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geometric progression se related questions ko ek jagah revise karein. Har question me bilingual content, answer feedback aur explanation available hai.
गुणोत्तर श्रेणी के लगातार तीन पदों में मध्य पद का वर्ग पहले और तीसरे पद के गुणनफल के बराबर होता है। अतः \(x^2=4\times64=256\)। इसलिए \(x=\pm16\), लेकिन प्रश्न में पद धनात्मक बताया गया है, इसलिए \(x=16\)। \(8\) निकट का भ्रमक विकल्प हो सकता है, पर \(4,8,64\) में दोनों क्रमागत अनुपात समान नहीं हैं। परीक्षा टिप: तीन लगातार GP पदों के लिए हमेशा \(b^2=ac\) का प्रयोग करें। / For three consecutive terms of a geometric progression, the square of the middle term equals the product of the first and third terms. Thus, \(x^2=4\times64=256\). Hence \(x=\pm16\), but the terms are stated to be positive, so \(x=16\). The nearby distractor \(8\) is incorrect because \(4,8,64\) does not have equal consecutive ratios. Exam tip: for three consecutive GP terms, use \(b^2=ac\).
सार्व अनुपात (5) है, इसलिए अगला पद \(50\cdot5=250\) होगा। अगले पद के लिए पिछले पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (5), so the next term is \(50\cdot5=250\). Multiply the previous term by the ratio to get the next term.
गुणोत्तर अनुक्रम में सार्व अनुपात क्रमागत पदों का भागफल होता है। यहाँ \(r=\frac{-12}{4}=-3\) है। जाँच करें: \(\frac{36}{-12}=-3\) और \(\frac{-108}{36}=-3\)। इसलिए सही उत्तर \(-3\) है। \(3\) निकटतम भ्रमक है, लेकिन उससे पदों के चिह्न बारी-बारी से नहीं बदलेंगे। परीक्षा टिप: किसी भी दो क्रमागत पदों का भाग देकर अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, the common ratio is the quotient of consecutive terms. Here, \(r=\frac{-12}{4}=-3\). Checking further, \(\frac{36}{-12}=-3\) and \(\frac{-108}{36}=-3\). Hence, the correct answer is \(-3\). The closest distractor is \(3\), but a positive ratio would not make the signs alternate. Exam tip: divide any term by its preceding term to verify the common ratio.
पहला पद (8) है और हर बार (3) से गुणा करने पर (8,24,72,216) मिलते हैं। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद गुणा करके बनता है। / The first term is (8), and multiplying by (3) each time gives (8,24,72,216). In a geometric progression each next term is formed by multiplication.
पद (9,27,81,243,729) हैं, इसलिए (729) पाँचवाँ पद है। पद-संख्या के लिए पदों को क्रम से बनाएं। / The terms are (9,27,81,243,729), so (729) is the fifth term. Form the terms in order to find the position.
दिया है \(a_n=3\cdot2^{n-1}\)। \(n=6\) रखने पर \(a_6=3\cdot2^{6-1}=3\cdot2^5=3\cdot32=96\)। इसलिए सही उत्तर 96 है। 64 केवल \(2^6\) है, इसमें प्रारम्भिक गुणक 3 शामिल नहीं है। परीक्षा टिप: पद ज्ञात करते समय पहले \(n\) का मान सूत्र में रखकर घात \(n-1\) को सावधानी से सरल करें। / Given \(a_n=3\cdot2^{n-1}\), substitute \(n=6\): \(a_6=3\cdot2^{6-1}=3\cdot2^5=3\cdot32=96\). Hence, 96 is correct. The value 64 is only \(2^6\); it ignores the initial factor 3. Exam tip: Substitute the term number first, then simplify the exponent \(n-1\) carefully.
सार्व अनुपात \(\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\) है। घटती गुणोत्तर श्रेढ़ी में अनुपात (1) से छोटा हो सकता है। / The common ratio is \(\frac{48}{96}=\frac{1}{2}\). In a decreasing geometric progression the ratio can be less than (1).
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक अगला पद पिछले पद को सार्व अनुपात से गुणा करके प्राप्त होता है। अतः दूसरा पद \(4\times5=20\) और तीसरा पद \(20\times5=100\) होगा। इसलिए सही उत्तर 100 है। 40 केवल \(4\times5\times2\) जैसा गलत गुणन है, जबकि तीसरे पद के लिए अनुपात का दो बार प्रयोग होता है। परीक्षा टिप: \(n\)वाँ पद \(a_n=a r^{n-1}\) होता है। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by the common ratio. Thus, the second term is \(4\times5=20\), and the third term is \(20\times5=100\). Therefore, the correct answer is 100. The ratio must be applied twice to reach the third term. Exam tip: use \(a_n=a r^{n-1}\) for the \(n\)th term.
सार्व अनुपात \(\frac{15}{5}=3\) है। गुणोत्तर श्रेढ़ी में अगला पद पिछले पद से भाग दें। / The common ratio is \(\frac{15}{5}=3\). In a geometric progression divide the next term by the previous term.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को पिछले पद से भाग देने पर एक ही अनुपात मिलता है। विकल्प A में 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2 है, इसलिए यह गुणोत्तर श्रेणी है। विकल्प B में अंतर समान है, अतः वह समांतर श्रेणी है। परीक्षा टिप: लगातार पदों के अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, the ratio of each term to the preceding term remains constant. In option A, 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2, so it is a GP. Option B has a constant difference, so it is an AP. Exam tip: check ratios of consecutive terms.
पहला पद (6) है और हर बार (4) से गुणा हो रहा है। परीक्षा में पहला पद और अनुपात दोनों मिलाएँ। / The first term is (6) and each term is multiplied by (4). In exams match both the first term and the ratio.
सामान्य अनुपात (4) है इसलिए पाँचवाँ पद \(768\times4=3072\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद को अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (4) so the fifth term is \(768\times4=3072\). In exams multiply the last known term by the ratio.
मध्य पद का वर्ग \(8\times72=576\) है इसलिए धनात्मक (x=24) है। परीक्षा में तीन पदों वाली गुणोत्तर श्रेणी में मध्य पद का वर्ग बाहरी पदों के गुणनफल के बराबर होता है। / The square of the middle term is \(8\times72=576\) so the positive (x=24). In exams for three GP terms the square of the middle term equals the product of the outer terms.
पहला पद (36) और अनुपात \(\frac{1}{2}\) है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में सही भिन्न अनुपात रखें। / The first term is (36) and the ratio is \(\frac{1}{2}\). In exams put the correct fractional ratio in \(ar^{n-1}\).
दिया है कि \(a_n=4^n\)। अतः \(n=3\) रखने पर \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\) प्राप्त होता है। \(16\), \(4^2\) का मान है, इसलिए वह \(a_3\) के लिए सही नहीं है। परीक्षा टिप: पद निकालते समय दिए गए सूचकांक का मान घात में सही रखें। / Given \(a_n=4^n\). Substituting \(n=3\), we get \(a_3=4^3=4\times4\times4=64\). The value \(16\) is \(4^2\), so it does not represent \(a_3\). Exam tip: when finding a term, substitute the given index correctly in the exponent.
यह \(4\cdot2^{n-1}\) के रूप में है इसलिए दसवाँ पद \(4\cdot2^9=2048\) है। परीक्षा में घात पहचानकर जल्दी हल करें। / This is of the form \(4\cdot2^{n-1}\) so the tenth term is \(4\cdot2^9=2048\). In exams identify powers to solve quickly.
(81,27,9,3) में हर बार \(\frac{1}{3}\) से गुणा होता है। परीक्षा में घटती गुणोत्तर श्रेणी का अनुपात भिन्न लिखें। / In (81,27,9,3) each term is multiplied by \(\frac{1}{3}\). In exams write the ratio of a decreasing geometric progression as a fraction.
इस गुणोत्तर श्रेणी का सार्व अनुपात \(r=42/14=3\) है। दिए गए पदों में \(378\) चौथा पद है, इसलिए \(a_5=378\times 3=1134\)। \(945\) सही नहीं है क्योंकि वह पिछले पद को 3 से गुणा करने पर प्राप्त नहीं होता। परीक्षा टिप: पहले पदों की गिनती करके अंतिम दिए गए पद से सार्व अनुपात गुणा करें। / The common ratio of this GP is \(r=42/14=3\). Here, \(378\) is the fourth term, so \(a_5=378\times 3=1134\). \(945\) is not correct because it is not obtained by multiplying the previous term by 3. Exam tip: count the given terms first, then multiply the last given term by the common ratio.
सूत्र \(a_n=7\cdot2^{n-1}\) में (2) ही सामान्य अनुपात है। परीक्षा में \(ar^{n-1}\) में (r) पहचानें। / In the formula \(a_n=7\cdot2^{n-1}\) the common ratio is (2). In exams identify (r) in \(ar^{n-1}\).
(50) और (250) का अनुपात (5) है इसलिए रिक्त पद \(50\div5=10\) है। परीक्षा में पीछे की ओर भी सामान्य अनुपात लगाएँ। / The ratio of (50) and (250) is (5) so the missing term is \(50\div5=10\). In exams apply the common ratio backward too.
सामान्य अनुपात (1) होने पर सभी पद (13) रहेंगे। परीक्षा में (r=1) का मतलब स्थिर गुणोत्तर श्रेणी है। / When the common ratio is (1) all terms remain (13). In exams (r=1) means a constant geometric progression.
लगातार पद समान हैं इसलिए अनुपात \(8\div8=1\) है। परीक्षा में स्थिर शून्येतर श्रेणी भी गुणोत्तर श्रेणी हो सकती है। / Consecutive terms are equal so the ratio is \(8\div8=1\). In exams a non-zero constant sequence can also be a geometric progression.
दूसरे पद और पहले पद का अनुपात \(4y\div y=4\) है। परीक्षा में बीजीय पदों में भी भाग करें। / The ratio of the second term to the first term is \(4y\div y=4\). In exams divide even with algebraic terms.
सामान्य अनुपात \(\frac{1}{2}\) है इसलिए पाँचवाँ पद \(20\times\frac{1}{2}=10\) है। परीक्षा में भिन्न अनुपात ध्यान से लगाएँ। / The common ratio is \(\frac{1}{2}\) so the fifth term is \(20\times\frac{1}{2}=10\). In exams apply fractional ratios carefully.
सामान्य अनुपात (2) है इसलिए अगला पद \(88\times2=176\) है। परीक्षा में अंतिम ज्ञात पद में अनुपात से गुणा करें। / The common ratio is (2) so the next term is \(88\times2=176\). In exams multiply the last known term by the ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में सामान्य अनुपात क्रमागत पदों का अनुपात होता है। अतः \(r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{32}{8}=4\)। इसलिए सही उत्तर 4 है। 8 पहला पद है, सामान्य अनुपात नहीं। परीक्षा टिप: सामान्य अनुपात ज्ञात करने के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / In a geometric progression, the common ratio is the ratio of consecutive terms. Thus, \(r=\frac{a_2}{a_1}=\frac{32}{8}=4\). Therefore, 4 is correct. The number 8 is the first term, not the common ratio. Exam tip: divide the second term by the first term to find the common ratio.
अनुक्रम के पद क्रमशः 3, 6, 12, 24, 48 हैं। अतः 48 पाँचवाँ पद है। छठा पद 96 होगा, इसलिए वह सही नहीं है। परीक्षा में पद संख्या ज्ञात करते समय दिए गए पहले पद को पहला ही गिनें। / The terms in order are 3, 6, 12, 24, and 48. Therefore, 48 is the fifth term. The sixth term would be 96, so it is not correct. Exam tip: always count the given first term as term 1.
गुणोत्तर श्रेणी में प्रत्येक पद को एक ही नियत अनुपात से गुणा करने पर अगला पद मिलता है। विकल्प B में अनुपात 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2 है। विकल्प A और D समानांतर श्रेणियाँ हैं, क्योंकि उनका अंतर नियत है। परीक्षा टिप: लगातार पदों का भाग लेकर अनुपात जाँचें। / In a geometric progression, each term is obtained by multiplying the previous term by the same constant ratio. In option B, 6/3 = 12/6 = 24/12 = 2. Options A and D are arithmetic progressions because their common difference is constant. Exam tip: divide consecutive terms to check the common ratio.
गुणोत्तर श्रेणी में पहला पद \(a\) होता है, इसलिए \(a=2\)। सार्व अनुपात \(r\) क्रमागत पदों का भागफल होता है: \(r=\frac{10}{2}=5\)। जाँच के लिए \(50\div10=5\) और \(250\div50=5\) भी मिलता है। विकल्प D में अनुपात सही है, लेकिन पहला पद 10 नहीं, 2 है। परीक्षा टिप: \(a\) के लिए पहला पद और \(r\) के लिए दूसरे पद को पहले पद से भाग दें। / In a geometric progression, \(a\) is the first term, so \(a=2\). The common ratio \(r\) is the quotient of consecutive terms: \(r=\frac{10}{2}=5\). This is confirmed by \(50\div10=5\) and \(250\div50=5\). In option D, the ratio is correct, but the first term is 2, not 10. Exam tip: identify \(a\) from the first term and find \(r\) by dividing the second term by the first.
\(a_4=81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=3\) है। परीक्षा में \(n-1\) वाले घातांक को सही रखें। / \(a_4=81\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^3=3\). In exams keep the exponent \(n-1\) correct.
