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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r=36/12=3\) है। चौथा पद 324 है, इसलिए पाँचवाँ पद \(a_5=324\times 3=972\) होगा। 1296 पाने के लिए 324 को 4 से गुणा करना पड़ेगा, जो इस श्रेणी का अनुपात नहीं है। परीक्षा टिप: प्रत्येक अगले पद के लिए पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करें। / The common ratio of this geometric progression is \(r=36/12=3\). Since the fourth term is 324, the fifth term is \(a_5=324\times 3=972\). The value 1296 would come from multiplying 324 by 4, which is not the common ratio. Exam tip: obtain each next term by multiplying the previous term by the common ratio.
सूत्र \(a_n=4\cdot2^{n-1}\) में (2) ही सामान्य अनुपात है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (r) पहचानें। / In the formula \(a_n=4\cdot2^{n-1}\), (2) is the common ratio. In exams, identify (r) in \(ar^{n-1}\).
(27) और (81) का अनुपात (3) है, इसलिए रिक्त पद \(27\div3=9\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (27) and (81) is (3), so the missing term is \(27\div3=9\). In exams, apply the common ratio backward too.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (11) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1), all terms remain (11). In exams, (r=1) means a constant geometric progression.
लगातार पद समान हैं, इसलिए अनुपात \(5\div5=1\) है। परीक्षा में स्थिर शून्येतर श्रेणी भी गुणोत्तर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal, so the ratio is \(5\div5=1\). In exams, a non-zero constant sequence can also be a geometric progression.
दूसरे पद और पहले पद का अनुपात \(3x\div x=3\) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी भाग करें। / The ratio of the second term to the first term is \(3x\div x=3\). In exams, divide even with algebraic terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(25\times\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is \(25\times\frac{1}{2}=\frac{25}{2}\). In exams, apply fractional ratios carefully.
B. हर बार एक निश्चित शून्येतर संख्या से गुणा किया जाता है
Explanation
Simple Explanation
गुणोत्तर श्रेणी में क्रमागत पदों का अनुपात स्थिर होता है; अर्थात प्रत्येक पद पिछले पद को एक ही स्थिर संख्या, सामान्य अनुपात, से गुणा करके मिलता है। निश्चित संख्या जोड़ना समांतर श्रेणी का नियम है। परीक्षा टिप: अनुपात जाँचें, अंतर नहीं। / In a geometric progression, the ratio of consecutive terms is constant; each term is obtained by multiplying the previous term by the same fixed number, called the common ratio. Adding a fixed number describes an arithmetic progression. Exam tip: check ratios, not differences.
सामान्य अनुपात (2) है, इसलिए अगला पद \(72\times2=144\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2), so the next term is \(72\times2=144\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
विकल्प A में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 6/2 = 3 और 18/6 = 3। इसलिए इसका सामान्य अनुपात स्थिर है और यह गुणोत्तर श्रेणी है। परीक्षा में लगातार पदों के भागफल की समानता जाँचें। / In option A, each term is multiplied by 3: 6/2 = 3 and 18/6 = 3. Hence, the common ratio is constant, so it is a geometric progression. In exams, check whether ratios of consecutive terms are equal.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 2 गुना है: 4, 8, 16, 32, 64। अतः 64 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 32 है, इसलिए विकल्प A सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की स्थिति ज्ञात करते समय पहले दिए गए पद को पहला पद ही गिनें। / This is a geometric sequence in which each term is twice the previous term: 4, 8, 16, 32, 64. Therefore, 64 is the fifth term. The fourth term is 32, so option A is not correct. Exam tip: while finding a term’s position, count the first given term as the first term.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_5=7\times 2^{5-1}=7\times16=112\)। इसलिए सही उत्तर 112 है। 56 प्राप्त करने में \(2^3\) लेने की गलती हो सकती है। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The \(n\)th term of a geometric progression is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_5=7\times2^{5-1}=7\times16=112\). Hence, 112 is correct. The value 56 may result from incorrectly using \(2^3\). Exam tip: in the \(n\)th-term formula, the exponent of \(r\) is always \(n-1\).
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद \(a\) होता है, इसलिए \(a=1\)। सार्व अनुपात \(r\) क्रमागत पदों का भागफल होता है: \(r=\frac{5}{1}=5\)। अतः सही विकल्प \(a=1,\ r=5\) है। \(r=25\) गलत है, क्योंकि वह पहला और तीसरा पद का अनुपात है, क्रमागत पदों का नहीं। परीक्षा टिप: \(r\) ज्ञात करने के लिए हमेशा दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / In a geometric progression, \(a\) is the first term, so \(a=1\). The common ratio \(r\) is obtained by dividing a term by the preceding term: \(r=\frac{5}{1}=5\). Therefore, \(a=1,\ r=5\) is correct. \(r=25\) is incorrect because it compares the first and third terms, not consecutive terms. Exam tip: find \(r\) by dividing the second term by the first term.
\(a_4=16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=2\) है। परीक्षा में \(n-1\) वाले घातांक को सही रखें। / \(a_4=16\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^3=2\). In exams, keep the exponent \(n-1\) correct.
पहला पद (27) और अनुपात \(\frac{1}{3}\) है, इसलिए \(a_n=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / The first term is (27) and the ratio is \(\frac{1}{3}\), so \(a_n=27\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1}\). In exams, use the fractional ratio in a decreasing sequence.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात r से गुणा करके मिलता है। यहाँ पहला पद 2 है और r = 5 है: 2, 2 × 5 = 10, 10 × 5 = 50, 50 × 5 = 250। इसलिए सही क्रम (2, 10, 50, 250) है। विकल्प C में पहला पद गलत रूप से 5 लिया गया है। परीक्षा टिप: पहले पद को लिखकर हर अगले पद के लिए r से गुणा करें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the common ratio r. Here, the first term is 2 and r = 5: 2, 2 × 5 = 10, 10 × 5 = 50, and 50 × 5 = 250. Therefore, the correct sequence is (2, 10, 50, 250). Option C incorrectly begins with 5 instead of the given first term. Exam tip: write the first term first, then multiply successively by r.
A. हाँ, सामान्य अनुपात (2) है/Yes, common ratio is (2)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अनुपात (2) है। परीक्षा में समान अनुपात दिखे तो गुणोत्तर श्रेणी मानें। / Each consecutive term has ratio (2). In exams, if equal ratio appears, treat it as a geometric progression.
पाँचवाँ पद (486) और छठा पद (1458) नहीं; दिए चार पदों के बाद पाँचवाँ (486) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / The fifth term is (486), not the sixth; the asked term should be counted carefully. In exams, include the first term while counting.
लगातार पदों का अनुपात \(16\div32=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में भिन्न अनुपात लिखें। / The ratio of consecutive terms is \(16\div32=\frac{1}{2}\). In exams, write the fractional ratio for a decreasing geometric progression.
सामान्य अनुपात (5) है, इसलिए रिक्त पद \(50\times5=250\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5), so the missing term is \(50\times5=250\). In exams, continue the same ratio.
पहला पद (8) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=8\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (8) and the ratio is (3), so \(a_n=8\cdot3^{n-1}\). In exams, match both the first term and the ratio.
दिया है \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)। \(n=1\) पर \(a_1=3\cdot2^0=3\), \(n=2\) पर \(a_2=3\cdot2^1=6\), और \(n=3\) पर \(a_3=3\cdot2^2=12\) मिलता है। अतः पहले तीन पद \((3, 6, 12)\) हैं। \((3, 9, 27)\) में प्रत्येक पद 3 से गुणा होता है, जबकि यहाँ सार्व अनुपात 2 है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए हमेशा \(n=1\) रखकर घातांक \(n-1\) जाँचें। / Given \(a_n=3\cdot2^{n-1}\): for \(n=1\), \(a_1=3\cdot2^0=3\); for \(n=2\), \(a_2=3\cdot2^1=6\); and for \(n=3\), \(a_3=3\cdot2^2=12\). Hence, the first three terms are \((3, 6, 12)\). The sequence \((3, 9, 27)\) has common ratio 3, whereas this sequence has common ratio 2. Exam tip: substitute \(n=1\) first and check the exponent \(n-1\) carefully.
पद (1,2,4,8,16) हैं, इसलिए (16) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (1,2,4,8,16), so (16) is the fifth term. In exams, list small terms in order to check.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(\frac{25}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{25}{4}\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\), so the fifth term is \(\frac{25}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{25}{4}\). In exams, simplify fractions.
गुणोत्तर श्रेणी का \(n\)वाँ पद \(T_n=ar^{n-1}\) होता है। इसलिए \(T_4=6\times2^{4-1}=6\times2^3=48\) होगा। 24 तीसरा पद है: \(T_3=6\times2^2=24\)। परीक्षा टिप: \(n\)वें पद में घात हमेशा \(n-1\) होती है। / The \(n\)th term of a geometric progression is \(T_n=ar^{n-1}\). Hence, \(T_4=6\times2^{4-1}=6\times2^3=48\). The value 24 is the third term, since \(T_3=6\times2^2=24\). Exam tip: the exponent of the common ratio in the \(n\)th term is always \(n-1\).
सामान्य अनुपात \(r=12\div4=3\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=12\div4=3\). In exams, divide the second term by the first term for (r).
C. क्योंकि लगातार अनुपात समान नहीं हैं/Because consecutive ratios are not equal
Explanation
Simple Explanation
अनुपात \(4\div1=4\) और \(9\div4=\frac{9}{4}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जरूरी है। / The ratios \(4\div1=4\) and \(9\div4=\frac{9}{4}\) are not equal. In exams, equal ratio is necessary for a geometric progression.
दूसरा पद \(18\times\frac{1}{3}=6\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(18\times\frac{1}{3}=6\). In exams, multiply carefully by a fractional ratio.
पहला पद (5) और अनुपात (3) है, इसलिए \(a_n=5\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (5) and the ratio is (3), so \(a_n=5\cdot3^{n-1}\). In exams, use \(a_n=ar^{n-1}\).
दिया है कि \(a_n=2^n\)। पाँचवें पद के लिए \(n=5\) रखने पर \(a_5=2^5=32\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 32 है। 16, \(2^4\) का मान है, इसलिए वह चौथा पद होगा। परीक्षा टिप: किसी अनुक्रम के \(n\)वें पद के सूत्र में पद संख्या को \(n\) के स्थान पर सीधे रखकर गणना करें। / Given \(a_n=2^n\). For the fifth term, substitute \(n=5\): \(a_5=2^5=32\). Therefore, 32 is correct. The value 16 equals \(2^4\), so it represents the fourth term, not the fifth. Exam tip: To find a particular term of a sequence, substitute its term number directly for \(n\) in the given formula.
