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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
पहला पद (64) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए \(a_n=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात लगाएँ। / The first term is (64) and the ratio is \(\frac{1}{2}\) so \(a_n=64\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\). In exams use the fractional ratio in a decreasing sequence.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके मिलता है। यहाँ पहला पद 3 है और r = 6 है: 3, 3×6 = 18, 18×6 = 108, 108×6 = 648। इसलिए सही क्रम (3, 18, 108, 648) है। विकल्प A में 6 से नहीं, 2 से गुणा किया गया है। परीक्षा टिप: पहले पद a को लिखकर हर अगले पद के लिए r से गुणा करें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the preceding term by the common ratio. Here, the first term is 3 and r = 6: 3, 3×6 = 18, 18×6 = 108, and 108×6 = 648. Therefore, (3, 18, 108, 648) is correct. In option A, the terms are multiplied by 2, not by 6. Exam tip: Write the first term first, then multiply each successive term by r.
A. हाँ सामान्य अनुपात (3) है/Yes common ratio is (3)
Explanation
Simple Explanation
हर लगातार पद का अनुपात (3) है। परीक्षा में समान अनुपात दिखे तो गुणोत्तर श्रेणी मानें। / Each consecutive term has ratio (3). In exams if equal ratio appears treat it as a geometric progression.
चौथे पद (320) के बाद पाँचवाँ (1280) और छठा (5120) है। परीक्षा में पद संख्या गिनते समय पहला पद शामिल करें। / After the fourth term (320) the fifth is (1280) and the sixth is (5120). In exams include the first term while counting.
लगातार पदों का अनुपात \(24\div48=\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में भिन्न अनुपात लिखें। / The ratio of consecutive terms is \(24\div48=\frac{1}{2}\). In exams write the fractional ratio for a decreasing geometric progression.
सामान्य अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(75\times5=375\) है। परीक्षा में समान अनुपात जारी रखें। / The common ratio is (5) so the missing term is \(75\times5=375\). In exams continue the same ratio.
पहला पद (9) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=9\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (9) and the ratio is (4) so \(a_n=9\cdot4^{n-1}\). In exams match both the first term and the ratio.
\(n=1\) पर \(a_1=4\cdot3^0=4\), \(n=2\) पर \(a_2=4\cdot3^1=12\), और \(n=3\) पर \(a_3=4\cdot3^2=36\) मिलता है। अतः पहले तीन पद \((4, 12, 36)\) हैं। विकल्प \((3, 9, 27)\) में पहला पद 3 है, जबकि दिए गए सूत्र में \(a_1=4\) है। परीक्षा टिप: पहले पद के लिए हमेशा \(n=1\) रखकर जाँच करें। / For \(n=1\), \(a_1=4\cdot3^0=4\); for \(n=2\), \(a_2=4\cdot3^1=12\); and for \(n=3\), \(a_3=4\cdot3^2=36\). Therefore, the first three terms are \((4, 12, 36)\). In \((3, 9, 27)\), the first term is 3, but the given formula gives \(a_1=4\). Exam tip: substitute \(n=1\) first to verify the initial term.
पद (2,6,18,54,162) हैं इसलिए (162) पाँचवाँ पद है। परीक्षा में छोटे पदों को क्रम से लिखकर जाँचें। / The terms are (2,6,18,54,162) so (162) is the fifth term. In exams list small terms in order to check.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(12\times\frac{1}{2}=6\) है। परीक्षा में भिन्नों को सरल करें। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(12\times\frac{1}{2}=6\). In exams simplify fractions.
गुणोत्तर श्रेणी का nवाँ पद \(T_n=ar^{n-1}\) होता है। अतः चौथा पद \(T_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\) है। 45 तीसरा पद है, क्योंकि \(5\times3^2=45\)। परीक्षा टिप: चौथे पद के लिए घात \(4-1=3\) लें। / The nth term of a geometric progression is \(T_n=ar^{n-1}\). Therefore, \(T_4=5\times3^{4-1}=5\times27=135\). The value 45 is the third term because \(5\times3^2=45\). Exam tip: for the fourth term, use the exponent \(4-1=3\).
सामान्य अनुपात \(r=40\div10=4\) है। परीक्षा में (r) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The common ratio is \(r=40\div10=4\). In exams divide the second term by the first term for (r).
C. लगातार अनुपात समान नहीं हैं/Consecutive ratios are not equal
Explanation
Simple Explanation
अनुपात \(3\div1=3\) और \(6\div3=2\) समान नहीं हैं। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जरूरी है। / The ratios \(3\div1=3\) and \(6\div3=2\) are not equal. In exams equal ratio is necessary for a geometric progression.
दूसरा पद \(40\times\frac{1}{2}=20\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात से सावधानी से गुणा करें। / The second term is \(40\times\frac{1}{2}=20\). In exams multiply carefully by a fractional ratio.
पहला पद (6) और अनुपात (3) है इसलिए \(a_n=6\cdot3^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) का प्रयोग करें। / The first term is (6) and the ratio is (3) so \(a_n=6\cdot3^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
दिया है कि प्रत्येक पद के लिए \(a_n=5^n\)। इसलिए \(n=3\) रखने पर \(a_3=5^3=5\times5\times5=125\) होगा। \(25\), \(5^2\) का मान है, इसलिए वह निकट का लेकिन गलत विकल्प है। परीक्षा टिप: पद का मान निकालते समय दिए गए सूचकांक \(n\) को सूत्र में सीधे रखिए। / Given \(a_n=5^n\), substitute \(n=3\): \(a_3=5^3=5\times5\times5=125\). The value \(25\) is \(5^2\), so it results from using the wrong index. Exam tip: substitute the stated term number directly for \(n\) before evaluating the power.
पहला पद (2) और अनुपात (4) है इसलिए \(a_n=2\cdot4^{n-1}\) है। परीक्षा में \(a_n=ar^{n-1}\) लगाएँ। / The first term is (2) and the ratio is (4) so \(a_n=2\cdot4^{n-1}\). In exams use \(a_n=ar^{n-1}\).
(45) और (135) का अनुपात (3) है इसलिए रिक्त पद \(45\div3=15\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी अनुपात लगाएँ। / The ratio of (45) and (135) is (3) so the missing term is \(45\div3=15\). In exams apply the ratio backward too.
सामान्य अनुपात (4) है इसलिए पाँचवाँ पद \(192\times4=768\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (4) so the fifth term is \(192\times4=768\). In exams multiply the last known term by the ratio.
हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(6\times\frac{1}{3}=2\) है। परीक्षा में घटती श्रेणी में भिन्न अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\) so the next term is \(6\times\frac{1}{3}=2\). In exams identify fractional ratios in decreasing sequences.
तीसरा पद \(ar^2=4\times5^2=100\) है। परीक्षा में तीसरे पद के लिए अनुपात का वर्ग लगाएँ। / The third term is \(ar^2=4\times5^2=100\). In exams use the square of the ratio for the third term.
अनुक्रम का पहला लिखा हुआ पद (9) है। परीक्षा में पहला पद (a) सीधे पहले पद से लें। / The first written term of the sequence is (9). In exams take the first term (a) directly from the sequence.
अनुपात \(6\div3=2\) और \(9\div6=\frac{3}{2}\) समान नहीं हैं। परीक्षा में लगातार अनुपात जाँचें। / The ratios \(6\div3=2\) and \(9\div6=\frac{3}{2}\) are not equal. In exams check consecutive ratios.
B. हाँ सामान्य अनुपात (4) है/Yes common ratio is (4)
Explanation
Simple Explanation
सभी लगातार पदों का अनुपात (4) है। परीक्षा में गुणोत्तर श्रेणी के लिए समान अनुपात जाँचें। / All consecutive terms have ratio (4). In exams check equal ratios for a geometric progression.
लगातार पदों का अनुपात \(25\div125=\frac{1}{5}\) है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी में अनुपात भिन्न हो सकता है। / The ratio of consecutive terms is \(25\div125=\frac{1}{5}\). In exams a decreasing geometric progression can have a fractional ratio.
दूसरा पद \(5\times3=15\) होगा। परीक्षा में अगले पद के लिए सामान्य अनुपात से गुणा करें। / The second term is \(5\times3=15\). In exams multiply by the common ratio to get the next term.
हर बार (2) से गुणा हो रहा है इसलिए अगला पद \(56\times2=112\) है। परीक्षा में पहले सामान्य अनुपात पहचानें। / Each term is multiplied by (2) so the next term is \(56\times2=112\). In exams first identify the common ratio.
लगातार पदों का अनुपात \(12\div4=3\) है। परीक्षा में दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / The ratio of consecutive terms is \(12\div4=3\). In exams divide the second term by the first term.
पहले चार पद (16,8,4,2) हैं और योग (30) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में पद क्रम से लिखें। / The first four terms are (16,8,4,2), and the sum is (30). In a decreasing geometric progression write the terms in order.
दी गई गुणोत्तर श्रेणी में तीसरा पद \(a_3=18\) और चौथा पद \(a_4=54\) है। अतः \(a_3+a_4=18+54=72\)। विकल्प 66 तब मिलता यदि किसी पद को गलत पढ़ लिया जाए; यहाँ दोनों दिए गए पदों का सही योग 72 है। परीक्षा टिप: पदों की गिनती पहले पद से शुरू करके सावधानी से करें। / In the given geometric progression, the third term is \(a_3=18\) and the fourth term is \(a_4=54\). Therefore, \(a_3+a_4=18+54=72\). A value such as 66 results from misreading one of the terms; the correct sum of the two given terms is 72. Exam tip: Count term positions carefully, starting with the first term.
