What is the general term of the geometric progression \(20,10,5,\frac{5}{2},\ldots\)?गुणोत्तर श्रेणी \(20,10,5,\frac{5}{2},\ldots\) का सामान्य पद क्या है?
Answer and explanationउत्तर और व्याख्या
Correct answer:सही उत्तर: \(a_n=20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)\(a_n=20\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)
The direct answer is A: \(a_n=20\cdot(1/2)^{n-1}\). A geometric progression has a constant ratio between consecutive terms. Here 10/20=1/2, 5/10=1/2 and (5/2)/5=1/2, so the first term is a=20 and the common ratio is r=1/2. The general formula is \(a_n=ar^{n-1}\), hence \(a_n=20(1/2)^{n-1}\). Checking it: n=1 gives 20, n=2 gives 10, n=3 gives 5 and n=4 gives 5/2. Option A matches every term. Option B uses ratio 2 and would produce 20, 40, 80, not the given decreasing sequence. Option C is a subtraction pattern, not a geometric formula, and does not give the terms. Option D gives 10, 20, 30, so it also fails. Memory cue: in a GP identify the first term and multiply repeatedly by the same ratio.सीधा उत्तर A है: \(a_n=20\cdot(1/2)^{n-1}\)। गुणोत्तर श्रेणी में लगातार पदों का अनुपात समान रहता है। यहाँ \(10/20=1/2\), \(5/10=1/2\) और \((5/2)/5=1/2\), इसलिए पहला पद \(a=20\) और समान अनुपात \(r=1/2\) है। सामान्य सूत्र \(a_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः \(a_n=20(1/2)^{n-1}\)। जाँच करें: \(n=1\) पर 20, \(n=2\) पर 10, \(n=3\) पर 5 और \(n=4\) पर \(5/2\) मिलता है। विकल्प A हर पद से मेल खाता है। विकल्प B में अनुपात 2 है, जिससे 20, 40, 80 मिलेंगे, जबकि दी गई श्रेणी घट रही है। विकल्प C घटाव वाला रूप है और दिए पद नहीं देता। विकल्प D से 10, 20, 30 मिलते हैं, इसलिए वह भी गलत है। याद रखें: GP में पहला पद पहचानकर हर बार उसी अनुपात से गुणा करें।
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