Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है • Muft Shiksha™ एक 100% Free Education Portal है 🇮🇳, जिसका उद्देश्य Class 9–12 के हर विद्यार्थी तक High-Quality Education को पूरी तरह मुफ्त पहुँचाना है। 🇮🇳 हम मानते हैं कि अच्छी शिक्षा किसी student की आर्थिक स्थिति पर निर्भर नहीं होनी चाहिए। 🇮🇳 हर विद्यार्थी को वही Quality Study Material, MCQs, Quizzes, Exam Preparation, Concept-Based Learning और Bilingual Support मिलना चाहिए, जो आमतौर पर महंगी Coaching या Premium Platforms में मिलता है। Muft Shiksha™ 🇮🇳 इसी सोच के साथ बनाया गया है
geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद \(a=2\) और सार्व अनुपात \(r=3\) है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_8=2\times3^{8-1}=2\times3^7=4374\)। विकल्प 2187, \(3^7\) है, पर इसमें प्रथम पद 2 से गुणा करना छूट जाता है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर अनुक्रम में \(n\)वाँ पद निकालते समय घात हमेशा \(n-1\) लें। / This is a geometric sequence with first term \(a=2\) and common ratio \(r=3\). Its \(n\)th term is \(a_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(a_8=2\times3^{8-1}=2\times3^7=4374\). Option 2187 is \(3^7\), but it misses multiplication by the first term, 2. Exam tip: for a geometric sequence, use exponent \(n-1\) for the \(n\)th term.
\(7,7,7,7,\ldots\) में प्रत्येक क्रमागत अंतर \(7-7=0\) है, इसलिए यह AP है। प्रत्येक क्रमागत अनुपात \(7/7=1\) है, इसलिए यह GP भी है। \(2,5,8,\ldots\) केवल AP है। परीक्षा टिप: स्थिर अनुक्रम में अंतर 0 और अनुपात 1 जाँचें। / In \(7,7,7,7,\ldots\), each consecutive difference is \(7-7=0\), so it is an AP. Each consecutive ratio is \(7/7=1\), so it is also a GP. \(2,5,8,\ldots\) is only an AP. Exam tip: for a constant sequence, check difference 0 and ratio 1.
\((7,7,7,\ldots)\) में सार्वांतर \(0\) और सार्वानुपात \(1\) है, इसलिए यह दोनों श्रेणियाँ है। विकल्प B में अनुपात स्थिर है, पर अंतर स्थिर नहीं। परीक्षा टिप: दोनों शर्तें अलग-अलग जाँचें। / In \((7,7,7,\ldots)\), the common difference is \(0\) and the common ratio is \(1\), so it is both an AP and a GP. Option B has a fixed ratio but no fixed difference. Exam tip: check both conditions separately.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद \(a=5\) और सार्व अनुपात \(r=2\) है। इसका \(n\)वाँ पद \(a_n=5\times2^{n-1}\) होगा। \(5\times2^{n-1}=320\) से \(2^{n-1}=64=2^6\), अतः \(n-1=6\) और \(n=7\)। इसलिए 320, 7वाँ पद है। 6वाँ पद \(160\) होता है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर अनुक्रम में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / This is a geometric sequence with first term \(a=5\) and common ratio \(r=2\). Its \(n\)th term is \(a_n=5\times2^{n-1}\). From \(5\times2^{n-1}=320\), we get \(2^{n-1}=64=2^6\). Therefore, \(n-1=6\) and \(n=7\). Hence, 320 is the 7th term. The 6th term is \(160\), so it is not correct. Exam tip: use \(a_n=ar^{n-1}\) to find a term's position in a geometric sequence.
यह एक गुणोत्तर अनुक्रम है, जिसमें प्रथम पद 2 और सार्व अनुपात 2 है। अतः आठवाँ पद \(a_8=2\times 2^{7}=2^{8}=256\) होगा। 128 सातवाँ पद है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: दोगुने होने वाले अनुक्रम में पदों को 2 की घातों के रूप में लिखें। / This is a geometric sequence with first term 2 and common ratio 2. Therefore, \(a_8=2\times 2^{7}=2^{8}=256\). The value 128 is the seventh term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: write terms of a doubling sequence as powers of 2.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद को 5 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। अतः इसका nवाँ पद \(a_n=8\times5^{n-1}\) होगा। \(8\times5^{n-1}=5000\) से \(5^{n-1}=625=5^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 1000 होता है, 5000 नहीं। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले समान अनुपात पहचानें और फिर nवें पद का सूत्र लगाएँ। / This is a geometric sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by 5. Therefore, its nth term is \(a_n=8\times5^{n-1}\). From \(8\times5^{n-1}=5000\), we get \(5^{n-1}=625=5^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 1000, not 5000. Exam tip: First identify the common ratio, then use the nth-term formula to find the position.
इस क्रम में प्रत्येक अगला पद पिछले पद का आधा है: \(768, 384, 192, 96, 48, 24\)। इसलिए \(24\) के ठीक पहले वाला पद \(48\) है। \(36\) या \(54\) क्रम के आधा करने के नियम का पालन नहीं करते। परीक्षा टिप: दो क्रमागत पदों का अनुपात जाँचें; यहाँ अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। / Each term in the sequence is half of the preceding term: \(768, 384, 192, 96, 48, 24\). Therefore, the term immediately before \(24\) is \(48\). Values such as \(36\) and \(54\) do not follow the halving rule. Exam tip: check the ratio of consecutive terms; here it is \(\frac{1}{2}\).
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है: 9, 27, 81, 243, 729। अतः 729 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 243 है, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर गिनें या जाँचें कि हर बार समान गुणक लग रहा है। / This is a geometric sequence in which each term is obtained by multiplying the previous term by 3: 9, 27, 81, 243, 729. Therefore, 729 is the 5th term. The 4th term is 243, so it is not correct. Exam tip: List the terms in order and check for a common multiplier.
विकल्प A में क्रमागत पदों का अंतर \(7-3=11-7=15-11=4\) है, इसलिए यह AP है। अनुपात समान नहीं है, अतः GP नहीं। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें, फिर अनुपात। / In option A, consecutive differences are \(7-3=11-7=15-11=4\), so it is an AP. Its ratios are not constant, hence it is not a GP. Exam tip: check differences before ratios.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का \(\frac{1}{3}\) है: \(729\div3=243\), \(243\div3=81\), और \(81\div3=27\)। इसलिए अगला पद \(27\div3=9\) होगा। 6 या 12 प्राप्त करने के लिए यह समान भाग का नियम लागू नहीं होता। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार पदों का अनुपात जाँचकर नियम पहचानें। / This is a geometric sequence in which each term is one-third of the preceding term: \(729\div3=243\), \(243\div3=81\), and \(81\div3=27\). Therefore, the next term is \(27\div3=9\). Neither 6 nor 12 follows the same division rule. Exam tip: Compare consecutive terms to identify the pattern or common ratio.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। दिए गए पदों के बाद 5वाँ पद 384 × 4 = 1536 होगा और 6वाँ पद 1536 × 4 = 6144 होगा। इसलिए सही उत्तर 6144 है। 1536 निकटतम भ्रामक विकल्प है, पर वह 5वाँ पद है। परीक्षा टिप: क्रम में समान गुणन गुणक पहचानकर अगले पद जल्दी ज्ञात किए जा सकते हैं। / This is a geometric sequence in which each term is 4 times the preceding term. After the given terms, the 5th term is 384 × 4 = 1536, and the 6th term is 1536 × 4 = 6144. Therefore, 6144 is correct. The closest distractor, 1536, is the 5th term, not the 6th. Exam tip: identify the common multiplier to find subsequent terms quickly.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है, इसलिए यह एक गुणोत्तर क्रम है। इसका nवाँ पद \(a_n=6\times4^{n-1}\) होगा। \(6\times4^{n-1}=1536\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), अतः \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 384 होता है, 1536 नहीं। परीक्षा टिप: गुणोत्तर क्रम में पद की स्थिति ज्ञात करने के लिए \(a_n=a r^{n-1}\) का प्रयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term, so this is a geometric sequence. Its nth term is \(a_n=6\times4^{n-1}\). From \(6\times4^{n-1}=1536\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Thus, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 384, not 1536. Exam tip: use \(a_n=a r^{n-1}\) to find the position of a term in a geometric sequence.
क्रम 1, 4, 9, 16 के प्रथम अंतर 3, 5, 7 हैं और द्वितीय अंतर 2, 2 हैं। प्रथम अंतर स्थिर नहीं है, इसलिए यह समांतर श्रेणी नहीं; अनुपात भी स्थिर नहीं है। परीक्षा में पहले अंतर जाँचें। / For 1, 4, 9, 16, the first differences are 3, 5, 7 and the second differences are 2, 2. Since neither first differences nor ratios are constant, it is neither AP nor GP. Exam tip: check first differences first.
क्रम का प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। अतः इसका सामान्य पद \(a_n=5\times4^{n-1}\) होगा। \(5\times4^{n-1}=1280\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। \(n=4\) पर पद 320 है, 1280 नहीं। परीक्षा टिप: पदों के बीच समान गुणनफल दिखे तो उसे गुणोत्तर क्रम मानकर सामान्य पद का उपयोग करें। / Each term is 4 times the preceding term. Therefore, the general term is \(a_n=5\times4^{n-1}\). From \(5\times4^{n-1}=1280\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Hence, \(n-1=4\) and \(n=5\). For \(n=4\), the term is 320, not 1280. Exam tip: when consecutive terms have a common multiplier, treat the sequence as a geometric progression and use its general term.
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 7, 21, 63, 189, 567। अतः 567 पाँचवाँ पद है। 189 चौथा पद है, इसलिए चौथा पद वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर उनकी स्थिति गिनें। / Each term in the sequence is 3 times the preceding term: 7, 21, 63, 189, 567. Therefore, 567 is the 5th term. Since 189 is the 4th term, the 4th-term option is incorrect. Exam tip: List the terms in order and count their positions carefully.
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को 5 से भाग देने पर प्राप्त हो रहा है: \(625\div5=125\), \(125\div5=25\) और \(25\div5=5\)। इसलिए अगला पद \(5\div5=1\) होगा। 0 तब मिलता जब 5 में से 5 घटाया जाता, पर यहाँ नियम भाग का है। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार दो पदों का भाग लेकर गुणन या भाग का नियम पहचानें। / Each term is obtained by dividing the preceding term by 5: \(625\div5=125\), \(125\div5=25\), and \(25\div5=5\). Therefore, the next term is \(5\div5=1\). Zero would result from subtracting 5 from 5, but the pattern here is division. Exam tip: Compare consecutive terms using division to identify a multiplication or division pattern.
यह एक गुणोत्तर क्रम है, जिसमें प्रत्येक पद पिछले पद का 4 गुना है। अतः \(a_n=3\times4^{n-1}\)। \(3\times4^{n-1}=768\) से \(4^{n-1}=256=4^4\), इसलिए \(n-1=4\) और \(n=5\)। विकल्प 4 पर पद 192 होता है, 768 नहीं। परीक्षा टिप: पद का स्थान ज्ञात करने के लिए पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / This is a geometric sequence in which each term is 4 times the preceding term. Hence, \(a_n=3\times4^{n-1}\). From \(3\times4^{n-1}=768\), we get \(4^{n-1}=256=4^4\). Therefore, \(n-1=4\) and \(n=5\). At position 4, the term is 192, not 768. Exam tip: first identify the common ratio when finding a term's position.
इस क्रम में प्रत्येक पद को 3 से गुणा करने पर अगला पद मिलता है: 4, 12, 36, 108, 324। अतः 324 पाँचवाँ पद है। चौथा पद 108 है, इसलिए चौथा पद वाला विकल्प सही नहीं है। परीक्षा टिप: पदों की स्थिति ज्ञात करने के लिए क्रम के पदों को क्रमशः गिनें। / Each term is obtained by multiplying the preceding term by 3: 4, 12, 36, 108, 324. Therefore, 324 is the fifth term. The fourth term is 108, so the fourth-term option is incorrect. Exam tip: List and count the terms in order to identify a term's position.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 3 गुना है: 5, 15, 45, 135, 405, 1215। इसलिए छठा पद 1215 है। 405 पाँचवाँ पद है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: गुणोत्तर क्रम में लगातार पदों का अनुपात जाँचकर अगला पद निकालें। / In this sequence, each term is 3 times the preceding term: 5, 15, 45, 135, 405, 1215. Therefore, the sixth term is 1215. The value 405 is the fifth term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: In a geometric sequence, check the common ratio between consecutive terms to find the next term.
पहले क्रम का चौथा पद \(54\) और दूसरे क्रम का चौथा पद \(135\) है। अतः अनुपात \(54:135\) होगा। दोनों पदों को \(27\) से भाग देने पर \(54:135=2:5\) मिलता है। \(5:2\) सही अनुपात का उलटा है। परीक्षा टिप: अनुपात में पदों का क्रम प्रश्न में दिए गए क्रमों के क्रम के अनुसार ही रखें। / The fourth term of the first sequence is \(54\), and that of the second sequence is \(135\). Therefore, the ratio is \(54:135\). Dividing both terms by \(27\) gives \(54:135=2:5\). \(5:2\) is the reverse of the required ratio. Exam tip: Keep the order of terms in a ratio the same as the order of the sequences in the question.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का दोगुना है: 6, 12, 24, 48, 96, 192। अतः 192 छठा पद है। पाँचवाँ पद 96 है, इसलिए वह निकट होने पर भी सही उत्तर नहीं है। परीक्षा टिप: पदों को क्रम से लिखकर या प्रत्येक बार 2 से गुणा करके पद की स्थिति जाँचें। / Each term in this sequence is twice the previous term: 6, 12, 24, 48, 96, 192. Therefore, 192 is the sixth term. The fifth term is 96, so it is a close but incorrect option. Exam tip: List the terms in order or keep multiplying by 2 to identify the position of a term.
इस क्रम में प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 2 गुना है: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192। अतः 7वाँ पद 192 है। 96 केवल 6वाँ पद है, इसलिए वह निकटतम लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती पहले पद से 1 मानकर करें। / In this sequence, each term is twice the preceding term: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192. Therefore, the 7th term is 192. The number 96 is the 6th term, so it is a close but incorrect option. Exam tip: Count term positions starting with the first term as 1.
क्रम में प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 2 गुना है: 10, 20, 40, 80। इसलिए अगला पद \(80\times 2=160\) होगा। 120 प्राप्त करने के लिए 80 में 40 जोड़ना पड़ेगा, पर क्रम में जोड़ने का नहीं बल्कि दोगुना करने का नियम है। परीक्षा टिप: लगातार पदों का अनुपात जाँचें; यहाँ \(20/10=40/20=80/40=2\) है। / Each term in the sequence is twice the preceding term: 10, 20, 40, 80. Therefore, the next term is \(80\times 2=160\). The value 120 would result from adding 40 to 80, but the pattern is multiplication by 2, not addition. Exam tip: check the ratio of consecutive terms; here \(20/10=40/20=80/40=2\).
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को 2 से भाग देकर प्राप्त होता है: 120 से 60, 60 से 30 और 30 से 15। इसलिए अगला पद \(15 \div 2 = 7.5\) होगा। 8, 15 का आधा नहीं है। परीक्षा टिप: लगातार पदों के बीच गुणा या भाग का समान नियम जाँचें। / In this sequence, each term is obtained by dividing the previous term by 2: 120 to 60, 60 to 30, and 30 to 15. Therefore, the next term is \(15 \div 2 = 7.5\). Option 8 is not half of 15. Exam tip: Check for a common multiplication or division rule between consecutive terms.
इस क्रम में प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 3 गुना है: \(3\to9\to27\to81\)। इसलिए अगला पद \(81\times3=243\) होगा। \(216\) गलत है क्योंकि वह 81 का 3 गुना नहीं है। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार पदों के बीच गुणा या भाग का संबंध पहले जाँचें। / In this sequence, each term is 3 times the preceding term: \(3\to9\to27\to81\). Therefore, the next term is \(81\times3=243\). \(216\) is incorrect because it is not 3 times 81. Exam tip: first check whether consecutive terms follow a multiplication or division pattern.
क्रम में 3 से 6, 6 से 12 और 12 से 24 प्राप्त करने के लिए हर बार पिछले पद को 2 से गुणा किया जाता है। इसलिए सही विकल्प 2 से गुणा करना है। 6 जोड़ना केवल 6 से 12 तक सही लगता है, लेकिन 3 से 6 के लिए नहीं। परीक्षा में क्रम के कम-से-कम दो लगातार पदों पर नियम जाँचें। / In the sequence, 3 becomes 6, 6 becomes 12, and 12 becomes 24 by multiplying the previous term by 2 each time. Therefore, multiplying by 2 is correct. Adding 6 appears to work from 6 to 12, but it does not work from 3 to 6. In exams, check the rule using at least two consecutive pairs of terms.
क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद को 2 से भाग देने पर मिलता है: 64, 32, 16, 8। इसलिए अगला पद \(8 \div 2=4\) होगा। 2 अगला पद नहीं है, क्योंकि वह 8 को दो बार आधा करने पर प्राप्त होगा। परीक्षा टिप: क्रम में लगातार पदों के बीच गुणा या भाग का नियम पहले जाँचें। / In this sequence, each term is obtained by dividing the previous term by 2: 64, 32, 16, 8. Therefore, the next term is \(8 \div 2=4\). The number 2 would be obtained after halving 8 twice, so it is not the next term. Exam tip: First check for a common multiplication or division rule between consecutive terms.
इस क्रम में प्रत्येक पद पिछले पद का 2 गुना है: 5 से 10, 10 से 20 और 20 से 40। इसलिए अगला पद \(40 \times 2 = 80\) होगा। 60, 40 में 20 जोड़ने पर मिलता है, लेकिन यहाँ अंतर स्थिर नहीं है; गुणन का नियम लागू हो रहा है। परीक्षा टिप: क्रम में पहले लगातार पदों के अंतर और फिर उनके अनुपात जाँचें। / In this sequence, each term is twice the preceding term: 5 to 10, 10 to 20, and 20 to 40. Therefore, the next term is \(40 \times 2 = 80\). Although 60 is obtained by adding 20 to 40, the differences are not constant here; the pattern is multiplication by 2. Exam tip: For a sequence, first check consecutive differences and then check consecutive ratios.
इस क्रम में प्रत्येक पद अपने पिछले पद का 2 गुना है: 2, 4, 8, 16। अतः अगला पद \(16\times 2=32\) होगा। 24, 16 में 8 जोड़ने पर मिलता है, लेकिन क्रम में अंतर 2, 4, 8 है; यह स्थिर नहीं है। परीक्षा टिप: पहले लगातार पदों के बीच गुणा या भाग का संबंध जाँचें। / In this sequence, each term is twice the previous term: 2, 4, 8, 16. Therefore, the next term is \(16\times 2=32\). Although 24 is obtained by adding 8 to 16, the differences are 2, 4, and 8, so they are not constant. Exam tip: first check whether consecutive terms are related by multiplication or division.
