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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
इस गुणोत्तर श्रेणी में प्रथम पद \(a=3\) और सार्व अनुपात \(r=3\) है। इसलिए \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}=3\times3^{n-1}=3^n\) होगा। विकल्प \(a_n=3^{n-1}\) में पहला पद 1 आता है, 3 नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य पद में \(n=1\) रखने पर वह श्रेणी के पहले पद के बराबर आना चाहिए। / Here, the first term is \(a=3\) and the common ratio is \(r=3\). Thus, \(a_n=ar^{n-1}=3\times3^{n-1}=3^n\). The option \(a_n=3^{n-1}\) gives 1 as the first term, not 3. Exam tip: substitute \(n=1\) to check whether a proposed general term gives the first term of the sequence.
(36) और (108) का अनुपात (3) है, इसलिए रिक्त पद \(36\div3=12\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (36) and (108) is (3), so the missing term is \(36\div3=12\). In exams, apply the ratio backward too.
सामान्य अनुपात (3) है, इसलिए पाँचवाँ पद \(54\times3=162\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (3), so the fifth term is \(54\times3=162\). In exams, multiply the last known term by the ratio.
हर बार \(\frac{1}{2}\) से गुणा हो रहा है, इसलिए अगला पद \(8\times\frac{1}{2}=4\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{2}\), so the next term is \(8\times\frac{1}{2}=4\). In exams, identify fractional ratios in decreasing sequences.
तीसरा पद \(ar^2=3\times4^2=48\) है। परीक्षा में तीसरे पद के लिए अनुपात का वर्ग लगाएँ। / The third term is \(ar^2=3\times4^2=48\). In exams, use the square of the ratio for the third term.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (7) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (7). In exams, take the first term (a) directly from the sequence.
अनुपात \(4\div2=2\) और \(6\div4=\frac{3}{2}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में लगातार अनुपात जाँचें। / The ratios \(4\div2=2\) and \(6\div4=\frac{3}{2}\) are not equal. In exams, check consecutive ratios.
A. हाँ, सामान्य अनुपात (2) है/Yes, common ratio is (2)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अनुपात (2) है। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जाँचें। / All consecutive terms have ratio (2). In exams, check equal ratios for a geometric progression.
लगातार पदों का अनुपात \(27\div81=\frac{1}{3}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात भिन्न हो सकता है। / The ratio of consecutive terms is \(27\div81=\frac{1}{3}\). In exams, a decreasing geometric progression can have a fractional ratio.
दूसरा पद \(4\times2=8\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(4\times2=8\). In exams, multiply by the common ratio to get the next term.
हर बार (2) से गुणा हो रहा है, इसलिए अगला पद \(40\times2=80\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2), so the next term is \(40\times2=80\). In exams, first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(6\div2=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(6\div2=3\). In exams, divide the second term by the first term.
दिया है \(a_n=4\cdot2^{n-1}\)। \(n=8\) रखने पर \(a_8=4\cdot2^{8-1}=4\cdot2^7=4\cdot128=512\) प्राप्त होता है। इसलिए सही विकल्प 512 है। 256 प्राप्त करने में घातांक या गुणन में त्रुटि होती है। परीक्षा टिप: पद \(a_n\) निकालते समय पहले \(n\) को घातांक \(n-1\) में रखें, फिर गणना करें। / Given \(a_n=4\cdot2^{n-1}\). Substituting \(n=8\), \(a_8=4\cdot2^{8-1}=4\cdot2^7=4\cdot128=512\). Hence, 512 is the correct option. Getting 256 results from an error in the exponent or multiplication. Exam tip: substitute the value of \(n\) into \(n-1\) first, and then simplify.
\(a_n=5\cdot2^{n-1}\) में \(n=5\) रखने पर \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\) मिलता है। इसलिए सही उत्तर 80 है। 40 प्राप्त करना \(2^3\) लेने जैसी गलती से हो सकता है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान घातांक \(n-1\) में रखें, फिर गणना करें। / Substitute \(n=5\) in \(a_n=5\cdot2^{n-1}\): \(a_5=5\cdot2^{5-1}=5\cdot2^4=5\cdot16=80\). Therefore, 80 is correct. Getting 40 may result from incorrectly using \(2^3\). Exam tip: first substitute the term number into the exponent \(n-1\), then calculate.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, क्योंकि प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है। जब \(n=1\) हो, तब पहला पद \(9=3^2\) होना चाहिए। इसलिए घातांक \(n+1\) होगा और सामान्य पद \(a_n=3^{n+1}\) है। \(a_n=3^n\) में पहला पद 3 आता है, 9 नहीं। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) रखकर सामान्य पद अवश्य जाँचें। / This is a geometric sequence because each term is 3 times the preceding term. For \(n=1\), the first term must be \(9=3^2\). Hence the exponent is \(n+1\), so \(a_n=3^{n+1}\). The rule \(a_n=3^n\) gives 3 as the first term, not 9. Exam tip: always substitute \(n=1\) to check a proposed general term.
अनुक्रम का पहला पद 5 है और प्रत्येक अगला पद पिछले पद का 5 गुना है: \(5,5^2,5^3,5^4,\ldots\)। इसलिए, जब \(n=1\) से गिनती शुरू होती है, तब सामान्य पद \(a_n=5^n\) होगा। \(a_n=5^{n-1}\) में पहला पद \(1\) आता है, इसलिए वह गलत है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए \(n=1\) रखकर नियम की जाँच करें। / The first term is 5, and each successive term is multiplied by 5: \(5,5^2,5^3,5^4,\ldots\). Therefore, when counting starts at \(n=1\), the general term is \(a_n=5^n\). The rule \(a_n=5^{n-1}\) gives 1 as the first term, so it is incorrect. Exam tip: substitute \(n=1\) to check a proposed general rule.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है। यदि \(n=1\) से गिनें, तो \(a_1=3^1=3\), \(a_2=3^2=9\), \(a_3=3^3=27\) और \(a_4=3^4=81\) मिलते हैं। इसलिए सही सामान्य पद \(a_n=3^n\) है। \(a_n=3n\) में पद 3, 6, 9, 12 होते हैं, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पहले पद से अनुक्रमण शुरू हो रहा हो, तो \(n=1\) रखकर सूत्र अवश्य जाँचें। / This is a geometric sequence in which each term is 3 times the previous term. Starting with \(n=1\), we get \(a_1=3^1=3\), \(a_2=3^2=9\), \(a_3=3^3=27\), and \(a_4=3^4=81\). Hence, the correct general term is \(a_n=3^n\). The rule \(a_n=3n\) would give 3, 6, 9, 12, so it is not correct. Exam tip: Substitute \(n=1\) in a proposed rule to check the first term.
नियम \(a_{n+1}=-2a_n\) में 2 परिमाण को दोगुना करता है और ऋण चिह्न संकेत बदल देता है। \(2a_n\) में संकेत नहीं बदलता। परीक्षा में गुणक का चिह्न और परिमाण अलग-अलग जाँचें। / In \(a_{n+1}=-2a_n\), the factor 2 doubles the magnitude and the minus sign reverses the sign. \(2a_n\) does not reverse it. Exam tip: check a multiplier’s sign and magnitude separately.
नियम \(a_{n+1}=r a_n\) में हर क्रमागत पद का अनुपात \(a_{n+1}/a_n=r\) समान रहता है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अंतर नियत है, अतः वह समान्तर श्रेणी बनाता है। परीक्षा में अनुपात स्थिर है या अंतर, यह जाँचें। / Under \(a_{n+1}=r a_n\), the ratio \(a_{n+1}/a_n=r\) remains constant, so the sequence is geometric. In option B, the difference is constant, which defines an arithmetic progression. Exam tip: check whether a rule fixes a ratio or a difference.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद का दोगुना है। अतः \(a_2=2\times6=12\), \(a_3=2\times12=24\) और \(a_4=2\times24=48\)। इसलिए सही उत्तर 48 है। 24, \(a_3\) है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: \(a_1\) से शुरू करके पदों की क्रम संख्या सावधानी से गिनें। / By the recursive rule, each new term is twice the previous term. Thus, \(a_2=2\times6=12\), \(a_3=2\times12=24\), and \(a_4=2\times24=48\). Therefore, 48 is correct. The value 24 is \(a_3\), so it is a close but incorrect option. Exam tip: start from \(a_1\) and count the term positions carefully.
दिया है कि प्रत्येक अगला पद पिछले पद का 5 गुना है। अतः \(a_2=5\times3=15\) और \(a_3=5\times15=75\) होगा। इसलिए सही उत्तर 75 है। 45 एक संभावित भ्रमक है, पर यह इस पुनरावृत्त नियम से प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: \(a_3\) ज्ञात करने के लिए \(a_1\) से शुरू करके नियम को दो बार लागू करें। / Each new term is 5 times the previous term. Thus, \(a_2=5\times3=15\) and \(a_3=5\times15=75\). Therefore, 75 is correct. Although 45 may seem plausible, it is not obtained from the given recursive rule. Exam tip: to find \(a_3\) from \(a_1\), apply the rule twice.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक अगला पद पिछले पद का 3 गुना है। इसलिए \(a_2=3\times4=12\) और \(a_3=3\times12=36\)। अतः सही उत्तर \(36\) है। \(48\) तब मिलता यदि 4 को सीधे 12 से गुणा किया जाता, जो दिए गए नियम के अनुसार नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए पहले \(a_2\) अवश्य लिखें। / The recursive rule makes each new term three times the preceding term. Thus, \(a_2=3\times4=12\) and \(a_3=3\times12=36\). Therefore, the correct answer is \(36\). \(48\) would result from multiplying 4 directly by 12, which does not follow the given rule. Exam tip: write \(a_2\) first before finding \(a_3\).
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद को 3 से भाग देकर मिलता है। इसलिए \(a_2=\frac{12}{3}=4\) और \(a_3=\frac{4}{3}\)। विकल्प 2 तब मिलता यदि 12 को केवल एक बार 3 से भाग देते, इसलिए वह \(a_2\) नहीं बल्कि \(a_3\) के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: \(a_3\) निकालने के लिए नियम को \(a_1\) पर दो बार लागू करें। / The recursive rule divides each term by 3 to obtain the next term. Thus, \(a_2=\frac{12}{3}=4\), and \(a_3=\frac{4}{3}\). Option 2 would result from dividing 12 by 3 only once, so it is \(a_2\), not \(a_3\). Exam tip: to find \(a_3\) from \(a_1\), apply the recursive rule twice.
दिया है कि प्रत्येक अगला पद पिछले पद का 3 गुना है। इसलिए \(a_2=3\times2=6\) और \(a_3=3\times6=18\)। अतः सही उत्तर 18 है। 6 केवल दूसरा पद है, तीसरा नहीं। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में पदों को क्रम से निकालें। / Each new term is 3 times the preceding term. Thus, \(a_2=3\times2=6\) and \(a_3=3\times6=18\). Therefore, the correct answer is 18. Option 6 is the second term, not the third. Exam tip: evaluate recursive sequences one term at a time.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद का आधा है। अतः \(a_2=64/2=32\), \(a_3=32/2=16\) और \(a_4=16/2=8\)। इसलिए सही उत्तर 8 है। विकल्प 16 तीसरा पद \(a_3\) है, चौथा पद नहीं। परीक्षा टिप: \(a_1\) से गिनती शुरू करें और प्रत्येक चरण में दिए गए नियम को लागू करें। / By the recursive rule, each new term is half of the preceding term. Thus, \(a_2=64/2=32\), \(a_3=32/2=16\), and \(a_4=16/2=8\). Therefore, the correct answer is 8. Option 16 is the third term, \(a_3\), not the fourth term. Exam tip: Start counting from \(a_1\) and apply the given rule at every step.
पुनरावर्ती नियम के अनुसार प्रत्येक नया पद पिछले पद का 2 गुना है। अतः
\(a_2=2\times3=6\), \(a_3=2\times6=12\) और \(a_4=2\times12=24\)। इसलिए सही उत्तर 24 है। 12, \(a_3\) का मान है, \(a_4\) का नहीं। परीक्षा टिप: पुनरावर्ती नियम में वांछित पद तक क्रमशः सभी पिछले पद लिखें। / By the recursive rule, each new term is twice the preceding term. Thus, \(a_2=2\times3=6\), \(a_3=2\times6=12\), and \(a_4=2\times12=24\). Therefore, 24 is correct. Note that 12 is the value of \(a_3\), not \(a_4\). Exam tip: write the terms one by one until you reach the required term.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का दोगुना है। पहले पाँच पद \(8,16,32,64,128\) हैं। इनका योग \(8+16+32+64+128=248\) है, इसलिए औसत \(\frac{248}{5}=49.6\) होगा। अतः सही उत्तर 49.6 है। 48 जैसा विकल्प गलत है क्योंकि औसत निकालने के लिए योग 248 को 5 से विभाजित करना आवश्यक है। परीक्षा टिप: पहले माँगे गए पदों की संख्या तक अनुक्रम लिखें, फिर योग को पदों की संख्या से भाग दें। / This is a geometric sequence in which each term is twice the preceding term. Its first five terms are \(8,16,32,64,128\). Their sum is \(8+16+32+64+128=248\), so the average is \(\frac{248}{5}=49.6\). Therefore, 49.6 is correct. The option 48 is incorrect because the total 248 must be divided by 5 to find the mean. Exam tip: Write all the required terms first, then divide their sum by the number of terms.
D. न तो समांतर और न ही गुणोत्तर श्रेणी/Neither arithmetic nor geometric progression
Explanation
Simple Explanation
इसके पद \(3,5,9,17,\ldots\) हैं। क्रमागत अंतर \(2,4,8\) समान नहीं हैं और अनुपात \(5/3,9/5\) भी समान नहीं हैं। अतः यह न AP है, न GP। परीक्षा टिप: AP में अंतर और GP में अनुपात जाँचें। / Its terms are \(3,5,9,17,\ldots\). The consecutive differences \(2,4,8\) are not equal, and the ratios \(5/3,9/5\) are also not equal. Hence it is neither an AP nor a GP. Exam tip: check differences for AP and ratios for GP.
विकल्प C में क्रमागत अंतर \(3,5,7\) हैं, जो समान नहीं हैं; अनुपात भी स्थिर नहीं है। इसलिए यह न AP है, न GP। विकल्प D स्थिर अनुक्रम है और AP तथा GP दोनों है। परीक्षा टिप: पहले अंतर, फिर अनुपात जाँचें। / In option C, the consecutive differences are \(3,5,7\), so they are not constant; the ratios are not constant either. Hence it is neither AP nor GP. Option D is constant and is both AP and GP. Exam tip: check differences first, then ratios.
\(1,4,9,16,\ldots\) के क्रमागत अंतर \(3,5,7,\ldots\) समान नहीं हैं और क्रमागत अनुपात भी स्थिर नहीं है। इसलिए यह न समांतर श्रेणी है, न गुणोत्तर श्रेणी। परीक्षा टिप: अंतर और अनुपात दोनों जाँचें। / In \(1,4,9,16,\ldots\), the consecutive differences are \(3,5,7,\ldots\), so they are not constant; the ratios are not constant either. Hence it is neither AP nor GP. Exam tip: check both differences and ratios.
