term.
\(a_3=a_1r^2\), इसलिए \(50=2r^2\) और \(r^2=25\), अतः धनात्मक (r=5)। धनात्मक अनुपात मांगने पर धनात्मक मूल लें। / \(a_3=a_1r^2\), so \(50=2r^2\) and \(r^2=25\), hence positive (r=5). When positive ratio is asked take the positive root.
सार्व अनुपात (4) है, इसलिए \(a_5=3\cdot4^4=768\)। (5)वें पद के लिए (4) बार अनुपात लगता है। / The common ratio is (4), so \(a_5=3\cdot4^4=768\). For the fifth term the ratio is used (4) times.
\(a_5=a_2r^3\), इसलिए \(192=24r^3\) और \(r^3=8\), अतः (r=2)। पदों की दूरी घात तय करती है। / \(a_5=a_2r^3\), so \(192=24r^3\) and \(r^3=8\), hence (r=2). The gap between positions decides the exponent.
पहला पद (7) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=7\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात रखें। / The first term is (7) and the ratio is (3), so \(a_n=7\cdot3^{n-1}\). Use the first term and ratio in the general term.
गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार तीन पदों के लिए मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=8\times18=144\)। क्योंकि श्रेढ़ी धनात्मक है, \(x=\sqrt{144}=12\) होगा; \(-12\) स्वीकार्य नहीं है। 10 या 14 लेने पर \(x^2\), 144 के बराबर नहीं होगा। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों में मध्य पद = बाहरी पदों का धनात्मक ज्यामितीय माध्य होता है। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=8\times18=144\). Since the progression is positive, \(x=\sqrt{144}=12\); \(-12\) is not allowed. Values such as 10 or 14 do not give \(x^2=144\). Exam tip: the middle of three consecutive GP terms is the positive geometric mean of the outer terms.
हर बार (-2) से गुणा करने पर (3,-6,12,-24) मिलते हैं। ऋणात्मक अनुपात से चिह्न बदलते हैं। / Multiplying by (-2) each time gives (3,-6,12,-24). A negative ratio makes the signs alternate.
इस गुणोत्तर श्रेणी का प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 2 है। पहले 5 पद 2, 4, 8, 16, 32 हैं, अतः उनका योग \(2+4+8+16+32=62\) है। इसलिए सही उत्तर 62 है। 32 केवल पाँचवाँ पद है, योग नहीं। परीक्षा टिप: पदों की संख्या ध्यान से गिनें; यहाँ 16 के बाद 32 पाँचवाँ पद होगा। / The first term of this GP is 2 and the common ratio is 2. Its first five terms are 2, 4, 8, 16, and 32, so their sum is \(2+4+8+16+32=62\). Therefore, 62 is correct. The value 32 is only the fifth term, not the sum. Exam tip: Count the terms carefully; 32 comes after 16 as the fifth term.
ज्यामितीय प्रगति में \(n\)वाँ पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=\frac{3}{4}\times2^{4-1}=\frac{3}{4}\times8=6\)। विकल्प \(8\) केवल \(2^3\) का मान है; इसमें पहले पद \(\frac{3}{4}\) से गुणा करना भी आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / In a geometric progression, the \(n\)th term is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Therefore, \(a_4=\frac{3}{4}\times2^{4-1}=\frac{3}{4}\times8=6\). Option \(8\) is only the value of \(2^3\); it must also be multiplied by the first term \(\frac{3}{4}\). Exam tip: the exponent in \(a_n\) is always \(n-1\).
\(2,10,50,250,\ldots\) में हर बार (5) से गुणा हो रहा है। अनुपात के लिए अगले पद को पिछले पद से भाग दें। / In \(2,10,50,250,\ldots\), each term is multiplied by (5). For the ratio divide the next term by the previous term.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=8\) और सार्व अनुपात \(r=24/8=3\) है। \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_6=8\times3^{6-1}=8\times243=1944\)। 5832 अगला, अर्थात 7वाँ पद है क्योंकि \(1944\times3=5832\)। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद निकालते समय घात \(n-1\) लें, \(n\) नहीं। / The first term is \(a=8\) and the common ratio is \(r=24/8=3\). The \(n\)th term of a GP is \(a_n=a r^{n-1}\). Therefore, \(a_6=8\times3^{6-1}=8\times243=1944\). Note that 5832 is the next, or seventh, term because \(1944\times3=5832\). Exam tip: for the \(n\)th term, use the exponent \(n-1\), not \(n\).
गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान होता है। यहाँ सामान्य अनुपात \(r=\frac{36}{12}=3\) है। इसलिए \(\frac{12}{x}=3\), जिससे \(x=\frac{12}{3}=4\)। विकल्प 6 लेने पर अनुपात \(\frac{12}{6}=2\) और \(\frac{36}{12}=3\) होंगे, जो समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार पद \(a,b,c\) हों, तो \(b^2=ac\) का उपयोग भी कर सकते हैं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms remains the same. Here, the common ratio is \(r=\frac{36}{12}=3\). Hence, \(\frac{12}{x}=3\), so \(x=\frac{12}{3}=4\). If 6 were chosen, the ratios would be \(\frac{12}{6}=2\) and \(\frac{36}{12}=3\), which are not equal. Exam tip: for three consecutive terms \(a,b,c\) of a GP, you may also use \(b^2=ac\).
\(n=1,2,3,4\) रखने पर (4,8,16,32) मिलते हैं। नियम से शुरू के पद बनाकर विकल्प मिलाएं। / Putting \(n=1,2,3,4\) gives (4,8,16,32). Form the initial terms from the rule and match the option.
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए अगला पद \(25\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\) होगा। अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the next term is \(25\cdot\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\). Multiply by the ratio.
श्रृंखला के पहले तीन पद 5, 15 और 45 हैं। अतः उनका गुणनफल \(5\times15\times45=75\times45=3375\) होगा। 2025, \(45\times45\) है, इसलिए यह पहला तीन पदों का गुणनफल नहीं है। परीक्षा टिप: प्रश्न में दिए गए पदों को सीधे पहचानकर क्रम से गुणा करें। / The first three terms are 5, 15, and 45. Their product is \(5\times15\times45=75\times45=3375\). Note that 2025 equals \(45\times45\), so it is not the product of the first three terms. Exam tip: First list the required terms, then multiply them in order.
पहला पद (9) है और हर बार (3) से गुणा करने पर (9,27,81,243) मिलते हैं। (a) और (r) दोनों को मिलाएं। / The first term is (9), and multiplying by (3) each time gives (9,27,81,243). Match both (a) and (r).
सार्व अनुपात (-2) है, इसलिए पाँचवाँ पद ((-8)(-2)=16) है। ऋणात्मक अनुपात में चिह्न बदलता है। / The common ratio is (-2), so the fifth term is ((-8)(-2)=16). With a negative ratio signs alternate.
\(a_4=a_2r^2\), इसलिए \(162=18r^2\) और \(r^2=9\), धनात्मक अनुपात (r=3) है। पदों के बीच दूरी को घात बनाएं। / \(a_4=a_2r^2\), so \(162=18r^2\) and \(r^2=9\), giving positive ratio (r=3). Use the gap between terms as the exponent.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 4 है। क्रमशः पद हैं: 2, 8, 32, 128, 512। अतः 512 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 128 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगले पद के लिए पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करें। / This is a geometric progression with first term 2 and common ratio 4. Its terms are 2, 8, 32, 128, 512. Therefore, 512 is the fifth term. The fourth term is 128, so it is not correct. Exam tip: In a GP, multiply each term by the common ratio to obtain the next term.
सार्व अनुपात \(\frac{20}{4}=5\) है, इसलिए \(x=20\cdot5=100\)। तीसरे पद के लिए दूसरे पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{20}{4}=5\), so \(x=20\cdot5=100\). Multiply the second term by the ratio to get the third term.
\(a_4=12\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{2}\)। भिन्न अनुपात में हर बार आधा होता है। / \(a_4=12\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{3}{2}\). With a fractional ratio each term becomes half.
यह एक गुणोत्तर श्रेणी है, जिसमें प्रथम पद a=1, सार्व अनुपात r=2 और n=6 है। अतः S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63। पद 1, 2, 4, 8, 16, 32 हैं, जिनका योग 63 है। 64 केवल 26 है, योग नहीं। परीक्षा टिप: r≠1 होने पर S_n=a\(r^n-1\)/(r-1) का प्रयोग करें। / This is a geometric progression with first term a=1, common ratio r=2, and n=6. Thus, S_n=a\(r^n-1\)/(r-1)=1\(2^6-1\)/(2-1)=63. The terms are 1, 2, 4, 8, 16, and 32, whose sum is 63. Note that 64 is only 26, not the sum. Exam tip: for r≠1, use S_n=a\(r^n-1\)/(r-1).
पहला पद (6) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=6\cdot3^{n-1}\)। सामान्य पद में पहला पद और अनुपात दोनों रखें। / The first term is (6) and the ratio is (3), so \(a_n=6\cdot3^{n-1}\). Use both first term and ratio in the general term.
A. प्रत्येक क्रमागत पदों का अनुपात समान हो/The ratio of every pair of consecutive terms is constant
Explanation
Simple Explanation
GP में प्रत्येक पद को एक ही स्थिर संख्या से गुणा करके अगला पद मिलता है, इसलिए क्रमागत पदों का अनुपात समान रहता है। जैसे 3, 6, 12 में अनुपात 2 है। समान अंतर वाली शर्त AP की होती है। परीक्षा टिप: पहले अनुपात जाँचें। / In a GP, each term is obtained by multiplying the previous term by the same constant, so consecutive-term ratios remain equal. For 3, 6, 12, the ratio is 2. Equal differences describe an AP. Exam tip: check ratios first.
पहले 4 पद 10, 20, 40 और 80 हैं। अतः उनका योग 10+20+40+80=150 है। यह गुणोत्तर श्रेढ़ी है, जिसमें पहला पद 10 और सार्व अनुपात 2 है; सूत्र से भी \(S_4=10(2^4-1)/(2-1)=150\) मिलता है। 160 तब मिलता यदि किसी पद को गलत जोड़ दिया जाए। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे जोड़कर उत्तर जाँचें। / The first four terms are 10, 20, 40, and 80. Therefore, their sum is 10+20+40+80=150. This is a GP with first term 10 and common ratio 2; using the formula also gives \(S_4=10(2^4-1)/(2-1)=150\). A result such as 160 comes from an incorrect addition. Exam tip: for a few terms, verify the answer by direct addition.
