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659 questions tagged with geometric progression.
Which sequence has a negative common ratio?
C. \(5,-10,20,-40,\ldots\)
\(5,-10,20,-40,\ldots\) में सार्व अनुपात (-2) है। ऋणात्मक अनुपात से पदों के चिह्न बदलते हैं। / In \(5,-10,20,-40,\ldots\), the common ratio is (-2). A negative ratio changes the signs of terms.
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If (2,6,x,54) is a geometric progression, what is (x)?
B. (18)
सार्व अनुपात \(\frac{6}{2}=3\) है, इसलिए \(x=6\cdot3=18\)। समान अनुपात को हर अगले पद पर लगाएं। / The common ratio is \(\frac{6}{2}=3\), so \(x=6\cdot3=18\). Apply the same ratio to each next term.
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If \(a_n=9\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\), what is \(a_3\)?
A. \(1\)
तीसरे पद के लिए \(n=3\) रखें: \(a_3=9\left(\frac{1}{3}\right)^{3-1}=9\left(\frac{1}{3}\right)^2=9\times\frac{1}{9}=1\)। \(3\) विकल्प तब मिलता है जब घात को गलती से 1 लिया जाए। परीक्षा टिप: \(a_n\) में पद संख्या रखने के बाद पहले \(n-1\) की गणना करें। / For the third term, substitute \(n=3\): \(a_3=9\left(\frac{1}{3}\right)^{3-1}=9\left(\frac{1}{3}\right)^2=9\times\frac{1}{9}=1\). The option \(3\) results from incorrectly using the exponent as 1. Exam tip: after substituting the term number in \(a_n\), calculate \(n-1\) first.
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In the geometric progression \(1,3,9,27,\ldots\), which term is (81)?
B. पाँचवाँfifth
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद 1 और सार्व अनुपात 3 है। इसके पद क्रमशः 1, 3, 9, 27, 81 हैं, इसलिए 81 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 27 है, अतः वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखें या 81 को \(3^4\) के रूप में पहचानें। / In this GP, the first term is 1 and the common ratio is 3. Its terms are 1, 3, 9, 27, 81; therefore, 81 is the fifth term. The fourth term is 27, so it is a close but incorrect option. Exam tip: list the terms in order or recognise \(81=3^4\).
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Which option has common ratio \(\frac{1}{4}\)?
B. \(64,16,4,1,\ldots\)
\(64,16,4,1,\ldots\) में \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\) है। अनुपात के लिए लगातार पदों को भाग दें। / In \(64,16,4,1,\ldots\), \(\frac{16}{64}=\frac{1}{4}\). Divide consecutive terms to find the ratio.
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If \(a=3\) and \(r=5\), what is \(a_4\)?
C. \(375\)
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। इसलिए \(a_4=3\times5^{4-1}=3\times125=375\)। \(125\) केवल \(5^3\) है; इसमें प्रथम पद \(a=3\) से गुणा करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: \(a_n\) में घात हमेशा \(n-1\) होती है, \(n\) नहीं। / The \(n\)th term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Thus, \(a_4=3\times5^{4-1}=3\times125=375\). \(125\) is only \(5^3\); it misses multiplication by the first term, \(a=3\). Exam tip: in \(a_n\), the exponent of \(r\) is always \(n-1\), not \(n\).
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What is the fifth term of the geometric progression \(64,32,16,8,\ldots\)?
B. (4)
सार्व अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद (4) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में बार-बार अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is (4). In a decreasing geometric progression multiply by the ratio repeatedly.
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What is the (6)th term of the sequence \(\frac{1}{2},1,2,4,\ldots\)?
B. 16
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद पिछले पद का 2 गुना है। अतः सार्व अनुपात \(r=2\) है। पद क्रमशः \(\frac{1}{2},1,2,4,8,16\) होंगे, इसलिए 6वाँ पद \(16\) है। \(8\) पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती पहले पद से शुरू करें। / This is a geometric sequence because each term is twice the preceding term, so the common ratio is \(r=2\). The terms are \(\frac{1}{2},1,2,4,8,16\); therefore, the 6th term is \(16\). Note that \(8\) is the 5th term, making it a close but incorrect option. Exam tip: Start counting terms from the first given term.
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If a geometric progression has \(a_1=4\) and \(a_4=108\), what is the common ratio?
B. 3
गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य पद \(a_n=a_1r^{n-1}\) होता है। अतः \(a_4=4r^3=108\), इसलिए \(r^3=27\) और \(r=3\)। विकल्प 2 लेने पर चौथा पद \(4\times2^3=32\) आता है, 108 नहीं। परीक्षा टिप: \(a_m\) से \(a_n\) तक अनुपात की घात हमेशा \(n-m\) होती है। / The general term of a GP is \(a_n=a_1r^{n-1}\). Thus, \(a_4=4r^3=108\), so \(r^3=27\) and \(r=3\). If the ratio were 2, the fourth term would be \(4\times2^3=32\), not 108. Exam tip: from \(a_m\) to \(a_n\), the exponent of the ratio is \(n-m\).
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If a geometric progression has \(a_2=10\) and \(r=2\), what is \(a_1\)?
B. \(5\)
गुणोत्तर श्रेणी में दूसरा पद \(a_2=a_1r\) होता है। अतः \(10=a_1\times2\), इसलिए \(a_1=10/2=5\)। \(10\) को पहला पद मानना गलत है, क्योंकि वह दिया गया दूसरा पद है। परीक्षा टिप: पिछले पद को ज्ञात करने के लिए अगले पद में सामान्य अनुपात से भाग दें। / In a geometric progression, the second term is \(a_2=a_1r\). Thus, \(10=a_1\times2\), so \(a_1=10/2=5\). Taking \(10\) as the first term is incorrect because it is given as the second term. Exam tip: To find a preceding term, divide the next term by the common ratio.
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What is the sum of the first (4) terms of the geometric progression \(5,15,45,135,\ldots\)?
C. 200
पहले चार पद 5, 15, 45 और 135 हैं। अतः उनका योग \(5+15+45+135=200\) होगा। इसलिए सही उत्तर 200 है। 180 केवल पहले तीन पदों का योग है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: कम पदों के लिए सीधे पदों को जोड़ना सबसे तेज़ और सुरक्षित तरीका है। / The first four terms are 5, 15, 45, and 135. Therefore, their sum is \(5+15+45+135=200\). Hence, 200 is correct. The value 180 is the sum of only the first three terms, so it is a close but incorrect option. Exam tip: when there are only a few terms, direct addition is usually the quickest and safest method.
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If (3,x,27) are three consecutive positive terms of a geometric progression, what is (x)?
B. (9)
मध्य पद (x) के लिए \(x^2=3\cdot27=81\), इसलिए (x=9)। धनात्मक पदों में ज्यामितीय माध्य धनात्मक लें। / For the middle term (x), \(x^2=3\cdot27=81\), so (x=9). For positive terms take the positive geometric mean.
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What is the next term in the geometric progression \(4,12,36,\ldots\)?
D. (108)
सार्व अनुपात (3) है, इसलिए अगला पद \(36\cdot3=108\) होगा। अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the next term is \(36\cdot3=108\). Multiply the previous term by the ratio for the next term.
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What is the common ratio of the sequence \(2,-6,18,-54,\ldots\)?
B. -3
ज्यामितीय अनुक्रम में सार्व अनुपात ज्ञात करने के लिए किसी पद को उसके ठीक पिछले पद से भाग देते हैं। यहाँ \(r=\frac{-6}{2}=-3\) है। जाँच करें: \(\frac{18}{-6}=-3\) और \(\frac{-54}{18}=-3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। \(3\) निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह पदों के बदलते चिह्नों को नहीं समझाता। परीक्षा टिप: लगातार दो पदों का भाग लेकर अनुपात की पुष्टि करें। / In a geometric sequence, the common ratio is found by dividing any term by the preceding term. Here, \(r=\frac{-6}{2}=-3\). Checking further, \(\frac{18}{-6}=-3\) and \(\frac{-54}{18}=-3\). Hence, the common ratio is \(-3\). Option \(3\) is a close distractor, but it does not account for the alternating signs. Exam tip: divide consecutive terms and verify the ratio with another pair.
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If a geometric progression has (a=6) and (r=2), what are the first four terms?
B. (6,12,24,48)
पहला पद (6) है और हर बार (2) से गुणा करने पर (6,12,24,48) मिलते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद गुणा करके बनता है। / The first term is (6), and multiplying by (2) each time gives (6,12,24,48). In a geometric progression each next term is formed by multiplication.
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Which sequence is not a geometric progression?
C. \(2,4,8,15,\ldots\)
\(2,4,8,15,\ldots\) में अनुपात \(2,2,\frac{15}{8}\) बराबर नहीं हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात स्थिर होना चाहिए। / In \(2,4,8,15,\ldots\), the ratios \(2,2,\frac{15}{8}\) are not equal. A geometric progression must have a constant ratio.
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In the geometric progression \(7,14,28,56,\ldots\), which term is (224)?
C. (6)वाँ(6)th
पद (7,14,28,56,112,224) हैं, इसलिए (224) छठा पद है। छोटे प्रश्नों में पद लिखकर जांचना तेज है। / The terms are (7,14,28,56,112,224), so (224) is the sixth term. For small questions listing terms is quick.
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If \(a_n=2\cdot4^{n-1}\), what is the value of \(a_5\)?
C. 512
दिया है \(a_n=2\cdot4^{n-1}\)। \(n=5\) रखने पर \(a_5=2\cdot4^{5-1}=2\cdot4^4=2\cdot256=512\)। अतः सही उत्तर 512 है। 256 केवल \(4^4\) का मान है; इसमें प्रारम्भिक गुणक 2 भी शामिल करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय \(n-1\) में पहले दिए गए \(n\) का मान रखें। / Given \(a_n=2\cdot4^{n-1}\), put \(n=5\): \(a_5=2\cdot4^{5-1}=2\cdot4^4=2\cdot256=512\). Therefore, 512 is correct. The value 256 is only \(4^4\); the initial factor 2 must also be multiplied. Exam tip: substitute the given value of \(n\) into \(n-1\) first.
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What is the common ratio of the sequence \(81,27,9,3,\ldots\)?
B. \(\frac{1}{3}\)
सार्व अनुपात \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात (1) से छोटा हो सकता है। / The common ratio is \(\frac{27}{81}=\frac{1}{3}\). In a decreasing geometric progression the ratio can be less than (1).
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Which sequence is a geometric progression?
B. \(4,12,36,108,\ldots\)
\(4,12,36,108,\ldots\) में हर बार (3) से गुणा हो रहा है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में लगातार अनुपात समान होता है। / In \(4,12,36,108,\ldots\), each term is multiplied by (3). In a geometric progression consecutive ratios are equal.
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If a geometric progression has first term (5) and common ratio (3), what is the fourth term?
C. 135
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। यहाँ \(a=5\), \(r=3\) और \(n=4\), इसलिए \(a_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\)। अतः सही उत्तर 135 है। 90 तब मिलता यदि घात या पद-स्थान का गलत उपयोग किया जाए। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए अनुपात \(r\) को तीन बार गुणा किया जाता है। / The \(n\)th term of a GP is \(a_n=ar^{n-1}\). Here, \(a=5\), \(r=3\), and \(n=4\), so \(a_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\). Therefore, 135 is correct. A value such as 90 results from using the exponent or term position incorrectly. Exam tip: to reach the fourth term, multiply the common ratio \(r\) three times.
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What is the common ratio in the sequence \(3,6,12,24,\ldots\)?
A. (2)
सार्व अनुपात \(\frac{6}{3}=2\) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में दूसरा पद पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(\frac{6}{3}=2\). In a geometric progression divide the second term by the first term.
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Which geometric progression has first term (4) and common ratio (3)?
A. \(4,12,36,108,\ldots\)
पहला पद (4) है और हर बार (3) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (4), and each term is multiplied by (3). In exams, match both the first term and the ratio.
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What will be the fifth term in the geometric progression \(15,45,135,405,\ldots\)?
C. (1215)
सामान्य अनुपात (3) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(405\times3=1215\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the fifth term is \(405\times3=1215\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
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If (6,,x,,54) is a geometric progression, what is the positive value of (x)?
B. (18)
मध्य पद का वर्ग \(6\times54=324\) है, इसलिए धनात्मक (x=18) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(6\times54=324\), so the positive (x=18). In exams, for three GP terms, the square of the middle term equals the product of the outer terms.
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What is the general term of the geometric progression \(20,10,5,\frac{5}{2},\ldots\)?
A. \(a_n=20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
पहला पद (20) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (20) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams, put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
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If \(a_n=3^n\), what is the value of \(a_4\)?
C. 81
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=3^n\)। इसलिए \(n=4\) रखने पर \(a_4=3^4=3\times3\times3\times3=81\) मिलता है। अतः सही विकल्प 81 है। \(3^3=27\) होता है, इसलिए 27 लेने पर घातांक 4 के स्थान पर 3 हो जाएगा। परीक्षा टिप: पद का क्रमांक \(n\) सही रखकर ही घात का मान निकालें। / The general term is \(a_n=3^n\). Substituting \(n=4\), we get \(a_4=3^4=3\times3\times3\times3=81\). Therefore, 81 is correct. Note that \(3^3=27\), so choosing 27 would use exponent 3 instead of 4. Exam tip: substitute the term number carefully before evaluating the power.
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What is the tenth term of the geometric progression \(2,4,8,16,\ldots\)?
B. (1024)
यह \(2^n\) के रूप में है, इसलिए दसवाँ पद \(2^{10}=1024\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(2^n\), so the tenth term is \(2^{10}=1024\). In exams, identify powers to solve quickly.
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Which sequence has common ratio \(\frac{1}{4}\)?
B. (64,16,4,1)
(64,16,4,1) में हर बार \(\frac{1}{4}\) से गुणा होता है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी का अनुपात भिन्न लिखें। / In (64,16,4,1), each term is multiplied by \(\frac{1}{4}\). In exams, write the ratio of a decreasing geometric progression as a fraction.
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Which of the following properties identifies a geometric progression?
A. प्रत्येक क्रमागत पदों का अनुपात समान होता हैThe ratio of consecutive terms is constant
गुणोत्तर श्रेणी में हर पद को एक निश्चित समान अनुपात से गुणा करके अगला पद मिलता है। समान अंतर होना अंकगणितीय श्रेणी का गुण है। परीक्षा में दो क्रमागत पदों का अनुपात जाँचें। / In a GP, each next term is obtained by multiplying by the same common ratio. A constant difference identifies an AP, not a GP. Exam tip: compare ratios of consecutive terms.
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